Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 265

Математика. Всі запитання починаючи з 265

266267268269270271272273274275276277278279280 ▶

Завдання 266 з 2111

Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами \(8\) і \(15\) і гострим кутом \(60^\circ.\) Площа меншого діагонального перерізу призми дорівнює \(260.\) Обчисліть об'єм \(V\) призми. У відповіді запишіть значення \(\frac{V}{\sqrt{3}}.\)

Впишіть відповідь:

1200

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

У паралелограмі менша діагональ лежить навпроти гострого кута. Використаймо теорему косинусів:

\begin{gather*} BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cdot \cos 60^\circ;\\[7pt] BD^2=8^2+15^2-2\cdot 8\cdot 15\cdot 0{,}5;\\[7pt] BD^2=64+225-12=169;\\[7pt] BD=13\ (\text{см}). \end{gather*}

Менший діагональний переріз прямої призми – це прямокутник зі сторонами \(BB_1D_1D.\) Сторона \(BD=13\) см, а висота \(DD_1=H.\) Його площа за умовою дорівнює \(260\) см\(^2{:}\)

\begin{gather*} S_{BB_1D_1D}=BD\cdot DD_1;\\[7pt] 260=13\cdot H;\\[6pt] H=\frac{260}{13}=20\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу основи призми (паралелограма \(ABCD\)) за формулою \(S=ab\sin \gamma{:}\)

\begin{gather*} S_\text{осн}=8\cdot 15\cdot \sin 60^\circ=120\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=60\sqrt{3}\ \text{см}^2. \end{gather*}

Обчислімо об’єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] V=60\sqrt{3}\cdot 20=1200\sqrt{3}\ \text{см}^3. \end{gather*}

За умовою треба обчислити \(\frac{V}{\sqrt{3}}{:}\)

\begin{gather*} \frac{1200\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1200\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(1200.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36610

Завдання 267 з 2111

Софія бере участь у посткросингу, надсилаючи адресатам у різні країни листівки із зображеннями українських міст і краєвидів. Вона має \(10\) різних листівок такої тематики. Для кожного із чотирьох адресатів Софія вибирає по одній листівці та конверт жовтого або синього кольору. Скільки всього в Софії способів такого вибору, якщо вона надсилатиме всі листівки в конвертах одного кольору?

Впишіть відповідь:

10080

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення розміщення, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Софія має \(10\) різних листівок, їй потрібно вибрати по одній для \(4\) різних адресатів.

Оскільки адресати різні, порядок вибору має значення. Кількість способів вибрати \(4\) листівки з \(10\) листівок та розподілити їх між \(4\) різними адресатам обчислюємо за формулою розміщення \(m\) елементів з \(n\) можливих:

\begin{gather*} A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}.\\[6pt] A_{10}^4=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040. \end{gather*}

Всі листівки надсилаються в конвертах одного кольору: або всі жовті або всі сині. Тобто всього є два варіанти.

Загальну кількість варіантів обчислюємо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} 5040\cdot 2=10080. \end{gather*}

Відповідь: \(10080.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36609

Завдання 268 з 2111

Обчисліть інтеграл \(\mathop{\int}\limits_1^{e^3} \frac{dx}{6x}.\)

Впишіть відповідь:

0.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, використовуючи її основні властивості, застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

\begin{gather*} \mathop{\int}\limits_1^{e^3}\ \frac{dx}{6x}=\mathop{\int}\limits_1^{e^3}\frac{1}{6x}\ dx=\mathop{\int}\limits_1^{e^3}\frac 16\cdot \frac 1x\ dx=\frac 16\mathop{\int}\limits_1^{e^3}\frac 1x\ dx=\frac 16(\ln|x|)|_1^{e^3}=\\[6pt] =\frac 16(\ln(e^3)-\ln 1)=\frac 16(3-0)=\frac 16\cdot 3=\frac 36=\frac 12=0{,}5. \end{gather*}

Функція \(f(x)\)	Загальний вигляд первісних \(F(x)+C\), де \(C\) – довільна стала
\begin{gather}\frac 1x\end{gather}	\begin{gather}\ln\|x\|+C\end{gather}

За властивістю логарифма:

\begin{gather*} \log_a 1=0;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b. \end{gather*}

Відповідь: \(0{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36608

Завдання 269 з 2111

У рівнобічній трапеції \(ABCD\) діагоналі \(AC\) i \(BD\) взаємно перпендикулярні і перетинаються в точці \(O\), \(KM\) – середня лінія трикутника \(AOD\), \(BO=6\sqrt{2}\) см, \(KM=12\) см (див. рисунок). До кожного відрізка (1–3) доберіть його довжину (А – Д).

