Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 250

Математика. Всі запитання починаючи з 250

251252253254255256257258259260261262263264265 ▶

Завдання 251 з 2111

Який вираз тотожно рівний виразу \((\cos x-\sin x)^2\)?

А\(\cos 2x\)

Б\(1\)

В\(\cos 2x-\sin 2x\)

Г\(\cos 2x-1\)

Д\(1-\sin 2x\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Спростiмо вираз за формулою квадрата різниці:

\begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2;\\[7pt] (\cos x-\sin x)^2=\cos^2 x-2\sin x\cos x+\sin^2 x=\\[7pt] =(cos^2 x+\sin^2 x)-2\sin x\cos x=1-2\sin x\cos x=1-\sin 2x. \end{gather*}

Застосували основну тригонометричну тотожність \(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1\) і формулу подвійного кута \(\sin 2x=2\sin x\cos x.\)

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36915

Завдання 252 з 2111

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{3}{x+y}=-\frac 12,\\ 2x-y=12. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо \((x_0; y_0)\) – розв'язок цієї системи, то \(x_0\cdot y_0=\)

А\(16\)

Б\(2\)

В\(-10\)

Г\(-8\)

Д\(-16\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Лінійні й раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні й раціональні рівняння.

ОДЗ:

\begin{gather*} x+y\ne 0;\\[7pt] x\ne -y. \end{gather*}

Спростімо перше рівняння, скориставшись властивістю пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd\Rightarrow a\cdot d=b\cdot c;\\[6pt] x+y=3\cdot (-2);\\[7pt] x+y=-6. \end{gather*}

Розв’яжімо методом додаванням отриману систему:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+y=-6,\\ 2x-y=12. \end{array}\right.\\[7pt] x+y+2x-y=-6+12;\\[7pt] 3x=6;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставмо \(x=2\) у перше рівняння:

\begin{gather*} 2+y=-6;\\[7pt] y=-8. \end{gather*}

\((2; -8)\) – розв'язок системи, задовільняє ОДЗ.

Обчислімо добуток

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=2\cdot (-8)=-16. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36914

Завдання 253 з 2111

Визначте вираз для похідної функції \(f(x)=3x^2+\frac{2}{x^2}+4.\)

А\(f'(x)=x^3-\frac 1x\)

Б\(f'(x)=6x+\frac 1x+4\)

В\(f'(x)=6x+\frac{2}{x^3}\)

Г\(f'(x)=6x-\frac{4}{x^3}\)

Д\(f'(x)=x^3-\frac 1x+4x\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати похідні функцій, похідну суми двох функцій.

Перетворімо вираз \(\frac{2}{x^2}\) за властивістю степенів \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}{:}\)

\begin{gather*} \frac{2}{x^2}=2\cdot \frac{1}{x^2}=2x^{-2}. \end{gather*}

Скористаймося правилом диференціювання суми \((u + v)'=u'+v'\) і визначмо похідну функції:

\begin{gather*} f(x)=3x^2+\frac{2}{x^2}+4;\\[6pt] f(x)=3x^2+2x^{-2}+4;\\[7pt] f'(x)=6x+2\cdot (-2)x^{-2-1}+0;\\[7pt] f'(x)=6x-4x^{-3};\\[6pt] f'(x)=6x-\frac{4}{x^3}. \end{gather*}

Застосували формулу для обчислення похідної:

\begin{gather*} (x^n)'=nx^{n-1}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36913

Завдання 254 з 2111

Які з наведених тверджень правильні?

I. Існує ромб, у якого менша діагональ дорівнює стороні.

II. Висота будь-якого ромба більша за його сторону.

III. Діагональ будь-якого ромба ділить ромб на два рівні трикутники.

Алише I

Блише IІІ

Влише II та ІІІ

Глише I та III

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема ромба.

I. Якщо градусна міра гострого кута ромба дорівнює \(60^\circ\), то менша діагональ ділить його на два рівносторонні трикутники. У такому разі діагональ дорівнює стороні. Твердження правильне.

II. Висота – це перпендикуляр, а сторона — похила. Похила завжди довша за перпендикуляр (або рівна йому, якщо ромб є квадратом). Твердження неправильне.

