Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 230

Математика. Всі запитання починаючи з 230

231232233234235236237238239240241242243244245 ▶

Завдання 231 з 2199

Робітники отримали замовлення викопати криницю. За перший викопаний у глибину метр криниці їм платять $50$ грн, а за кожний наступний – на $20$ грн більше, ніж за попередній. Скільки грошей (у грн) сплатять робітникам за викопану криницю завглибшки $12$ м?

Впишіть відповідь:

1920

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, знання формули суми $n$-перших членів арифметичної прогресії.

Математична модель задачі – дано $(a_{n})$ – арифметична прогресія, $a_{1} = 50$, $d = 20$, знайти $S_{12}.$

\begin{gather*} S_{12} = \frac{2a_{1} + d(12 - 1)}{2} \cdot 12 = \frac{2 \cdot 50 + 20 \cdot 11}{2} \cdot 12 = \\[6pt] = (50 + 110) \cdot 12 = 160 \cdot 12 = 1920. \end{gather*}

Відповідь: $1920.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6240

Завдання 232 з 2199

Розв’яжіть нерівність $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\textstyle x^2-x}\gt8^{\textstyle x-5}$.

У відповідь запишіть суму всіх цілих розв’язків цієї нерівності. Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число $100$.

Впишіть відповідь:

-7

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові та квадратні нерівності та їхні системи.

Зведемо обидві частини нерівності до однакової основи.

\begin{gather*} 2^{\textstyle -x^2 + x}\gt (2^{\textstyle 3})^{\textstyle x - 5};\\[7pt] 2^{\textstyle -x^2 + x}\gt 2^{\textstyle 3x - 15}. \end{gather*}

Функція $y = 2^{\textstyle x}$ зростає, тому

\begin{gather*} -x^2+x\gt 3x - 15;\\[7pt] -x^2-2x+15\gt 0;\\[7pt] x^2+2x-15\lt 0.\\[7pt] x^{2} + 2x - 15 = 0;\\[7pt] D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 64;\\[6pt] x_1=\frac{-2 + 8}{2} = 3;\\[6pt] x_2=\frac{-2 - 8}{2} = -5. \end{gather*}

\begin{gather*} x \in (-5; 3). \end{gather*}

Сума цілих розв’язків:

\begin{gather*} -4 + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = -7. \end{gather*}

Відповідь: $-7.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6241

Завдання 233 з 2199

Тарас може доїхати на велосипеді від села до станції за $3$ год, а пішки дійти за $7$ год. Його швидкість пішки на $8$ км/год менша, ніж на велосипеді. Знайдіть відстань від села до станції (у км).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою складання рівнянь.

Нехай швидкість пішки $x$ км/год, тоді на велосипеді – $(x + 8)$ км/год.

	$V$, км/год	$t$, год	$S$, км
Пішки:	$x$	$7$	$7x$
На велосипеді:	$x + 8$	$3$	$3(x + 8)$

Шлях пішки та на велосипеді однаковий, тому складемо рівняння:

\begin{gather*} 7x = 3(x + 8);\\[7pt] 7x = 3x + 24;\\[7pt] 4x = 24;\\[7pt] x = 6. \end{gather*}

$6$ км/год – швидкість пішки.

Отже, відстань від села до станції

\begin{gather*} 6 \cdot 7 = 42\ \text{км}. \end{gather*}

Відповідь: $42.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6242

Завдання 234 з 2199

Два кола, довжини яких дорівнюють $9\pi$ см і $36\pi$ см, мають внутрішній дотик. Знайдіть відстань між центрами цих кіл (у см).

Впишіть відповідь:

13.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання властивостей круга та його частин, формули площі круга.

Кола з центрами в точках $O$ та $O_1$ мають внутрішній дотик. Нехай $R$ – радіус великого кола, $r$ – радіус маленького кола.

\begin{gather*} C = 2\pi R = 36\pi;\\[7pt] R = 18\ \text{см}=O_1A;\\[7pt] C_1 = 2\pi r = 9\pi;\\[7pt] r = 4{,}5\ \text{см}=OA. \end{gather*}

Відстань між центрами кіл знаходимо різницею

\begin{gather*} OO_1=R-r=18-4{,}5=13{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: $13{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6243

Завдання 235 з 2199

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: $y=2\sin x$, $y=\cos x$, $x=\dfrac{\pi}{2}$, $x=\pi$.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати визначений інтеграл до знаходження площі криволінійної трапеції.

Побудуємо схематично графіки функцій:

$x = \dfrac{\pi}{2}$, $x = \pi$ – границі інтегрування.