Відрізок

1\(BC\)

2\(AD\)

3висота трапеції \(ABCD\)

Довжина відрізка

А\(12\) см

Б\(15\) см

В\(18\) см

Г\(21\) см

Д\(24\) см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, середньої лінії трапеції, прямокутного трикутника.

1. У рівнобічній трапеції трикутники \(AOD\) та \(BOC\), утворені діагоналями, є рівнобедреними прямокутними трикутниками (оскільки \(AC=BD\), діагоналі перпендикулярні та діляться точкою перетину на рівні частини: \(AO=OD\) та \(BO=OC\)). Отже, \(BO=OC=6\sqrt{2}\ \text{см}.\)

У прямокутному трикутнику \(BOC\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} BC^2=BO^2+OC^2;\\[7pt] BC^2=(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=36\cdot 2+36\cdot 2=72+72=144;\\[7pt] BC=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – А.

2. За умовою, \(KM\) – середня лінія трикутника \(AOD\), \(KM=12\) см.

Середня лінія трикутника паралельна основі та дорівнює її половині.

Отже,

\begin{gather*} AD=2\cdot KM=2\cdot 12\ \text{см}=24\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Д.

3. Висота \(h\) трапеції з перпендикулярними діагоналями дорівнює середній лінії всієї трапеції (або сумі проведених до основ висот трикутників \(AOD\) та \(BOC\)).

Оскільки ці трикутники прямокутні та рівнобедрені, їхні висоти до основ дорівнюють половині самих основ:

Висота \(\Delta BOC{:}\)

\begin{gather*} h_1=\frac{BC}{2}=\frac{12\ \text{см}}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

Висота \(\Delta AOD{:}\)

\begin{gather*} h_2=\frac{AD}{2}=\frac{24\ \text{см}}{2}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Висота трапеції:

\begin{gather*} h=h_1+h_2=6\ \text{см}+12\ \text{см}=18\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36607

Завдання 270 з 2111

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Функція \(y=x-2\)

2Функція \(y=x^3\)

3Функція \(y=\cos x\)

Закінчення речення

Ає парною.

Бмає спільну точку з графіком функції \(y=\log_{0{,}5}(x+1)\) у точці з абсцисою \(x_0=0.\)

Внабуває від'ємного значення за \(x=1.\)

Гмає область визначення \([-1; 1].\)

Дспадає на проміжку \((-\infty; +\infty).\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=x-2\)

За \(x=1\) маємо \(y=1-2=-1.\)

Оскільки \(-1\lt 0\), функція дійсно набуває від'ємного значення.

Отже, 1 – В.

2. \(y=x^3\)

Обчислімо значення в точці \(x=0.\)

Для \(y=x^3{:}\) \begin{gather*} y(0)=0^3=0. \end{gather*}

Для \(y=\log_{0{,}5}(x+1){:}\)

\begin{gather*} y(0)=\log_{0{,}5}(0+1)=\log_{0{,}5} 1=0. \end{gather*}

Значення збігаються, тобто графіки функцій мають спільну точку \((0; 0).\)

Отже, 2 – Б.

3. \(\cos x\)

Функція є парною \(\cos(-x)=\cos x\), тому її графік симетричний відносно осі \(Oy.\)

Отже, 3 – А.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36606

Завдання 271 з 2111

Доберіть на координатній прямій (див. рисунок) до виразу (1–3) точку (А – Д), координатою якої є значення цього виразу за \(a=0{,}5.\)

Вираз

1\(|a-2{,}5|\)

2\(a^0\)

3\(\log_2 a\)

Точка

А\(K\)

Б\(L\)

В\(M\)

Г\(N\)

Д\(P\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа. Логарифмічні та степеневі вирази.

Завдання перевіряє вміння обчислювати значення (модуль, степінь, логарифм) математичних виразів і визначати положення отриманих чисел на координатній прямій.

1. За властивістю модуля:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] |0{,}5-2{,}5|=|-2|=2. \end{gather*}

Числу \(2\) на прямій відповідає точка \(P.\)

Отже, 1 – Д.

2. \(0{,}5^0=1.\) Числу \(1\) на прямій відповідає точка \(N.\)

Отже, 2 – Г.

3. За властивістю логарифма:

\begin{gather*} \log_a a=1;\\[7pt] \log_a b^n=n\cdot \log_a b.\\[7pt] \log_2 0{,}5=\log_2 \frac 12=\log_2 2^{-1}=-1\log_2 2=-1. \end{gather*}

Числу \(-1\) на прямій відповідає точка \(L.\)

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36605

Завдання 272 з 2111

У магазині канцтоварів ручка коштує \(5\) грн, а набір із двох ручок – \(9\) грн. Яку найбільшу кількість таких ручок можна купити в цьому магазині на суму до \(61\) грн?