III. За трьома сторонами (двома сторонами ромба та спільною діагоналлю) ці трикутники рівні. Твердження правильне.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36912

Завдання 255 з 2111

У під'їзді дев'ятиповерхового будинку на кожному поверсі розташовано по \(4\) квартири. На якому поверсі квартира № 27, якщо квартири від № 1 і далі пронумеровано послідовно від першого до останнього поверху?

А\(5\)

Б\(6\)

В\(7\)

Г\(8\)

Д\(9\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

Поділімо номер квартири на кількість квартир на поверсі:

\begin{gather*} 27:4=6\ (\text{остача}\ 3). \end{gather*}

Це означає, що \(6\) поверхів повністю заповнені (це \(6\cdot 4 = 24\) квартири), а квартира №27 розташована на наступному, сьомому поверсі.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36911

Завдання 256 з 2111

Розв'яжіть нерівність \(\log_{0{,}7} x\gt 1.\)

А\((0{,}7; +\infty)\)

Б\((-\infty; 0{,}7)\)

В\((1; +\infty)\)

Г\((0{,}7; 1)\)

Д\((0; 0{,}7)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні нерівності, знання властивостей логарифмічної функції.

\begin{gather*} \log_{0{,}7}\gt 1. \end{gather*}

Використаймо властивість логарифма:

\begin{gather*} \log_a a=1. \end{gather*}

Тоді

\begin{gather*} \log_{0{,}7}x\gt \log_{0{,}7} 0{,}7. \end{gather*}

Функція \(y=\log_{0{,}7}x\) спадна, тому \(x\lt 0{,}7.\)

Логарифмічна функція має область визначення \(x\gt 0.\)

Отже, розв'язком нерівності буде розв'язок системи:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x\lt 0{,}7\\ x\gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, \(x\in (0; 0{,}7).\)

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36910

Завдання 257 з 2111

У прямокутній системі координат на площині задано точки \(A\) та \(B\) (див. рисунок). Визначте відстань між цими точками.

А\(\sqrt{5}\)

Б\(25\)

В\(\sqrt{13}\)

Г\(5\)

Д\(\sqrt{17}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання координат точки на площині.

Визначмо координати точок за рисунком: \(A(-1; -1)\) і \(B(3; 2).\)

Обчислімо відстань між цими точками за формулою:

\begin{gather*} \left |AB\right |=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2},\\[7pt] \left |AB\right |=\sqrt{(3-(-1))^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{(3+1)^2+(2+1)^2}=\\[7pt] =\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36909

Завдання 258 з 2111

На рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\), визначеної на проміжку \([-3; 3].\) У яких чвертях розташований графік функції \(y=f(x+3)\)?

Алише в І та ІІ

Бв усіх чвертях

Влише в ІI та IІІ

Глише в І, ІІ та ІІІ

Длише в І та IV

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати перетворення графіків функцій.

Для побудови графіка функції \(f(x + a)\) треба графік функції \(f(x)\) перенести вздовж осі \(Ox\) на \(a\) одиниць вправо, якщо \(a\lt 0\), і на \(a\) одиниць вліво, якщо \(a\gt 0.\)

Отже, для побудови графіка функції \(f(x+3)\) треба перемістити графік функції \(f(x)\) на \(3\) одиничні відрізки вліво вздовж осі \(Ox.\)

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36908

Завдання 259 з 2111

Обчисліть \(\left|2\cdot \left(-\frac 56\right)\right|.\)

А\(-\frac 53\)

Б\(\frac{12}{5}\)

В\(\frac 12\)

Г\(\frac 53\)

Д\(-\frac 12\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з дійсними числами, знання властивостей модуля числа.

За властивістю модуля числа:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] \left |2\cdot\left(-\frac 56\right)\right |=\left |\frac 21\cdot \left(-\frac 56\right)\right |=\left |-\frac{2\cdot 5}{1\cdot 6}\right |=\left |-\frac{10}{6}\right |=\left |-\frac 53\right |=\frac 53. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36907

Завдання 260 з 2111

Розв'яжіть рівняння \(3\sqrt{x}=12.\)

А\(2\)

Б\(4\)

В\(-2; 2\)

Г\(16\)

Д\(8\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} 3\sqrt{x}=12;\\[6pt] \sqrt{x}=\frac{12}{3};\\[6pt] \sqrt{x}=4. \end{gather*}

Піднесімо обидві частини рівняння до квадрата й обчислімо \(x{:}\)

\begin{gather*} (\sqrt{x})^2=4^2;\\[7pt] x=16. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36906

Завдання 261 з 2111

Основа трикутної піраміди – рівнобедрений прямокутний трикутник із катетом \(a.\) Визначте формулу для обчислення об'єму \(V\) цієї піраміди, якщо її висота дорівнює катету основи.

