ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання формул площі трикутника.

Проведемо висоту \(BK\!\perp\!AC\). \(BK = 3\) см, \(AC = 5\) см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

Розв’яжемо методом додавання:

\begin{gather*} +\begin{cases} x^2 - y^2 = -5, \\ \underline{x^2 + y^2 = 3,} \end{cases}\\ 2x^2=-2,\\[7pt] x^2=-1. \end{gather*}

Дане рівняння не має жодного розв’язку.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

Перший літак відлітає о шостій ранку. Тридцятий за рахунком відлітатиме через

Отже,

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості піраміди, знання формули об’єму піраміди.

\(EABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(AB = BC = CD = DA = 4\) см.

\begin{gather*} V = \frac 13 S_{\text{осн.}} \cdot H, \end{gather*}

де \(S_{\text{осн.}} = S_{ABCD}\), \(H = EO\) – висота піраміди.

\begin{gather*} S_{\text{осн.}} = AB^2 = 4^2 = 16\ \text{см}^2;\\[6pt] 64 = \frac 13 \cdot 16 \cdot H;\\[6pt] H = \frac{64 \cdot 3}{16} = 12\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння.

\(\cos x = \pi\) не має коренів, бо рівняння \(\cos x = a\) має корені при \(|a| \le 1.\)

\(x = -x\) має один корінь \(x = 0.\)

\(|x| = x\) має безліч коренів при \(x \ge 0.\)

\(|-x| = 2\) має два корені \(x = \pm 2\).

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формули площі поверхні циліндра.

\(H = 12\) см, \(R = 4\) см.

Площа поверхні циліндра на рис. 1.

Сума площ поверхонь утворених циліндрів відрізняється на суму площ двох кругів, які є основами циліндра.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних та ірраціональних виразів.

Використали формулу «сума кубів».

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості кола та його частин до розв’язування задач практичного змісту.

Радіус великого кола \(R = 2\) м. Тоді радіус малого кола (з якого зроблені півкола всередині) \(r = 1\) м.

Для виготовлення емблеми необхідно гнучкого матеріалу довжиною

Для придбання матеріалу вартістю \(100\) грн за \(1\) м необхідно

Найменша сума грошей з наведених \(2310\) грн.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну, застосовуючи її основні властивості.

Первісна для даної функції \((C = 0).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої формулою або графіком.

Виконаємо елементарні перетворення графіків функції на площині \(y = \sqrt{x} \Rightarrow y = \sqrt{-x}\) симетрія відносно осі \(Oy.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

1. \(1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha.\) Отже, 1 – Д.

2. \(2\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \sin2\alpha.\) Отже, 2 – В.

3. \(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos2\alpha.\) Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – В, 3 – Б, 4 – А.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознаки паралельності прямої та площини у просторі.

Використаємо ознаку паралельності прямої та площини: якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна прямій, що лежить у площині, то ця пряма паралельна площині.

1. \(BC\!\parallel\!B_1C_1\) та \(B_1C_1 \in (AB_1C_1D)\), звідси \(BC\!\parallel\!(AB_1C_1D).\) Отже, 1 – A.

2. \(D_1C\!\parallel\!A_1B\) та \(D_1C \in (DCC_1D_1)\), звідси \(A_1B\!\parallel\!(DCC_1D_1).\) Отже, 2 – B.

3. \(DD_1\!\parallel\!AA_1\) та \(AA_1 \in (AA_1C_1C)\), звідси \(DD_1\!\parallel\!(AA_1C_1C).\) Отже, 3 – Д.

4. \(BD\!\parallel\!B_1D_1\) та \(B_1D_1 \in (AB_1D_1)\), звідси \(BD\!\parallel\!(AB_1D_1).\) Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні, показникові, логарифмічні, квадратні нерівності.

1. \(5^{x-2} \gt 1\), \(5^{x-2} \gt 5^0\), \(x - 2 \gt 0\), \(x \gt 2\) (\(y = 5^x\) зростаюча функція). \(x \in (2; +\infty)\).
Отже, 1 – Д.

2. \(-\dfrac{2}{x + 2} \gt 0\), \(x + 2 \lt 0\), \(x\lt -2\), \(x \in (-\infty; -2).\)

\(-\dfrac{2}{x + 2}\), дріб додатний, коли чисельник та знаменник одного знаку. Значить, \(x + 2 \lt 0.\) Отже, 2 – Г.

3. \(\log_2 x \lt 1\), \(\log_2 x \lt \log_2 2\) (\(y = \log_2 x\) зростаюча функція), область допустимих значень \(x \lt 2\), \(x\gt 0.\)

\begin{gather*} x \in (0; 2). \end{gather*}

Отже, 3 – B.

4. \(x^2\lt 4\), \(x^2 - 4\lt 0\), \((x - 2)(x + 2)\lt 0.\) Використовуємо метод інтервалів:

\begin{gather*} x \in (-2; 2). \end{gather*}

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – Б.