А\(13\)

Б\(9\)

В\(10\)

Г\(11\)

Д\(12\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Набір із двох ручок коштує \(9\) гривень. На \(61\) гривню можна купити \(6\) наборів. На це буде витрачено \(54\) гривні. На \(7\) гривень, що залишаться, можна купити ще одну ручку за \(5\) гривень. Отже, найбільша кількість ручок, які можна купити – \(13.\)

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36604

Завдання 273 з 2111

У прямокутній системі координат у просторі задано точку \(O(0; 0; 0).\) Від якої точки відстань до точки \(O\) найменша?

А\((0; 4; 0)\)

Б\((0; 3; -4)\)

В\((-5; 0; 0)\)

Г\((1; 3; 0)\)

Д\((3; 0; -3)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Відстань \(d\) від точки з координатами \((x; y; z)\) до початку координат \((0; 0; 0)\) обчислюють за формулою:

\begin{gather*} d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \end{gather*}

A \((0; 4; 0){:}\)

\begin{gather*} d^2=0^2+4^2+0^2=16;\\[7pt] d=\sqrt{16}=4. \end{gather*}

Б \((0; 3; -4){:}\)

\begin{gather*} d^2=0^2+3^2+(-4)^2=9+16=25;\\[7pt] d=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

B \((-5; 0; 0){:}\)

\begin{gather*} d^2=(-5)^2+0^2+0^2=25;\\[7pt] d=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Г \((1; 3; 0){:}\)

\begin{gather*} d^2=1^2+3^2+0^2=1+9=10;\\[7pt] d=\sqrt{10}\approx 3{,}16\ -\ \text{найменша відстань}. \end{gather*}

Д \((3; 0; -3){:}\)

\begin{gather*} d^2=3^2+0^2+(-3)^2=9+9=18;\\[7pt] d=\sqrt{18}\approx 4{,}24. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36603

Завдання 274 з 2111

Розв'яжіть систему рівнянь \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2^{3x-y}=2^7,\\ 2x+y=3. \end{array}\right. \end{gather*} Якщо \((x_0; y_0)\) – розв'язок цієї системи, то \(x_0\cdot y_0=\)

А\(2\)

Б\(-2\)

В\(-1\)

Г\(-3\)

Д\(1\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Системи рівнянь. Показникові та лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних і показникових рівнянь.

Оскільки в першому рівнянні основи однакові, то можемо прирівняти показники степенів:

\begin{gather*} 3x-y=7. \end{gather*}

Маємо систему рівнянь:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 3x-y=7,\\ 2x+y=3. \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'яжімо систему лінійних рівнянь способом додавання:

\begin{gather*} (3x-y)+(2x+y)=7+3;\\[7pt] 5x=10;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставмо значення \(x=2\) у друге рівняння системи й визначмо \(y{:}\)

\begin{gather*} 2\cdot 2+y=3;\\[7pt] 4+y=3;\\[7pt] y=3-4;\\[7pt] y=-1. \end{gather*}

Тобто \((2; -1)\) – розв'язок системи, а

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=2\cdot (-1)=-2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36602

Завдання 275 з 2111

\(\frac{a^2 - 4b^2}{3a + 6b}=\)

А\(\frac{a+2b}{3}\)

Б\(\frac{a-2b}{3}\)

В\(3a-6b\)

Г\(\frac{3}{a-2b}\)

Д\(\frac{3}{a+2b}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники за формулою різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b). \end{gather*}

У виразі \(3a+6b=3(a+2b)\) винесімо спільний множник за дужки:

\begin{gather*} \frac{a^2-4b^2}{3a+6b}=\frac{(a-2b)(a+2b)}{3(a+2b)}=\frac{a-2b}{3}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36601

Завдання 276 з 2111

У прямокутнику \(ABCD\) бісектриса кута \(A\) перетинає сторону \(BC\) в точці \(M\), \(BM:MC=4:5\) (див. рисунок). Обчисліть площу прямокутника \(ABCD\), якщо \(BC=18\) см.

А\(144\) см\(^2\)

Б\(162\) см\(^2\)

В\(90\) см\(^2\)

Г\(120\) см\(^2\)

Д\(72\) см\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Сторона \(BC=18\) см, точка \(M\) поділила її у відношенні \(4:5.\) Тому загальна кількість частин дорівнює \(9{:}\)

\begin{gather*} 4x+5x=9x\ \text{частин};\\[7pt] x=18\ \text{см}:9=2\ \text{см (довжина однієї частини)}. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} BM=4\cdot 2\ \text{см}=8\ \text{см}. \end{gather*}

Оскільки \(AM\) – бісектриса прямого кута \(A\), то

\begin{gather*} \angle BAM=\angle MAD=45^\circ. \end{gather*}

У прямокутнику сторони \(BC\) та \(AD\) паралельні, тому \begin{gather*} \angle BMA=\angle MAD=45^\circ \end{gather*} (як внутрішні різносторонні кути).