Площу фігури знайдемо за допомогою визначеного інтеграла (від «верхньої лінії» віднімемо «нижню лінію»):

\begin{gather*} S_\text{фігури}=\mathop{\int}\limits_{\dfrac{\pi}{2}}^{\textstyle \pi} (2\sin x-\cos x)\ dx=(-2\cos x-\sin x)\bigg|_{\dfrac{\pi}{2}}^{\textstyle \pi}=\\[6pt] =(-2\cos \pi-\sin \pi)-\left(-2\cos \frac{\pi}{2}-\sin \frac{\pi}{2}\right)=-2(-1)-0-(-2\cdot 0-1)=\\[7pt] =2+1=3\ \text{кв. од.} \end{gather*}

Відповідь: $3.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6244

Завдання 236 з 2199

Основою піраміди є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює $4\sqrt3$ см, гострий кут – $30^\circ$. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під кутом $45^\circ$. Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об’ємів многогранників, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

$DABC$ – піраміда, $\Delta ABC$ – прямокутний, $\angle C = 90^\circ$, $AB = 4\sqrt{3}$ см, $\angle A = 30^\circ$.

Усі бічні ребра $DA$, $DB$, $DC$ нахилені до площини під кутом $45^\circ$ – основа висоти піраміди є центром описаного навколо $\Delta ABC$ кола.

Центр кола точка $O$ – середина гіпотенузи.

$DA$, $DC$, $DB$ – похилі до площини $(ABC).$

$OA$, $OC$, $OB$ – проекції похилих.

Отже, кути між бічними ребрами та площиною основи

\begin{gather*} \angle DAO = \angle DCO = \angle DBO = 45^\circ. \end{gather*}

У $\Delta ABC\ (\angle C = 90^\circ)$, $\angle A = 30^\circ$, $AB = 4\sqrt{3}$ см.

\begin{gather*} AC = AB\cos A = 4\sqrt{3}\cos 30^\circ = \frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2} = 6\ \text{см};\\[6pt] S_{ABC} = \frac 12\cdot AB \cdot AC\sin A = \frac 12\cdot 4\sqrt{3}\cdot 6 \cdot \sin 30^\circ = 6\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

У $\Delta AOD\ (\angle O = 90^\circ)$, $\angle A = 45^\circ$, $AO = \dfrac 12AB = 2\sqrt{3}$ см. Отже, $\angle D = 45^\circ$ та $\Delta AOD$ – рівнобедрений $AO = OD = 2\sqrt{3}$ см.

\begin{gather*} V = \frac 13S_\text{осн} \cdot H,\\[6pt] \text{де}\ S_\text{осн} = S_{ABC} = 6\sqrt{3}\ \text{см}^2;\\[6pt] H = DO = 2\sqrt{3}\ \text{см}.\\[6pt] V = \frac 13\cdot 6\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3} = 12\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $12.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6245

Завдання 237 з 2199

Розв’яжіть рівняння $\sqrt{2x^2+7x-9}+|\sin(\pi x)+1|=0$.

Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше, ніж один корінь, то у відповідь запишіть суму всіх коренів.

Впишіть відповідь:

-4.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння та їхні системи, застосовувати властивості функцій до розв’язування рівнянь.

Оцінимо значення виразів:

\begin{gather*} \sqrt{2x^{2} + 7x - 9} \ge 0,\\[7pt] |\sin(\pi x) + 1| \ge 0. \end{gather*}

Отже, якщо рівняння має розв'язки, то кожний з виразів повинен дорівнювати нулю (щоб їх сума дорівнювала нулю).

\begin{gather*} \begin{cases} 2x^2 + 7x - 9 = 0,\ (1) \\ \sin(\pi x) + 1 = 0.\ (2) \end{cases} \end{gather*}

Розв'язуємо (1) рівняння:

\begin{gather*} D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121;\\[6pt] x_1=\frac{-7 + 11}{4} = 1;\\[6pt] x_2=\frac{-7 - 11}{4} = -\frac 92. \end{gather*}

Перевіримо, чи є коренями $x_1 = 1$ та $x_2=-\dfrac 92$ коренями (2) рівняння:

\begin{gather*} x_1=1;\\[7pt] \sin \pi + 1 = 0;\\[7pt] \end{gather*}

$1 \ne 0$ не є розв'язком.

\begin{gather*} x_2=-\frac 92;\\[6pt] \sin\left(-\frac{9\pi}{2}\right) + 1 = 0;\\[6pt] \sin\left(-4\pi - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(4\pi + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1;\\[6pt] -1 + 1 = 0. \end{gather*}

Отже, $x = -4{,}5$ – корінь рівняння.

Відповідь: $-4{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6246

Завдання 238 з 2199

Укажіть запис числа $0{,}351$ у стандартному вигляді.

А$3{,}51\cdot 10^{-1}$

Б$3{,}51\cdot 10^{1}$

В$3{,}51\cdot 10^{-2}$

Г$3{,}51\cdot 10^{2}$

Д$3{,}51\cdot 10^{-3}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє уміння записувати число в стандартному вигляді.

Число називається записаним у стандартному вигляді, якщо має вигляд $a\cdot 10^n$, де $1\le a\le 10$, $n\in Z.$

$$ 0{,}351=3{,}51\cdot 10^{-1}. $$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6247

Завдання 239 з 2199

У трикутнику $ABC$ проведено висоту $BM$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $MBA$, якщо $\angle A=40^\circ.$

А$20^\circ$

Б$45^\circ$

В$50^\circ$

Г$60^\circ$

Д$90^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника.

