ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу комбінацій:

оскільки порядок вибору квітів у букеті не має значення.

Виберімо \(2\) білі троянди з \(12\) наявних.

Використаймо формулу:

Виберімо \(1\) червону троянду з \(25\) наявних.

Тут усе просто: вибрати \(1\) об’єкт із \(25\) можна \(25\) способами: \begin{gather*} C_{25}^1=25. \end{gather*}

Оскільки нам треба вибрати \(2\) білі й \(1\) червону троянду одночасно, кількість варіантів такого вибору визначмо за комбінаторним правилом добутку:

Відповідь: \(1650.\)

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою, похідну функції, числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

Якщо \(x\lt -2,\ f(x)=30.\) Отже, \(f(-3)=30.\)

Якщо \(x\ge -2,\ f(x)=2x^4+x.\)

Обчислимо

Відповідь: \(-35.\)

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, трикутників, уміння застосовувати теорему косинусів.

1. Оскільки точка \(O\) – середина діагоналі \(AC\), то

Отже, 1 – А.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ACD\ (\angle D=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, 2 – Д.

3.

Нехай \(BC=x.\)

Оскільки \(AB=BC\), то \(AB=x.\)

Проведімо висоту з точки \(B\) на основу \(AD.\) Нехай це буде \(BK\). У прямокутній трапеції висота \(BK=CD=24\) см. Відрізок \(AK=AD-KD.\)

Оскільки \(BCDK\) – прямокутник, то \(KD=BC=x.\) Отже, \(AK=32-x.\)

У прямокутному трикутнику \(\Delta ABK\) за теоремою Піфагора:

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – В.

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей степеня із цілим показником, уміння використовувати властивості модуля числа.

1. За означенням модуля числа:

Отже, 1 – Д.

2. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою:

Тобто

Отже, 2 – A.

3. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою:

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(y=\sin x\) непарна функція.

Функція \(y=\sin x\) є непарною, бо для неї виконується рівність \(\sin (-x)=\sin (x)\), її графік є симетричним відносно початку координат. Отже, правильна відповідь – В.

3. \(y=\frac{1}{2x-2}\) не визначена в точці \(x=1\), бо \begin{gather*} 2x-2\ne 0,\\[7pt] 2x\ne 2,\\[7pt] x\ne 1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння визначати довжину дуги кола.

Точка \(O\) – центр кола. За властивістю вписаного кута \begin{gather*} \angle ACB=\frac 12\angle AOB, \end{gather*} \(O\) – центр кола. Вписаний кут у колі дорівнює половині дуги, на яку він спирається, або половині відповідного центрального кута.

Градусна міра дуги \(AB\) дорівнює \(60^\circ.\) За формулою довжини дуги

де \(L\) – довжина кола, \(n\) – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).

Тобто

Відповідь: A.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, уміння розкладати багаточлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – різниця квадратів:

Відповідь: A.

ТЕМА: Системи лінійних нерівностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей, знання властивостей нерівностей.

Розв’яжімо першу нерівність:

Ця нерівність справедлива для всіх дійсних чисел \(x\in R.\)

Розв’яжімо другу нерівність:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Первісна й визначений інтеграл.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбнiцa для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла:

де \(f(x)\) – це функція, графік якої обмежує фігури згори, а \(g(x)\) – функція графік якої обмежує фігуру знизу.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння \(\cos x=0\) має загальний розв’язок: \begin{gather*} x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення \(k\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=0\), то \(x=\frac{\pi}{2},\) тобто належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=1\), то \(x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2},\) тобто належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=2\), то \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{5\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Якщо \(k=-1\), то \(x=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2},\) тобто не належить проміжку \([0; 2\pi].\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення, ознаки та властивості трикутників різних видів, знання властивостей медіани й бісектриси трикутника.

I. За означенням, медіана – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Оскільки \(AM\) – медіана, точка \(M\) ділить сторону \(CB\) навпіл. Отже, \(BM=MC.\) Твердження правильне.

II. Промінь, що ділить кут навпіл, називають бісектрисою.

У довільному трикутнику (як зазначено в умові) медіана не збігається з бісектрисою. Твердження неправильне.

III. Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі). Площі трикутників \(\Delta ABM\) і \(\Delta ACM\) рівні.

Площу трикутника можна обчислити за формулою: \(S=ah_a.\)

У трикутників \(ABM\) та \(ACM\) основи рівні \((BM = MC)\), а висота \(AH\), проведена з вершини \(A\) до прямої \(CB\), у них спільна.

Отже, \(S_{\Delta ABM}=S_{\Delta ACM}.\) Твердження правильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

Застосували властивість: \(\sqrt[3]{a^3}=a.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє вміння знаходити координати вектора на площині.

Якщо \(K(x_1; y_1; z_1)\), \(L(x_2; y_2; z_2)\), то координати вектора \(\overrightarrow{KL}(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв'язування текстових задач, розв'язувати задачі на відсотки.

Нехай початкова сума грошей на картці \(x\) грн. Тоді першого разу зняли \(40\ \%\) від \(x\), або \(0{,}4x.\) Другий раз зняли \(500\) грн, після цього залишилася половина від початкової суми, тобто \(0{,}5x.\)

Складімо рівняння:

Початкова сума на картці була \(5000\) грн. На картці залишилася половина від початкової суми: \begin{gather*} 5000:2=2500\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: A.