Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 265

Математика. Всі запитання починаючи з 265

266267268269270271272273274275276277278279280 ▶

Завдання 266 з 2199

На рисунку схематично зображено опуклий міст, що має форму дуги $AMB$ кола з центром у точці $O.$ $MN$ – серединний перпендикуляр до $AB$, $MN=3$ м. Визначте довжину радіуса $OB$ (у м), якщо довжина відрізка $AB$ дорівнює $12$ м.

Впишіть відповідь:

7.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, кола, круга та їхніх елементів; вміння застосовувати властивості різних видів трикутників до розв’язування планіметричних задач практичного змісту.

$\Delta ABO$ – рівнобедрений, $OA = OB$ як радіуси. Медіана $ON$ є висотою (за властивістю рівнобедреного трикутника). $AB = 12$ м, $AN = NB = 6$ м.

Нехай $OA = OB = OM = x$ м (радіуси кола). \begin{gather*} MN + NO = MO,\\[7pt] NO = MO - MN = (x - 3)\ \text{м}. \end{gather*}

У $\Delta ONB$ ($\angle N = 90^\circ$) за теоремою Піфагора: $$ OB^2 = ON^2 + NB^2. $$

Складемо рівняння: \begin{gather*} 6^2 + (x - 3)^2 = x^2,\\[7pt] 36 + x^2 - 6x + 9 = x^2,\\[7pt] 6x = 45,\\[7pt] x = 45 : 6,\\[7pt] x = 7{,}5. \end{gather*}

$OB = 7{,}5$ м.

Відповідь: $7{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6277

Завдання 267 з 2199

Областю визначення періодичної функції $y=f(x)$ із періодом $T=9$ є множина всіх дійсних чисел. На проміжку $(-5; 4]$ цю функцію задано формулою $f(x)=19-x^3.$ Обчисліть значення $f(5).$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей функцій, вміння досліджувати на періодичність функцію.

Дана періодична функція $y = f(x)$ із періодом $T = 9.$ На проміжку $(-5; 4]$ функція задана формулою $$ f(x) = 19 - x^3. $$

За означенням періодичної функції $$ f(x) = f(x + T) = f(x - T). $$

Отже, $$ f(5) = f(5 - 9) = f(-4), $$ $x = -4$ належить даному проміжку $(-5; 4].$

$$ f(5) = f(-4) = 19 - (-4)^3 = 19 - (-64) = 19 + 64 = 83. $$

Відповідь: $83.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6278

Завдання 268 з 2199

Основою піраміди $SABCD$ є трапеція $ABCD\ (BC\ ||\ AD).$ Бічна грань $SBC$, площа якої дорівнює $24{,}4$ см$^2$, перпендикулярна до площини основи піраміди. Точка $M$ – середина ребра $SB.$ Площина $(MAD)$ перетинає ребро $SC$ в точці $N.$ Визначте довжину відрізка $MN$ (у см), якщо об'єм піраміди дорівнює $152$ см$^3$, а площа її основи – $57$ см$^2$.

Впишіть відповідь:

3.05

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати ознаки та властивості паралельних прямих і площин до розв'язування стереометричних задач, означення та властивості піраміди.

$(SBC)\ \perp\ (ABC)$, тому висота піраміди $SO$ належить цій грані.

$AD\ ||\ BC$ (основи трапеції) $(SBC)$ проходить через пряму $BC\ ||\ DA.$

За ознакою паралельності прямої і площини $AD\ ||\ (SBC).$

Площина $(AMD)$ проходить через $AD\ ||\ (SBC)$, тому $(AMD)\cap (SBC)=MN\ ||\ AD.$

$AD\ ||\ BC$, $AD\ ||\ MN\rightarrow MN\ ||\ BC$,
$(SAB)\cap (MAD)=AM$, $(SCD)\cap (MAD)=ND.$

$AMND$ – переріз піраміди (трапеція).

\begin{gather*} V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot H=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO,\\[6pt] S_{ABCD}=57\ \text{см}^2,\\[6pt] V=152\ \text{см}^3,\\[6pt] 152=\frac{1}{3}\cdot 57\cdot SO,\\[6pt] 152=19\cdot SO,\\[6pt] SO=8\ \text{см},\\[6pt] S_{SBC}=\frac{1}{2}BC\cdot CO,\\[6pt] 24{,}4=\frac{1}{2}BC\cdot 8,\\[6pt] BC=24{,}4:4=6{,}1\ \text{см}. \end{gather*}

У $\Delta SBC$ $MN$ – середня лінія (за умовою $SM=MB$), $MN\ ||\ BC.$ За властивістю середньої лінії трикутника:

$$ MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot6{,}1=3{,}05\ \text{см}. $$

Відповідь: $3{,}05.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6279

Завдання 269 з 2199

Знайдіть найменше значення параметра $a$, при якому рівняння $$ 2^{\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})}=\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13} $$ має додатний корінь.

Впишіть відповідь:

-2.625

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння і нерівності, що містять показникові вирази, рівняння з параметрами, застосовувати властивості функцій у процесі розв'язування рівнянь.

