Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 180

Математика. Всі запитання починаючи з 180

181182183184185186187188189190191192193194195 ▶

Завдання 181 з 2177

У прямокутному трикутнику \(ACB\ \angle C=90^\circ\), \(\angle B=22^\circ.\) На продовженні катета \(AC\) вибрано точку \(K\) так, що \(AK=KB\) (див. рисунок). Точка \(O\) – центр кола, описаного навколо трикутника \(ACB.\) До кожного кута (1–3) доберіть його градусну міру (А – Д).

Кут

1\(\angle BAC\)

2\(\angle KBC\)

3\(\angle OKB\)

Градусна міра кута

А\(22^\circ\)

Б\(36^\circ\)

В\(46^\circ\)

Г\(68^\circ\)

Д\(74^\circ\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. У прямокутному трикутнику \(\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)\) сума гострих кутів дорівнює \(90^\circ.\)

\(\angle B+\angle A=90^\circ\), \(\angle B=22^\circ\), тому \(\angle A=90^\circ-22^\circ=68^\circ.\) \(\angle BAC=68^\circ.\)

Отже, 1 – Г.

2. За умовою \(AK=KB\), тож трикутник \(AKB\) – рівнобедрений з основою \(AB.\) У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні:

\begin{gather*} \angle KBA=\angle KAB=68^\circ. \end{gather*}

\begin{gather*} \angle KAB=\angle KBC+\angle CBA;\\[7pt] \angle KBC=\angle KAB-\angle CBA=68^\circ-22^\circ=46^\circ. \end{gather*}

Отже, 2 – B.

3. \(\Delta AKB\) – рівнобедрений, \(KO\) – медіана, \(AO=OB\) (як радіуси). За властивістю рівнобедреного трикутника, \(KO\) – висота, \(KO\!\perp\!AB.\)

\begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle KBO=90^\circ-68^\circ=22^\circ. \end{gather*}

\(\Delta ACB\) – прямокутний, тому центр кола, описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи \(AB.\)

Отже, 3 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37523

Завдання 182 з 2177

Доберіть до функції (1–3) властивість її графіка (А – Д).

Функція

1\(y=\cos x\)

2\(y=-\frac 2x\)

3\(y=2^x\)

Властивість графіка функції

Апроходить черз точку \((1; 0)\)

Бне перетинає вісь \(y\)

Всиметричний відносно осі \(y\)

Грозміщений лише в І та ІІ координатних чвертях

Дрозміщений лише в І та ІV координатних чвертях

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. \(y=\cos x.\)

Функція парна \(\cos(-x)=\cos x\), тому її графік симетричний відносно осі \(Oy.\) Отже, 1 – B.

2. Функція \(y=-\frac 2x\) має графік гіперболу.

Вона ніколи не перетинає осей координат, оскільки \(x\ne 0\), то й \(y\ne 0.\)

Отже, 2 – Б.

3. Показникова функція \(y=2^x.\) Функція набуває лише додатних значень.

Оскільки показникова функція набуває лише додатних значень, графік функції може перебувати лише там, де \(y\gt 0.\) Це верхня частина координатної площини (над віссю \(Ox\)).

Оскільки функція визначена на всій числовій прямій, \(x\in (-\infty; +\infty)\), графік обов'язково буде в I та II чвертях.

Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37522

Завдання 183 з 2177

Доберіть до виразу (1–3) проміжок (А – Д), якому належить значення цього виразу.

Вираз

1\(\sqrt{(-3)^2}\)

2\(\sqrt{3}-1\)

3\(\log_{\frac 13}\sqrt{3}\)

Проміжок

А\([-3; -1)\)

Б\([-1; 0)\)

В\([0; 1)\)

Г\([1; 2)\)

Д\([2; 3]\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних і логарифмічних виразів.

