ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання властивостей кола та круга, їхніх елементів; формули для обчислення відстані між двома точками, рівняння кола.

Коло задано рівнянням \(x^2+y^2=9\). Точки, які належать кругу, обмеженого цим колом, розташовані на відстані, не більшій, ніж радіус від центра кола. \((0; 0)\) – центр кола, \(R=3.\)

Отже, умова виконується, якщо координати точки \((x_0, y_0)\) задовольняють умові $$ x_0^2+y_0^2\le 9. $$

А) \((\sqrt{2})^2+5^2\gt 9.\)

Б) \(1^2+3^2\gt 9.\)

В) \(4^2+5^2\gt 9.\)

Г) \(3^2+2^2\gt 9.\)

Д) \(2^2+(\sqrt{3})^2\le 9,\ 7\le 9.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння знаходити числове значення тригонометричних виразів.

\(a=\sin 120^\circ\gt 0\),
\(b=\cos 120^\circ\lt 0\), отже \(b\lt 0\lt a.\)

Кут \(120^\circ\) належить II координатній чверті. У даній координатній чверті функція \(y=\sin x\) має додатний знак, а \(y=\cos x\) – від’ємний.

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відстань від точки до прямої, знання теореми про три перпендикуляри.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб, ребро якого \(1\) см.

Відстань від точки \(A\) до прямої \(B_1C_1\) – довжина перпендикуляра з точки \(A\) до прямої \(B_1C_1.\)

\(AB\ \perp\ (BB_1C_1)\), \(AB_1\) – похила на \((BB_1C_1)\), \(BB_1\) – проекція \(AB_1\) на \((BB_1C_1).\)

За теоремою про три перпендикуляри: якщо проекція \(BB_1\ \perp\ B_1C_1\), то й похила \(AB_1\ \perp\ B_1C_1\), а отже, \(AB_1\) – відстань від \(A\) до \(B_1C_1.\)

У \(\triangle ABB_1\) (\(\angle B=90^\circ\)) \(AB=BB_1=1\) см.

За теоремою Піфагора

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Системи лінійних нерівностей.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи нерівностей першого степеня.

$$ -3\lt 2-5x\lt 6 $$

Ця нерівність рівносильна системі нерівностей: $$ \left\{ \begin{array}{l} 2-5x\gt -3,\\ 2-5x\lt 6, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} -5x\gt -5,\\ -5x\lt 4, \end{array} \right.\ \ \left\{ \begin{array}{l} x\lt 1,\\ x\gt -\frac 45. \end{array} \right. $$

\(-0\mathord{,}8\lt x\lt 1.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, знання основних властивостей функцій.

Функція \(y = f(x)\) зростає на проміжку \((-\infty; +\infty)\), тому меншому значенню аргумента відповідає менше значення функції.

За умовою \(f(1) = -2\), \(f(9) = 5.\) Значення функції в точці \(x = 8\): \begin{gather*} f(1) \lt f(8) \lt f(9),\\[7pt] -2 \lt f(8) \lt 5. \end{gather*}

З наведених чисел може бути значення \(f(8) = 3.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

\(H = 7\) см, \(C = 18\pi\) см – довжина кола.

За формулою $$ S_{б} = 2\pi RH, $$ де \(C = 2\pi R\). Отже,

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа, порівняння чисел та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв'язування задач.

За властивістю модуля: $$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. $$

Спростимо вираз: \begin{gather*} |2-\sqrt{5}|+|2+\sqrt{5}|,\\[7pt] 2\lt \sqrt{5}, \end{gather*} тому $$ 2-\sqrt{5}\lt 0, $$ а отже $$ |2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2+\sqrt{5}\gt 0, $$ звідси $$ |2+\sqrt{5}|=2+\sqrt{5}. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання про взаємне розміщення площин у просторі.

I. Це твердження правильне.

II. Через точку \(M\) можна провести пряму, перпендикулярну \(\alpha\), та тільки одну. Через дану пряму можна провести безліч площин, перпендикулярних даній. Отже, твердження – неправильне.

III. Через точку \(M\) можна провести безліч похилих до площини \(\alpha.\) Через кожну похилу можна провести площину, яка утворює з площиною \(\alpha\) кут \(45^\circ\). Отже, твердження – неправильне.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Похідна функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, знання правила знаходження похідної добутку.

За правилом $$ (uv)' = u'v + uv' $$ знаходимо похідну:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму конуса, вміння застосовувати властивості конуса.

\(V_{K1} = 64\ \text{см}^3\), \(SO_1 = O_1O.\)

Круги з центрами \(O\) та \(O_1\) подібні.

Конуси з радіусами основ \(r\) та \(R\) подібні.

Отже, $$ \frac{r}{R} = \frac{1}{2} = k, $$ де \(k\) – коефіцієнт подібності.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектор на площині. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат на площині, основних видів та змісту геометричних перетворень на площині (симетрія, поворот).

1. Симетрія відносно осі \(x\)

Отже, 1 – Б.

2. Симетрія відносно осі \(y\)

Отже, 2 – Г.

3. Симетрія відносно точки \(O\)

Отже, 3 – А.

4. Поворот відносно точки \(O\) на \(90^\circ\) проти годинникової стрілки.

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – А, 4 – Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знання формул скороченого множення.

1.

Отже, 1 – А.

2.

Отже, 2 – Б.

3.

Отже, 3 – В.

4.

Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – B, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Початки теорії ймовірностей.

Це завдання перевіряє знання ознак подільності на \(5\), \(3\), класичного означення ймовірності події.

Дано натуральні числа \(9 \lt n \lt 20.\)

1. На даному проміжку прості числа: \(11\), \(13\), \(17\) та \(19.\) Всього натуральних чисел \(10.\) Отже, ймовірність того, що вибране число буде простим $$ P=\frac{4}{10}=0{,}4. $$

Отже, 1 – Г.

2. На даному проміжку всі числа двоцифрові, тому ймовірність того, що вибране число буде двоцифровим \(P=1.\) Отже, 2 – Д.

3. Серед даних чисел немає дільників числа \(5\), тому \(P=0.\) Отже, 3 – А.

4. Сума цифр вибраного числа буде ділитися на \(3\) у таких чисел: \(12\), \(15\) та \(18.\) $$ P=\frac{3}{10}=0{,}3. $$

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – A, 4 – B.