Розглянемо ліву частину рівняння.

Оцінимо область значень функції

\begin{gather*} y=2^{sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)},\\[6pt] -1\le sin\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)\le 1,\\[6pt] 0\le sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)\le 1,\\[6pt] 2^0\le 2^{sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}\le 2^1,\\[6pt] 1\le 2^{sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}\le 2. \end{gather*}

Розглянемо праву частину рівняння:

\begin{gather*} (x-a)^2-6(x-a)+13=(x-a)^2-6(x-a)+9+4=(x-a-3)^2+4\ge 4,\\[6pt] 0\le \frac{4}{(x-a-3)^2+4}\le 1. \end{gather*}

Отже, рівність досягається при

\begin{gather*} 2^{sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}=\frac{4}{(x-a-3)^2+4}=1,\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2^{sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)}=1, \\ \frac{4}{(x-a-3)^2+4}=1, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)=0 \\ x-a-3=0, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2\pi x+\frac{5\pi}{4}=\pi n,\ n\in Z, \\ x=a+3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x=\frac{n}{2}-\frac{5}{8},\ n\in Z, \\ x=a+3. \end{array}\right. \end{gather*}

Корінь рівняння буде додатним при \begin{gather*} \frac{n}{2}-\frac{5}{8},\\[6pt] n\gt \frac{5}{4},\\[6pt] n\gt 1\frac{1}{4},\ n\in Z. \end{gather*}

Отже, при $n=2$, $3$, $4\text{...}$

Найменше значення параметра $a{:}\ n=2.$

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}, \\ x=a+3, \end{array}\right.\\[6pt] a+3=\frac{3}{8},\\[6pt] a=-2\frac{5}{8},\\[6pt] a=-2{,}625. \end{gather*}

Відповідь: $-2{,}625.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 125. Запитання: 6280

Завдання 270 з 2199

Розташуйте в порядку зростання числа $\dfrac 19$; $0{,}1$; $0{,}11.$

А$\dfrac 19$; $0{,}1$; $0{,}11$

Б$0{,}1$; $0{,}11$; $\dfrac 19$

В$0{,}11$; $\dfrac 19$; $0{,}1$

Г$0{,}1$; $\dfrac 19$; $0{,}11$

Д$\dfrac 19$; $0{,}11$; $0{,}1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє вміння порівнювати звичайні дроби.

\begin{gather*} \frac{1}{9};\ \ 0{,}1 = \frac{1}{10};\ \ 0{,}11 = \frac{11}{100}. \end{gather*}

Запишемо дроби з однаковим чисельником

\begin{gather*} \frac{1}{9} = \frac{11}{99};\ \ \frac{1}{10} = \frac{11}{110};\ \ \frac{11}{100}. \end{gather*}

Використаємо правило: з двох дробів з однаковими чисельниками більший той, у якого знаменник менше.

Отже, в порядку зростання буде:

\begin{gather*} \frac{11}{110} = 0{,}1;\ \ \frac{11}{100} = 0{,}11;\ \ \frac{11}{99} = \frac{1}{9}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 126. Запитання: 6281

Завдання 271 з 2199

Діаграма, зображена на рисунку, містить інформацію про кількість проданих одиниць техніки в супермаркеті електроніки протягом одного кварталу.

Використовуючи дані діаграми, доберіть таке закінчення речення, щоб утворилося правильне твердження: «Більше ніж цифрових фотоапаратів, але менше ніж мобільних телефонів, у цьому супермаркеті продано...»

Аі телевізорів, і відеокамер

Бі телевізорів, і ноутбуків

Ві відеокамер, і ноутбуків

Глише телевізорів

Длише ноутбуків

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

За даними діаграми, цифрових фотоапаратів продано $200$, а мобільних телефонів приблизно $600.$ Більше ніж фотоапаратів, але менше ніж телефонів, продано телевізорів та ноутбуків.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 126. Запитання: 6282

Завдання 272 з 2199

Точки $B$ i $C$ лежать на прямій, що паралельна прямій $a.$ Скільки існує площин, які паралельні прямій $a$ і проходять через точки $B$ i $C$?

Ажодної

Блише одна

Влише дві

Глише три

Дбезліч

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Аксіоми і теореми стереометрії. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі, ознаки паралельності прямої та площини.

Через дві точки $B$ і $C$ можна провести пряму, і до того ж тільки одну.

Через одну пряму можна провести безліч площин.

$a\ ||\ BC.$ За ознакою паралельності прямої та площини, кожна з площин, яка містить пряму $BC$, буде паралельна прямій $a.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 126. Запитання: 6283

Завдання 273 з 2199

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, яка визначена на відрізку $[-4; 3].$ Укажіть область значень цієї функції

А$[-1; 2]$

Б$[-4; 3]$

В$[-1; 1]$

Г$[-2; 3]$

Д$[-4; -2]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком.

Область значень функції – множина всіх значень, які може приймати змінна $y.$

Отже, $E(y) = [-1; 2].$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 126. Запитання: 6284

Завдання 274 з 2199

Пряма $n$ перетинає перпендикулярні прямі $l$ i $m$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\alpha.$

А$34^\circ$

Б$46^\circ$

В$54^\circ$

Г$56^\circ$

Д$58^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми про суму кутів трикутника, властивостей суміжних та вертикальних кутів.