1. \(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\in [2; 3].\)

Отже, правильна відповідь – Д.

\begin{gather*} \sqrt{1}\lt \sqrt{3}\lt \sqrt{4};\\[7pt] 1\lt\sqrt{3}\lt 2;\\[7pt] \sqrt{3}\approx 1{,}7;\\[7pt] 1{,}7-1=0{,}7\in [0; 1). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – В.

\begin{gather*} \log_{\textstyle \frac13}\sqrt{3}=\log_{\textstyle 3^{-1}} 3^{\textstyle \frac 12}=-1\cdot \frac 12\log_3 3=-\frac 12\in [-1; 0). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Для спрощення виразу застосували формули:

\begin{gather*} \log_a b^n=n\cdot \log_a b;\\[6pt] \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\log_a b;\\[6pt] \log_a a=1. \end{gather*}

Відповідь: 1 – Д, 2 – B, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37521

Завдання 184 з 2177

На колі вибрано точки \(A\), \(B\) i \(C\) так, що \(\angle ACB=30^\circ\) (див. рисунок). Визначте довжину цього кола, якщо довжина меншої дуги \(AB\) дорівнює \(30\) см.

А\(600\) см

Б\(180\) см

В\(300\) см

Г\(240\) см

Д\(360\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння визначати довжину дуги кола.

Точка \(O\) – центр кола. За властивістю вписаного кута \begin{gather*} \angle ACB=\frac 12\angle AOB, \end{gather*} \(O\) – центр кола. Вписаний кут у колі дорівнює половині дуги, на яку він спирається, або половині відповідного центрального кута.

\begin{gather*} \angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

Градусна міра дуги \(AB\) дорівнює \(60^\circ.\) За формулою довжини дуги:

\begin{gather*} l=\frac{L}{360^\circ}\cdot n, \end{gather*}

де \(L\) – довжина кола, \(n\) – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).

Тобто

\begin{gather*} 30=\frac{L\cdot 60^\circ}{360^\circ},\\[6pt] 30=\frac L6,\\[6pt] L=30\cdot 6=180\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37520

Завдання 185 з 2177

У геометричній прогресії \((b_n)\) відомо, що \(b_1=2\), \(b_2=6.\) Визначте \(b_4.\)

А\(54\)

Б\(72\)

В\(12\)

Г\(18\)

Д\(3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

За означенням геометричної прогресії \((q)\), кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на знаменник прогресії:

\begin{gather*} q=\frac{b_n}{b_{n-1}}.\\[6pt] q=\frac{b_2}{b_1}=\frac 62=3. \end{gather*}

Застосуймо формулу \(n\text{-го}\) члена:

\begin{gather*} b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\[7pt] b_4=2\cdot 3^{4-1}=2\cdot 3^3=2\cdot 27=54. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37519

Завдання 186 з 2177

У прямокутній системі координат у просторі задано точку \(A(-2; 4; -3).\) Визначте координати точки – проєкції точки \(A\) на вісь \(z.\)

А\((0; 4; -3)\)

Б\((0; 0; -3)\)

В\((-2; 4; 0)\)

Г\((-2; 0; 0)\)

Д\((0; 4; 0)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання декартової системи координат у просторі, понять проєкції точки на вісь.

Проєкція точки \(A\ (-2; 4; -3)\) на вісь \(z\) – точка, у якої абсциса (координата за віссю \(Ox\)) та ордината (координата за віссю \(Oy\)) дорівнюють \(0\), а апліката (координата за віссю \(Oz\)) збігається з аплікатою точки \(A.\)

З-поміж запропонованих варіантів лише точка з координатами \(\ (0; 0; -3)\) лежить на осі \(z.\)

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37518

Завдання 187 з 2177

Визначте найменший цілий розв'язок нерівності \(\dfrac x3-\dfrac x2\lt 1.\)

А\(1\)

Б\(-1\)

В\(-6\)

Г\(-5\)

Д\(0\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Нерівність з однією змінною.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати нерівності.

