Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 145

Математика. Всі запитання починаючи з 145

146147148149150151152153154155156157158159160 ▶

Завдання 146 з 2199

Двоє робітників, працюючи разом, можуть скосити траву на ділянці за \(2\) години \(6\) хвилин. Скільки часу (у годинах) витратить на скошування трави на цій ділянці другий робітник, працюючи самостійно, якщо йому потрібно на виконання цього завдання на \(4\) години більше, ніж першому робітникові?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння, нерівності та їхні системи до розв’язування текстових задач.

Нехай першому робітнику потрібно \(x\) годин на скошування трави, тоді другому потрібно – \((x + 4)\) години.

Якщо разом вони виконають цю роботу, то складемо рівняння:

\begin{gather*} 2\ \text{години}\ 6\ \text{хвилин}=2\frac{6}{60}\ \text{год}=2 \frac{1}{10}\ \text{год}=\frac{21}{10};\\[6pt] \frac 1x+\frac{1}{x + 4} = \frac{1}{21/10};\\[6pt] \frac 1x + \frac{1}{x + 4} = \frac{10}{21};\\[6pt] \frac{x + 4 + x}{x(x + 4)} = \frac{10}{21};\\[6pt] \frac{2x + 4}{x(x + 4)} = \frac{10}{21}. \end{gather*}

ОДЗ: \(x \ne 0\), \(x \ne -4.\)

\begin{gather*} 21(2x + 4) = 10x(x + 4);\\[7pt] 42x + 84 = 10x^2 + 40x;\\[7pt] 10x^2 - 2x - 84 = 0;\\[7pt] 5x^2 - x - 42 = 0;\\[7pt] D = (-1)^2 - 4 \cdot 5(-42) = 1 + 840 = 841;\\[6pt] x_1 = \frac{1 + 29}{10} = 3;\\[6pt] x_2 = \frac{1 - 29}{10} = -2{,}8\ \text{не задовольняє умови задачі}. \end{gather*}

Другий робітник виконає цю роботу за

\begin{gather*} 3 + 4 = 7\ \text{год}. \end{gather*}

Відповідь: \(7.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6153

Завдання 147 з 2199

У чотирикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною \(13\) см і основами \(18\) см і \(8\) см, вписано конус. Знайдіть площу бічної поверхні конуса \(S_\text{бічне}\) (у см\(^2\)), якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом \(60^\circ\). У відповіді запишіть значення \(\dfrac{S_\text{бічне}}{\pi}\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Площі поверхонь, об’єми многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей многогранників та тіл обертання, формул площ поверхонь тіл обертання.

\(EABCD\) – піраміда. У піраміду вписано конус, тому висота піраміди збігається з висотою конуса \(EO.\) Основа конуса – коло, вписане в трапецію. \(OK\!\perp\!BC\) – радіус даного кола.

Усі бічні грані нахилені до основи під кутом \(60^\circ.\) \(OK\) – проекція похилої \(EK\) на площину \((ABC).\) Отже, за теоремою про три перпендикуляри, \(EK\!\perp\!BC\).

\((EKO)\!\perp\!BC\) (за ознакою перпендикулярності прямої та площини), тому \(\angle EKO = 60^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного.

\(AD = CB = 13\) см, \(DC = 8\) см, \(AB = 18\) см.

Проведемо висоти \(DM\), \(CP.\)

\(DC = MP = 8\) см, \(AM = PB = (18 - 8) : 2 = 5\) см.

У \(\Delta AMD\ (\angle M = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AD^2 = DM^2 + AM^2;\\[7pt] DM = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\ \text{см}. \end{gather*}

Висота трапеції – діаметр вписаного кола. Отже,

\begin{gather*} r = \frac{DM}{2} = \frac{12}{2} = 6\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta EOK\ (\angle O = 90^\circ)\)

\begin{gather*} EK = \frac{OK}{\cos K} = \frac{6}{\cos 60^\circ} = 12\ \text{см}.\\[6pt] S_{\text{біч}} = \pi rl, \end{gather*}

де \(r\) – радіус основи, \(l\) – твірна.

\begin{gather*} r = OK = 6\ \text{см};\\[7pt] l = EK = 12\ \text{см};\\[6pt] S_{\text{біч}} = \pi \cdot 6 \cdot 12 = 72\pi\ \text{см}^2;\\[6pt] \frac{S_{\text{біч}}}{\pi} = \frac{72\pi}{\pi} = 72. \end{gather*}

Відповідь: \(72.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6154

Завдання 148 з 2199

Ha рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\), що визначена на проміжку \((-\infty;+\infty)\) i має лише три нулі.