$\angle DAC + \angle CAB = 180^\circ$ як суміжні.

$\angle DAC = 146^\circ$, $\angle CAB = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ.$

У $\Delta ABC$ $(\angle B = 90^\circ).$ $\angle A + \angle C = 90^\circ$, $\angle C = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ.$ $\angle ACB = \alpha = 56^\circ$ (як вертикальні).

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 126. Запитання: 6285

Завдання 275 з 2199

Розв'яжіть рівняння $\dfrac{2x-3}{3}=\dfrac{x+1}{6}.$

А$-\dfrac 53$

Б$\dfrac 43$

В$\dfrac 75$

Г$\dfrac 53$

Д$\dfrac 73$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac{2x - 3}{3} = \frac{x + 1}{6}. \end{gather*}

Помножимо обидві частини рівняння на $6{:}$ \begin{gather*} 2(2x - 3) = x + 1,\\[7pt] 4x - 6 = x + 1,\\[7pt] 3x = 7,\\[6pt] x = \frac{7}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 126. Запитання: 6286

Завдання 276 з 2199

Діагоналі паралелограма $ABCD$ перетинаються в точці $O$ (див. рисунок). Укажіть правильну векторну рівність.

А$\overrightarrow{CO}=\dfrac 12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$

Б$\overrightarrow{CO}=-\dfrac 12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$

В$\overrightarrow{CO}=\dfrac 12(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})$

Г$\overrightarrow{CO}=\dfrac 12(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})$

Д$\overrightarrow{CO}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання поняття вектора, вміння множити вектор на число, виконувати додавання векторів.

За правилом паралелограма

\begin{gather*} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC},\\[7pt] \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA},\\[6pt] CO = \frac{1}{2}AC,\\[6pt] \overrightarrow{CO} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. \end{gather*}

Отже, \begin{gather*} \overrightarrow{CO} = -\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}). \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 126. Запитання: 6287

Завдання 277 з 2199

Розв'яжіть нерівність $2x\ge x^2.$

А$(-\infty; 0]\cup [2; +\infty)$

Б$[0; 2]$

В$(-\infty; -2]\cup [0; +\infty)$

Г$[-2; 0]$

Д$(-\infty; 2]$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування квадратних нерівностей.

\begin{gather*} 2x \ge x^2,\\[7pt] x^2 - 2x \le 0,\\[7pt] x(x - 2) \le 0. \end{gather*}

$x = 0$, $x = 2$ – нулі функції. Розв'яжемо методом інтервалів.

\begin{gather*} x \in [0; 2]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 126. Запитання: 6288

Завдання 278 з 2199

На рисунку зображено рівносторонній трикутник $ABC$, $KM$ – його середня лінія. Периметр трикутника $KBM$ дорівнює $12$ см. Визначте периметр чотирикутника $AKMC.$

А$32$ см

Б$28$ см

В$24$ см

Г$20$ см

Д$16$ см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей середньої лінії трикутника, властивостей подібних трикутників.

$\Delta ABC$ – рівносторонній $KM = \dfrac{1}{2}AC$, $KM\ ||\ AC$ (за властивістю середньої лінії).

$\Delta ABC$ подібний $\Delta KBM.$ Отже, $\Delta KBM$ – рівносторонній.

\begin{gather*} P = 12\ \text{см},\\[7pt] KM = KB = BM = 12 : 3 = 4\ \text{см},\\[7pt] AC = 8\ \text{см},\\[7pt] AK = KM = MC = 4\ \text{см},\\[7pt] P_{AKMC} = AC + 3KM = 8 + 3 \cdot 4 = 20\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 126. Запитання: 6289

Завдання 279 з 2199

Обчисліть $\sqrt{2}\cdot \sqrt{0{,}08}.$

А$0{,}04$

Б$0{,}08$

В$0{,}2$

Г$0{,}4$

Д$0{,}6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних та ірраціональних виразів, знання властивостей кореня $n\text{-го}$ степеня.

\begin{gather*} \sqrt{2} \cdot \sqrt{0{,}08} = \sqrt{2 \cdot 0{,}08} = \sqrt{0{,}16} = 0{,}4. \end{gather*}

Використаємо властивість кореня \begin{gather*} \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b},\\[7pt] a,\ b \gt 0. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 126. Запитання: 6290

Завдання 280 з 2199

На рисунку зображено фрагмент графіка однієї з наведених функцій на відрізку $[0; \pi].$ Укажіть цю функцію.

А$y=4\sin x$

Б$y=\sin 4x$

В$y=-4\sin x$

Г$y=-4\cos x$

Д$y=4\cos x$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

На відрізку $[0;\ \pi]$ графік функції $y = \cos x$ перетворимо у графік функції $y = 4\cos x.$

$f(x) \rightarrow kf(x)$ – розтяг уздовж осі $Oy$ в $k$ раз.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 126. Запитання: 6291