Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних та раціональних рівнянь.

Розв'яжемо систему рівнянь:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3y}=\frac 2x, \\ x-y=30. \end{array} \right. \end{gather*}

Застосуємо основну властивість пропорції до першого рівняння:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 1\cdot x=2\cdot 3y, \\ x-y=30, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ x-y=30. \end{array} \right. \end{gather*}

Методом підстановки маємо:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ 6y-y=30, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ 5y=30, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ y=6, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=6\cdot 6, \\ y=6, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x=36, \\ y=6. \end{array} \right. \end{gather*}

\((36;\ 6)\) – розв'язок системи, тому \(36+6=42\) – правильна відповідь.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

Правильне лише ІІІ твердження.

I.   Середня лінія трапеції не проходить через точку перетину її діагоналей.

II.  Діагональ трапеції не ділить її на два рівних трикутники \(\Delta ABC\ne \Delta ACD.\)

III. \(AC=BD\) (властивість рівнобічної трапеції). \(\Delta ABC=\Delta DCB\) (І ознака).

Відповідь: А.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

\begin{gather*} (\frac 17\cdot \sqrt[3]{7})^3=\left(\frac 17\right)^3\cdot (\sqrt[3]{7})^3=\frac{1}{7^3}\cdot 7=\frac{1}{7^2}=\frac{1}{49}. \end{gather*}

Застосували властивості:

\begin{gather*} (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n;\\[6pt] \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n};\\[6pt] (\sqrt[n]{a})^n=a\ \text{при}\ a\ge 0. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема циліндра.

Циліндр утворений обертанням квадрата навколо його сторони:

\(ABCD\) – квадрат.

Відповідь: А.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тестові задачі арифметичним способом, розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки.

Плата зросла на \(161-140=21\ (\text{грн}).\)

\(21\) гривня становить від \(140\) гривень: $$ \frac{21}{140}\cdot 100\text{%}=15\text{%}. $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком та формулою.

Нулем функції називається таке значення аргумента, при якому значення функції дорівнює нулю.

На графіку функції це точка перетину з віссю \(Ox.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Застосуємо правильно додавання векторів:

\begin{gather*} \overrightarrow{a}(a_1;\ a_2;\ a_3),\ \overrightarrow{b}(b_1;\ b_2;\ b_3)\\[7pt] \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}(a_1+b_1;\ a_2+b_2;\ a_3+b_3)=\\[7pt] =\overrightarrow{c}\left(2+(-7);\ -2+(-3);\ 3+4\right)=\overrightarrow{c}(-5;\ -5;\ 7). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

Розв'яжемо лінійну нерівність: \begin{gather*} x+3\le0,\\[7pt] x\le -3. \end{gather*} Зобразимо розв'язок на координатній прямій:

$$ x\in (-\infty;\ -3]. $$

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та хорд.

Відрізок, що сполучає дві точки кола, називається хордою. Найбільша за довжиною хорда – діаметр кола.

Отже, \(AB=32,\) тому що радіус кола дорівнює \(16\ (d=2R).\)

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Застосувавши розподільний закон множення, розкриємо дужки:

$$ 2(5x+6)=2\cdot 5x+2\cdot 6=10x+12. $$

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тестові задачі арифметичним способом.

Столи і стільці було придбано у співвідношенні \(1:3\) відповідно. Отже, столи становлять \(\frac 14\) всіх меблів, а стільці – решту, \(\frac 34\).

Правильно відображено розподіл на рисунку Г.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

\(\log_2^2x-(a-1)\log_2x-a=0.\)

ОДЗ: \(x\gt 0.\)

Зробимо заміну: \(\log_2x=t.\)

Корені квадратного рівняння:

\begin{gather*} t_1=\frac{(a-1)+(a+1)}{2}=a\\[6pt] t_2=\frac{a-1-(a+1)}{2}=-1. \end{gather*}

Повертаємось до заміни:

\begin{gather*} \left[ \begin{array}{l} \log_2x=-1,\\ \log_2x=a; \end{array} \right. \ \ \ \left[ \begin{array}{l} x_1=\frac 12,\\ x_2=2^a. \end{array} \right. \end{gather*}

\(x_1\notin (30;\ 100),\) тому даному проміжку повинен належати \(x_2.\)

\begin{gather*} 30\lt x_2\lt 100,\ \ 30\lt 2^a\lt 100.\\[7pt] \text{при}\ a=5\ (a\in \mathbb{Z}). \end{gather*}

Наймеше значення \(a=5.\)

Відповідь: 5.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про конус та його елементи, властивості подібних фігур.

Площина, паралельна основі, відтинає подібний конус.

Коефіцієнт подібності $$ k=\frac{AB}{AO}=\frac 12. $$ Об'єми подібних тіл відносяться як $$ k^3=\left(\frac 12\right)^3=\frac 18. $$

Отже, об'єм меншого конуса \(64:8=8\ (\text{см}).\)

Відповідь: 8.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Нехай Михайлу треба отримати \(x\) оцінок \(\text{"}10\text{"}.\)

Середнє арифметичне значень:

\begin{gather*} \frac{8+7+9+8+10\cdot x}{x+4}=9,5\\[6pt] 32+10x=9,5(x+4)\\[6pt] 32+10x=9,5x+38\\[7pt] 0,5x=6\\[7pt] x=12. \end{gather*}

Отже, Михайлу треба отримати \(12\) оцінок \(\text{"}10\text{"}.\)

Відповідь: 12.