ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

Функція \(y=f(x)\) зростає на проміжку, якщо для будь-яких \(x_1\lt x_2\) із цього проміжку виконується нерівність:

Графічно це ділянка, що підіймається зліва направо, тобто графік «йде вгору» за руху вздовж осі \(Ox\) у напрямку зростання \(x.\)

Отже, функція \(y=f(x)\) зростає для \(x\in [-3; 1].\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей рівнобедрених трикутників.

У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, водночас є медіаною і висотою.

I. \(AB+BC=AC\) – неправильно (сума двох сторін завжди більша за третю).

II. \(BK\ \perp\ AC\) – правильно (бісектриса є висотою).

III. \(AK=KC\) – правильно (бісектриса є медіаною).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати квадратні рівняння.

Більший корінь \(2{,}5\) належить проміжку \((0; 3].\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку знання формули для обчислення об’єму циліндра й уміння її застосовувати.

Об'єм циліндра обчислімо за формулою:

Радіус основи та висота циліндра дорівнюють \(R.\)

Підставмо у формулу замість висоти циліндра \(H\) радіус \(R\) його основи й скористаймося властивістю степеневих виразів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання ознак подільності чисел, уміння розв'язувати задачі на відношення та пропорції.

Відношення кількості диванів і крісел: \(1:2.\)

Якщо диванів \(x\), а крісел \(2x\), то разом їх:

Загальна кількість диванів і крісел є числом, кратним \(3.\)

За ознакою подільності число ділиться на \(3\) тоді й тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на \(3.\)

Відповідь: А.

ТЕМА: Логарифмічні вирази та перетворення їх.

Завдання скеровано на перевірку знання означення та властивостей логарифма, модуля числа.

За означенням логарифма:

За властивістю логарифмів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу.  Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену на діаграмі.

Відношення кількості столів до кількості стільців: \(1:3.\)

Це означає, що на \(1\) стіл припадає \(3\) стільці.

Усього частин:

Частка столів: \(\frac 14\) від усього кола.

У градусах це:

\begin{gather*} 360^\circ : 4=90^\circ\ (\text{прямий кут}). \end{gather*}

Частка стільців: \(\frac 34\) від усього кола (решта \(270^\circ\)).

Отже, вибираємо діаграму, де темний сектор (столи) становить чверть кола (прямий кут) – варіант відповіді Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Чотирикутники. Коло.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей квадрата, уміння обчислювати його периметр.

Діаметр кола дорівнює стороні квадрата, у яке воно вписане.

Оскільки діаметр дорівнює двом радіусам \((d=2r)\), то сторона квадрата

Периметр квадрата дорівнює сумі всіх його чотирьох сторін:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів.

За властивістю степенів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Лінійні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні нерівності, знання властивостей нерівностей.

\begin{gather*} x\in \left(-\infty; -\frac 14\right). \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей кола, круга та їхніх елементів, властивостей прямокутника.

Оскільки діаметри кола та півкола дорівнюють стороні \(AB=8\) см, маємо дві фігури однакового радіуса:
радіус кола \((R){:}\) \begin{gather*} R=\frac{AB}{2}=\frac{8\ \text{см}}{2}=4\ \text{см}; \end{gather*} радіус півкола \((r){:}\) \begin{gather*} r=\frac{CD}{2}=\frac{8\ \text{см}}{2}=4\ \text{см}. \end{gather*}

1.

Коло та півколо мають лише одну спільну точку (дотикаються зовні).

Отже, правильна відповідь – Б.

2.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta OCO_1\ (\angle O_1=90^\circ){:}\)

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Г.

3.

Розгляньмо чотирикутник \(AOO_1D\) – прямокутну трапецію \((AD\ ||\ OO_1\), \(O_1D\ \perp\ AD).\) Відстань від середини \(AB\) до сторони \(O_1D\) є середньою лінією трапеції \(AOO_1D{:}\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

Два числа називають протилежними, якщо їхня сума дорівнює нулю (наприклад, \(5\) і \(-5\)). Отже, для коренів рівняння має виконуватися умова: \begin{gather*} x_1+x_2=0. \end{gather*}

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком: \begin{gather*} x_1+x_2=-p. \end{gather*}

У рівнянні

зведімо подібні доданки:

Коефіцієнт:

Отже, має виконуватися умова:

Отримуємо два значення: \(a=1\) та \(a=-5.\)

Перевірка існування коренів (дискримінант): числа є коренями рівняння, якщо дискримінант \(D\ge 0.\)

Оскільки за \(x_1+x_2=0\) рівняння набуває вигляду \(x^2+q=0\), то корені існують, якщо \(q\le 0.\)

Якщо \(a=1{:}\) \(q=a+2=1+2=3\gt 0.\) Рівняння \(x^2+3=0\) не має дійсних коренів, тобто \(a=1\) не підходить.

Якщо \(a=-5{:}\) \(q=a+2=-5+2=-3\lt 0.\) Рівняння \(x^2-3=0\) має корені \(\sqrt{3}\) та \(-\sqrt{3}.\) Тож \(a=-5\) підходить.

Оскільки умову задовольняє лише одне значення \(a=-5\), то сума значень дорівнює самому числу \(-5.\)

Відповідь: \(-5.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати площу діагонального перерізу призми.

Основою призми є паралелограм зі сторонами \(AB = 8\) і \(AD = 15\), \(\angle A = 60^\circ.\)

Діагональний переріз прямої призми – прямокутник, сторонами якого є висота призми та діагональ основи.

Невідомий діагональний переріз меншої площі буде побудовано на меншій діагоналі основи. У паралелограмі менша діагональ завжди лежить навпроти гострого кута. Отже, треба визначити довжину діагоналі \(BD.\)

Розгляньмо трикутник \(ABD.\) За теоремою косинусів:

Меншим діагональним перерізом є прямокутник \(DBB_1D_1\) зі сторонами \(BD = 13\) см і висотою \(BB_1 = 20\) см.

Обчислімо його площу \(S{:}\)

Відповідь: \(260.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

І. Для замовлення одного автобуса у виконавця є \(8\) різних автобусів. Оскільки треба вибрати лише один, то кількість способів зробити це дорівнює кількості автобусів: \begin{gather*} N_1=8. \end{gather*}

ІІ. Для замовлення двох мікроавтобусів у виконавця є \(6\) різних мікроавтобусів. Нам треба вибрати два з них. Оскільки порядок вибору не має значення (просто потрібні дві машини), скористаймося формулою для комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можлих:

Отже, існує \(15\) способів вибрати два мікроавтобуси.

За правилом додавання (оскільки ми вибираємо або перший варіант, або другий), додаємо отримані результати:

Усього існує \(23\) варіанти вибору машин.

Відповідь: \(23.\)