А\(V=\frac{a^3}{3}\)

Б\(V=\frac{a^3}{2}\)

В\(V=\frac{a^3}{4}\)

Г\(V=\frac{a^3}{6}\)

Д\(V=a^3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, знання властивостей піраміди.

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі піраміди лежить прямокутний рівнобедрений трикутник. Катети трикутника – \(a.\)

\begin{gather*} S_\text{осн}=\frac 12a^2. \end{gather*}

Висота піраміди дорівнює \(a\) за умовою: \(H=a.\)

Отже,

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot \frac 12a^2\cdot a=\frac 16\cdot \frac{a^3}{1}=\frac{a^3}{6}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36905

Завдання 262 з 2111

З точки \(O\), яка лежить на прямій \(AB\), проведено промені \(OM\) і \(OK\) (див. рисунок). Відомо, що \(\angle BOM=30^\circ\), \(\angle MOK=80^\circ\). Визначте градусну міру кута \(AOK\). Уважайте, що промені \(OK\), \(OM\) і пряма \(AB\) лежать в одній площині.

А\(50^\circ\)

Б\(60^\circ\)

В\(80^\circ\)

Г\(70^\circ\)

Д\(110^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості.

Завдання перевіряє знання аксіом планіметрії.

\begin{gather*} \angle AOK+\angle KOM+\angle MOB=180^\circ;\\[7pt] \angle AOK=180^\circ-(30^\circ+80^\circ)=70^\circ. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36904

Завдання 263 з 2111

Залежність заряду акумуляторної батареї смартфона від часу заряджання відображено на графіку (див. рисунок). За графіком визначте заряд акумуляторної батареї через \(20\) хв після початку заряджання.

А\(40\ \%\)

Б\(20\ \%\)

В\(30\ \%\)

Г\(80\ \%\)

Д\(100\ \%\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формах.

Аналізуючи графік бачимо, що через \(20\) хв після початку заряджання рівень заряду акумулятора становитиме \(30\ \%.\)

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36903

Завдання 264 з 2111

Скільки всього цілих чисел містить інтервал \((-2{,}07; 15{,}9)\)?

А\(19\)

Б\(15\)

В\(13\)

Г\(17\)

Д\(18\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

Запишімо подвійною нерівністю: \begin{gather*} -2{,}07\lt x\lt 15{,}9. \end{gather*}

Першим цілим числом, яке більше за \(-2{,}07\), є \(-2.\) Останнім цілим числом, яке менше за \(15{,}9\), є \(15.\)

Кількість цілих чисел:

від \(1\) до \(15\) – це п`ятнадцять чисел;
число \(0\) – це ще одне число;
числа \(-1\) та \(-2\) – це ще два числа.

Всього: \(15 + 1 + 2 = 18.\)

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 735. Запитання: 36902

Завдання 265 з 2111

За якого значення параметра \(a\) сума квадратів коренів рівняння \(x^2-8x+4a-1=0\) дорівнює \(38\)?

Впишіть відповідь:

3.5

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У цьому завданні \(x_1+x_2=8\) та \(x_1\cdot x_2=4a-1.\)

Треба визначити \(x_1^2+x_2^2.\) Використаймо формулу квадрата суми:

\begin{gather*} (x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2. \end{gather*}

Звідси:

\begin{gather*} x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2. \end{gather*}

За умовою сума квадратів дорівнює \(38{:}\)

\begin{gather*} 8^2-2(4a-1)=38;\\[7pt] 64-8a+2=38;\\[7pt] 66-8a=38;\\[7pt] -8a=38-66;\\[7pt] -8a=-28;\\[6pt] a=\frac{28}{8}=3{,}5. \end{gather*}

Перевірка існування коренів:

Щоб корені взагалі існували, дискримінант має бути \(D\ge 0.\)

\begin{gather*} D=(-8)^2-4(4a-1)=64-16a+4=68-16a. \end{gather*}

Якщо \(a=3{,}5\), то

\begin{gather*} D=68-16\cdot (-3{,}5)=68-56=12. \end{gather*}

Оскільки \(D\gt 0\), корені існують.

Відповідь: \(3{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36611