Розв'яжіть систему \(\begin{cases}f(x)\ge0, \\ x^2+x-6\gt0.\end{cases}\)

У відповіді запишіть суму всіх цілих розв'язків системи.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв’язування раціональних, ірраціональних і трансцендентних рівнянь, нерівностей та їхніх систем.

Розв’яжемо нерівність \(x^2 + x - 6 \gt 0\)

\begin{gather*} x^2 + x - 6 = 0;\\[7pt] D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25;\\[6pt] x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;\\[6pt] x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3. \end{gather*}

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x \in [-1; 6] \cup \{9\},\\ x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty). \end{array}\right. \end{gather*}

Розв’язок системи \(x \in (2; 6] \cup \{9\}.\)

Сума цілих розв’язків:

\begin{gather*} 3 + 4 + 5 + 6 + 9 = 27. \end{gather*}

Відповідь: \(27.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6155

Завдання 149 з 2199

Знайдіть найменше значення \(a\), при якому має розв'язки рівняння

\(\dfrac12(\sin x+\sqrt3\cos x)=6-5a-2a^2\).

Впишіть відповідь:

-3.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння і нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв’язування раціональних, ірраціональних і трансцендентних рівнянь, нерівностей та їхніх систем, уміння розв’язувати рівняння з параметрами.

\begin{gather*} \frac 12\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 6 - 5a - 2a^2;\\[6pt] \cos\frac{\pi}{3} = \frac 12;\\[6pt] \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Використовуємо метод допоміжного кута. Отримаємо:

\begin{gather*} \sin x \cdot \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{3}=6-5a-2a^2;\\[6pt] \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 6 - 5a - 2a^2. \end{gather*}

Тригонометричне рівняння має корені, якщо \(|6 - 5a - 2a^2| \le 1.\)

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 6 - 5a - 2a^2 \le 1, \\ 6 - 5a - 2a^2 \ge -1, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} -2a^2 - 5a + 5 \le 0, \\ -2a^2 - 5a + 7 \ge 0, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2a^2 + 5a - 5 \ge 0, \\ 2a^2 + 5a - 7 \le 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв’яжемо кожну нерівність:

1) \(2a^2 + 5a - 5 \ge 0,\)

\begin{gather*} 2a^2 + 5a - 5 = 0;\\[7pt] D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 65;\\[6pt] a_1 = \frac{-5 + \sqrt{65}}{4};\\[6pt] a_2 = \frac{-5 - \sqrt{65}}{4} \end{gather*}

2) \(2a^2 + 5a - 7 \le 0,\)

\begin{gather*} 2a^2 + 5a - 7 = 0;\\[7pt] D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81;\\[6pt] a_3 = \frac{-5 + 9}{4} = 1;\\[6pt] a_4 = \frac{-5 - 9}{4} = -3{,}5. \end{gather*}

Знайдемо розв’язок системи нерівностей

\begin{gather*} a \in \left[-3{,}5;\ \frac{-5 - \sqrt{65}}{4}\right] \cup \left[\frac{-5 + \sqrt{65}}{4};\ 1\right]. \end{gather*}

Найменше значення \(a\), при якому рівняння має розв’язки \(a = -3{,}5.\)

Відповідь: \(-3{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 122. Запитання: 6156

Завдання 150 з 2199

Розв’яжіть нерівність \(10-3x\gt4\).

А\((-2;+\infty)\)

Б\((2;+\infty)\)

В\((-3;+\infty)\)

Г\((-\infty;-2)\)

Д\((-\infty;2)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 10 - 3x \gt 4;\\[7pt] -3x \gt 4 - 10;\\[7pt] -3x \gt -6;\\[7pt] x \lt 2. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-\infty; 2). \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6157

Завдання 151 з 2199

Обчисліть \(\dfrac{5}{9}\cdot0{,}3\).

А\(\dfrac{1}{6}\)

Б\(\dfrac{5}{3}\)

В\(\dfrac{1}{8}\)

Г\(\dfrac{8}{19}\)

Д\(\dfrac{1}{30}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами.

\begin{gather*} \frac 59 \cdot 0{,}3 = \frac{5\cdot 3}{9\cdot 10}=\frac 16. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6158

Завдання 152 з 2199

За видачу свідоцтва про право на спадщину стягується державне мито в розмірі \(0{,}5\, \%\) від вартості майна, що успадковується. Скільки державного мита повинен сплатити спадкоємець, якщо вартість майна, що успадковується, становить \(32\, 000\) грн?

А\(16\) грн

Б\(64\) грн

В\(160\) грн

Г\(320\) грн

Д\(1\,600\) грн

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння роз'язувати текстові задачі, зокрема на відсотки.