Помножмо обидві частини нерівності на \(6{:}\)

\begin{gather*} 6\cdot \frac x3-6\cdot \frac x2\lt 6\cdot 1;\\[6pt] 2x-3x\lt 6;\\[7pt] -x\lt 6. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(–1{:}\)

\begin{gather*} x\gt -6. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

Найменше ціле число \(x\) з інтервалу \(x\in (-6; +\infty)\) \(-5.\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37517

Завдання 188 з 2177

Спростіть вираз \(\dfrac{(2x-3)^2-9}{x}.\)

А\(4x-12\)

Б\(4x-6\)

В\(4x\)

Г\(2x-6\)

Д\(2x-12\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – квадрат різниці:

\begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\\[6pt] \frac{(2x-3)^2-9}{x}=\frac{4x^2-12x+9-9}{x}=\frac{4x^2-12x}{x}=\\[6pt] =\frac{4x(x-3)}{x}=4(x-3)=4x-12. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37516

Завдання 189 з 2177

Дарина купила сир і фрукти, витративши \(240\) грн. Скільки грошей (грн) Дарина витратила на фрукти, якщо за сир вона заплатила \(\dfrac 35\) від витраченої суми?

А\(34\)

Б\(30\)

В\(45\)

Г\(60\)

Д\(96\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії над ними. Текстові задачі.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

І спосіб
Спершу з'ясуймо, скільки коштує сир. Для цього помножмо загальну суму витрачених грошей на дріб:

\begin{gather*} 240\cdot \frac 35=\frac{240\cdot 3}{5}=\frac{48\cdot 3}{1}=144\ \text{грн}. \end{gather*}

Для обчислення суми, яку Дарина витратила на фрукти, віднімімо від загальної суми витрачених грошей вартість сиру:

\begin{gather*} 240-144=96\ \text{грн}. \end{gather*}

II спосіб
Визначмо, яку частину від загальної суми витрачених грошей становить вартість фруктів:

\begin{gather*} 1-\frac 35=\frac 55-\frac 35=\frac{5-3}{5}=\frac 25. \end{gather*}

Обчислімо вартість фруктів:

\begin{gather*} 240\cdot \frac 25=\frac{240\cdot 2}{5}=48\cdot 2=96\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37514

Завдання 190 з 2177

Розв'яжіть систему рівнянь \(\begin{cases} \dfrac{1}{3y}=\dfrac 2x,\\ x-y=30. \end{cases}\)
Якщо \((x_0; y_0)\) – розв'язок цієї системи, то \(x_0+y_0=\)

А\(35\)

Б\(-150\)

В\(150\)

Г\(36\)

Д\(42\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Системи лінійних рівнянь.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь способом підставлення, застосовувати основну властивість пропорції.

Спростімо перше рівняння за властивістю пропорції (перемножмо навхрест):

\begin{gather*} 1\cdot x=2\cdot 3y;\\[7pt] x=6y. \end{gather*}

Підставмо отриманий вираз у друге рівняння системи:

\begin{gather*} 6y-y=30;\\[7pt] 5y=30;\\[7pt] y=6. \end{gather*}

Обчислімо \(x{:}\)

\begin{gather*} x=6\cdot 6;\\[7pt] x=36. \end{gather*}

Отже, розв'язок системи – пара чисел \((36; 6).\)

\begin{gather*} x_0+y_0=36+6=42. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37513

Завдання 191 з 2177

Кути гострокутного трикутника \(ABC\) задовольняють умову \(\angle A\lt \angle B\lt \angle C.\) Які з наведених тверджень правильні?

I. \(AB\) – найдовша сторона трикутника \(ABC.\)

II. Трикутник \(ABC\) – рівнобедрений.

III. Висота, проведена з вершини \(A\), менша за сторону \(AC.\)

Алише I

Блише IІІ

Влише I та IIІ

Глише IІ та ІІІ

ДІ, ІІ та IІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання співвідношення між сторонами й кутами трикутника.