Розгляньмо трикутник \(ABM{:}\) у ньому два кути по \(45^\circ{:}\) \begin{gather*} \angle BAM=\angle BMA=45^\circ, \end{gather*} отже цей трикутник – рівнобедрений.

Це означає, що бічні сторони \(AB\) та \(BM\) рівні:

\begin{gather*} AB=BM=8\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо площу прямокутника:

\begin{gather*} S_{ABCD}=AB\cdot BC=8\ \text{см}\cdot 18\ \text{см}=144\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36600

Завдання 277 з 2111

Визначте восьмий член \(a_8\) арифметичної прогресії \((a_n)\), у якої \(a_7=11\), \(a_9=18.\)

А\(29\)

Б\(14{,}5\)

В\(15\)

Г\(3{,}5\)

Д\(7\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння застосовувати основну властивість арифметичної прогресії.

В арифметичній прогресії будь-який член (починаючи з другого) є середнім арифметичним попереднього та наступного членів:

\begin{gather*} a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}. \end{gather*}

Підставмо значення:

\begin{gather*} a_8=\frac{a_7+a_9}{2}=\frac{11+18}{2}=\frac{29}{2}=14{,}5. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36599

Завдання 278 з 2111

Визначте корінь рівняння \(\mathrm{tg}\ \pi x=1.\)

А\(\frac{\pi}{4}\)

Б\(0\)

В\(1\)

Г\(\frac{1}{4}\)

Д\(\frac{1}{\pi}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Загальний розв'язок:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \pi x=1;\\[7pt] \pi x=\mathrm{arctg}\ 1+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z;\\[6pt] \pi x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на \(\pi{:}\)

\begin{gather*} x=\frac{1}{4}+k,\ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Якщо \(k=0\), то \(x=\frac 14.\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36598

Завдання 279 з 2111

До кола із центром у точці \(O\) проведено дотичну \(AB\), яка дотикається кола в точці \(A.\) Пряма \(OB\) перетинає коло в точках \(D\) i \(C\), \(\angle AOB=60^\circ.\)

Які з наведених тверджень правильні?

I. \(OA\ \perp\ AB.\)

II. \(OB=2OA.\)

III. \(OD=AC.\)

Алише I та II

БІ, ІІ та ІІІ

Влише I та III

Глише III

Длише II та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та його елементів, хорд.

I. \(OA\ \perp\ AB\) – правильно. Радіус кола, проведений у точку дотику, завжди перпендикулярний до дотичної.

II. \(OB=2OA\) – правильно.

Розгляньмо трикутник \(\Delta OAB\ (\angle A=90^\circ).\)

Сума його гострих кутів дорівнює \(90^\circ\), отже \(\angle OBA=90^\circ-60^\circ=30^\circ.\)

Катет \(OA\) лежить навпроти кута \(30^\circ\), тому він дорівнює половині гіпотенузи \(OB.\) Тобто \(OB=2OA.\)

III. \(OD=AC\) – правильно.

\(OD\) та \(OC\) – це радіуси кола, тому \(OD=OC.\)

Розгляньмо \(\Delta OAC.\) Він рівнобедрений (\(OA=OC\) як радіуси).

Оскільки кут при вершині \(\angle AOC=60^\circ\), то градусна міра кутів при основі також \((180^\circ-60^\circ) : 2 = 60^\circ.\)

Отже, \(\Delta OAC\) – рівносторонній, тому \(AC=OC.\)

Оскільки \(OD=OC\) й \(AC=OC\), то \(OD=AC.\)

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36597

Завдання 280 з 2111

Визначте \(\sin(180^\circ+\alpha)\), якщо \(\sin \alpha=0{,}8.\)

А\(0{,}6\)

Б\(0{,}2\)

В\(-0{,}8\)

Г\(-0{,}6\)

Д\(0{,}8\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів і застосовувати формули зведення.

Використаймо формулу:

\begin{gather*} \sin(180^\circ+\alpha)=-\sin \alpha. \end{gather*}

Підставмо значення \(\sin \alpha=0{,}8.\)

Отже, \(\sin(180^\circ+\alpha)=-0{,}8.\)

Кут \((180^\circ+\alpha)\) розташований у III чверті тригонометричного кола.

У III чверті синус набуває від’ємного значення, тому поставлено знак мінус.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 734. Запитання: 36596