Знайдемо \(0{,}5\ \%\) від \(32\ 000\) грн.

\begin{gather*} \frac{32\ 000\cdot 0{,}5}{100}=320\cdot 0{,}5=160\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6159

Завдання 153 з 2199

На рисунку зображено вектор \(\vec a\). Який із наведених векторів дорівнює вектору \(-\dfrac{2}{3}\vec a\)?

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє знання поняття вектора, уміння виконувати дії з векторами.

За правилом знаходження добутку вектора на число, вектор \(-\dfrac{2}{3}\vec{a}\) спрямований у протилежний бік від \(\vec{a}\) та довжиною \(\dfrac{2}{3}\) від довжини \(\vec{a}.\)

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6160

Завдання 154 з 2199

Спростіть вираз \(\dfrac{b^2\cdot b^{10}}{b^4}\), де \(b\neq0\).

А\(b^{16}\)

Б\(b^8\)

В\(b^5\)

Г\(b^4\)

Д\(b^3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Степеневі вирази.

Це завдання перевіряє знання властивостей степенів з цілими показниками, вміння виконувати тотожні перетворення з ними.

\begin{gather*} \frac{b^2 \cdot b^{10}}{b^4} = \frac{b^{12}}{b^4} = b^{12 - 4} = b^8. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6161

Завдання 155 з 2199

На рисунку зображено розгортку многогранника. Визначте кількість його вершин.

А\(10\)

Б\(9\)

В\(8\)

Г\(6\)

Д\(5\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників за їх розгорткою.

На рисунку зображено розгортку трикутної призми. Отже, кількість його вершин – \(6.\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6162

Завдання 156 з 2199

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння \(2^x=\dfrac 18\)?

А\((-6; -4]\)

Б\((-4; -2]\)

В\((-2; 0]\)

Г\((0; 2]\)

Д\((2; 4]\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння, порівнювати раціональні числа.

\begin{gather*} 2^x=\frac 18;\\[6pt] 2^x=2^{-3};\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку \((-4; -2].\)

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6163

Завдання 157 з 2199

Сума градусних мір двох кутів паралелограма дорівнює \(150^\circ\). Знайдіть градусну міру більшого кута паралелограма.

А\(75^\circ\)

Б\(95^\circ\)

В\(105^\circ\)

Г\(115^\circ\)

Д\(120^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.

У паралелограма протилежні кути рівні, а прилеглі до однієї сторони – у сумі дорівнюють \(180^\circ\) (як внутрішні односторонні при паралельних прямих).

За умовою сума двох кутів \(150^\circ.\) Це можуть бути тільки протилежні кути, кожен з яких

\begin{gather*} 150^\circ : 2 = 75^\circ. \end{gather*}

Інші протилежні кути дорівнюють

\begin{gather*} 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\ \text{(більший кут)}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6164

Завдання 158 з 2199

Обчисліть \(\log_3 18-\log_3 2.\)

А\(2\)

Б\(3\)

В\(\log_3 16\)

Г\(6\)

Д\(9\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифма та вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

\begin{gather*} \log_3 18-\log_3 2=\log_3\left(\frac{18}{2}\right)=\log_3 9=\log_3 3^2=2\log_3 3=2. \end{gather*}

Використали властивість логарифма:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^p=p\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6165

Завдання 159 з 2199

До кола проведено дотичну \(AB\) (\(B\) – точка дотику) та січну \(AC\), що проходить через центр \(O\) кола (див. рисунок). Знайдіть градусну міру кута \(COB\), якщо \(\angle OAB=35^\circ\).

А\(105^\circ\)

Б\(115^\circ\)

В\(120^\circ\)

Г\(125^\circ\)

Д\(145^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей дотичної до кола, зовнішнього кута трикутника.

Дотична \(AB\) до кола перпендикулярна радіусу \(OB\), проведеному в точку дотику \(\angle OBA = 90^\circ.\)

\(\angle COB\) – зовнішній кут \(\Delta OAB.\)

Отже,

\begin{gather*} \angle COB = \angle OBA + \angle BAO = 90^\circ + 35^\circ = 125^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6166

Завдання 160 з 2199

У саду ростуть \(60\) дерев: \(28\) яблунь, \(20\) вишень і \(12\) абрикос. На одній із діаграм правильно зображено розподіл дерев у саду. Укажіть цю діаграму.

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

Всього \(60\) дерев. Яблунь – \(28\) (трохи менше половини), вишень – \(20\) (третина всіх дерев), абрикос – \(12\) (менше чверті).

Даним умовам задовольняє діаграма Д.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 123. Запитання: 6167