$BM$ – висота, отже $\angle AMB=90^\circ.$

У $\triangle ABM$ ($\angle M=90^\circ$) \begin{gather*} \angle A+\angle B=90^\circ,\\[7pt] \angle B=90^\circ-\angle A=90^\circ-40^\circ=50^\circ. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6248

Завдання 240 з 2199

Розв'яжіть рівняня $$ \frac x2+\frac x3=2. $$

А$1{,}2$

Б$5$

В$12$

Г$2{,}4$

Д$0{,}4$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє уміння розв’язувати лінійні рівняння.

Помножимо обидві частини рівняння на $6{:}$ \begin{gather*} \frac{x}{2}+\frac{x}{3}=2\ \big|\cdot 6,\\[6pt] 3x+2x=12,\\[6pt] 5x=12,\\[7pt] x=12:5,\\[7pt] x=2{,}4. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6249

Завдання 241 з 2199

Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією, знаменник якої $q\lt 0$?

А$-25$; $20$; $-15$; $10$

Б$-80$; $-40$; $-20$; $-10$

В$30$; $10$; $-10$; $-30$

Г$10$; $-20$; $40$; $-80$

Д$-15$; $-30$; $-45$; $-60$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення та властивостей геометричної прогресії.

За означенням геометричної прогресії: \begin{gather*} b_{n+1}=b_n\cdot q,\\[7pt] q=\frac{b_{n+1}}{b_n}. \end{gather*}

А) $$ q=\frac{20}{-25}\ne\frac{-15}{20}. $$

Б) $$ q=\frac{-40}{-80}=\frac{-20}{-40}=\frac{-10}{-20}=\frac{1}{2} $$ геометрична прогресія, але $q\gt 0.$

В) $$ q=\frac{10}{30}\ne\frac{-10}{10}. $$

Г) $$ q=\frac{-20}{10}=\frac{40}{-20}=\frac{-80}{40}=-2 $$ геометрична прогресія, $q\lt 0$.

д) $$ q=\frac{-30}{-15}\ne \frac{-45}{-30}. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6250

Завдання 242 з 2199

На круговій діаграмі (круг поділено пунктирними лініями на рівні сектори) показано розподіл кількості столів, які продано магазином протягом місяця (див. рисунок). Загальна кількість проданих столів за цей період становила $108.$ Скільки було серед них журнальних столів?

А$9$

Б$18$

В$27$

Г$36$

Д$54$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації.

На круговій діаграмі показано розподіл кількості столів, які продано протягом місяця.

Круг поділено на $12$ рівних секторів. Загальна кількість проданих столів – $108.$ Отже, кожний сектор відповідає $108:12=9$ столам.

Журнальних столів було продано $9\cdot 3=27$ штук.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6251

Завдання 243 з 2199

Якщо число $b$ становить $47\ \%$ від додатного числа $a$, то $b=$

А$\frac{47}{100\cdot a}$

Б$\frac{100}{47\cdot a}$

В$\frac{a}{47\cdot 100}$

Г$\frac{a}{47}\cdot 100$

Д$\frac{a}{100}\cdot 47$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Основні задачі на відсотки.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки та пропорції.

Якщо $b$ становить $47\ \%$ від числа $a$, то $$ b=a\cdot\frac{47}{100}=\frac{a}{100}\cdot 47. $$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6252

Завдання 244 з 2199

На рисунку зображено фрагмент графіка однієї з наведених функцій на відрізку $[-1; 1].$ Укажіть цю функцію.

А$y=-x^2$

Б$y=\sin x$

В$y=\mathrm{tg}\ x$

Г$y=\cos x$

Д$y=x^2$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Квадратичні, тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Розглянемо графік кожної з запропонованих функцій та перевіримо чи належить зоборажений фрагмент йому.

A. $y=-x^2$

Б. $y=\sin x$

В. $y=\mathrm{tg}\ x$

Г. $y=\cos x$

Д. $y=x^2$

Проаналізувавши всі графіки запропонованих функцій бачимо, що на рисунку зображено фрагмент графіка $y=\cos x.$ Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6253

Завдання 245 з 2199

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $$ 3^x\cdot 4^x=\frac{1}{144}. $$

А$[-25; -5)$

Б$[-5; -1)$

В$[-1; 1)$

Г$[1; 5)$

Д$[5; 25)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння та знання властивостей степенів.

\begin{gather*} 3^x\cdot 4^x=\frac{1}{144},\\[6pt] 12^x=\frac{1}{12^2},\\[6pt] 12^x=12^{-2},\\[7pt] x=-2. \end{gather*}

Корінь рівняння належить проміжку $[-5; -1).$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6254

	\(V\), км/год	\(t\), год	\(S\), км
Пішки:	\(x\)	\(7\)	\(7x\)
На велосипеді:	\(x + 8\)	\(3\)	\(3(x + 8)\)