I. У трикутнику навпроти найбільшого кута \((\angle C)\) завжди лежить найдовша сторона \((AB).\) \(AB\) – найдовша сторона трикутника \(ABC.\) Твердження правильне.

II. За умовою \(\angle A\lt \angle B\lt \angle C\), тобто всі кути мають різну градусну міру. Це означає, що трикутник різносторонній. Твердження неправильне.

ІII.

Проведімо висоту \((AH)\) із вершини \(A\) до сторони \(BC.\) Розгляньмо прямокутний трикутник \(AHC\) (де \(\angle H=90^\circ\)). У цьому трикутнику сторона \(AC\) – гіпотенуза, а висота \(AH\) – катет. Оскільки гіпотенуза завжди довша за будь-який катет \((AC\gt AH)\), то висота дійсно менша за сторону \(AC.\) Висота, проведена з вершини \(A\), менша за сторону \(AC.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37512

Завдання 192 з 2177

Функція \(y=f(x)\) визначена на проміжку \((-\infty; 0)\) і набуває лише від'ємних значень. Визначте всі координатні чверті (див. рисунок), у яких розташований графік цієї функції.

Алише в III та IV

Блише в IV

Влише в III

Глише в IІ та IІІ

Длише в IІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння пов’язувати аналітичні властивості функції з її геометричним представленням на координатній площині.

Оскільки за умовою значення \(y\) завжди від'ємні, графік функції може перебувати лише там, де \(y\lt 0.\) Це нижня частина координатної площини (під віссю \(Ox\)).

Оскільки функція визначена на \(x\in (-\infty; 0)\), графік обов'язково буде в тій зоні, де \(x\lt 0\) (це III чверть).

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37510

Завдання 193 з 2177

Спростіть вираз \(a^6\cdot \sqrt{a^4}\), де \(a\ge 0.\)

А\(a^{5}\)

Б\(a^{10}\)

В\(a^{12}\)

Г\(a^{8}\)

Д\(a^{7}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Ірраціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

\begin{gather*} \sqrt{a^4}=a^{\textstyle \frac 42}=a^2,\ a\ge 0.\\[7pt] a^6\cdot a^2=a^{6+2}=a^8. \end{gather*}

Застосували властивості степенів:

\begin{gather*} a^{\textstyle \frac mn}=\sqrt[\scriptstyle n]{a^m};\\[7pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37509

Завдання 194 з 2177

Яке тіло обертання утвориться, якщо прямокутну трапецію обертати навколо її бічної сторони, що містить прямий кут (див. рисунок)?

Аконус

Бкуля

Взрізаний конус

Гциліндр

Дпризма

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання означення конуса як тіла обертання.

Зрізаний конус – це геометричне тіло, утворене частиною конуса, яку отримують, коли відсікають верхню частину конуса, перетнувши його площиною, що паралельна основі.

На малюнку зображено прямокутну трапецію, що обертається навколо осі, яка проходить через бічну сторону, перпендикулярну до основ.

Під час обертання:

кожна точка трапеції описує коло;
радіус змінюється від більшого (внизу) до меншого (вгорі);
утворюється тіло з двома круговими основами різного радіуса.

Отже, унаслідок обертання прямокутної трапеції навколо цієї сторони утворюється зрізаний конус.

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37507

Завдання 195 з 2177

З вершини зображеного на рисунку розгорнутого кута \(AOB\) проведено два промені \(OK\) i \(OM\) так, що \(\angle KOB=110^\circ\), \(\angle MOB=30^\circ.\) Обчисліть градусну міру кута \(KOM.\)

А\(140^\circ\)

Б\(80^\circ\)

В\(60^\circ\)

Г\(70^\circ\)

Д\(90^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

\(\angle KOB=\angle KOM+\angle MOB.\)

Підставмо відомі значення:

\begin{gather*} 110^\circ=\angle KOM+30^\circ;\\[7pt] \angle KOM=110^\circ-30^\circ;\\[7pt] \angle KOM=80^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 741. Запитання: 37506