ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої формулою або графіком.

Виконаємо елементарні перетворення графіків функції на площині \(y = \sqrt{x} \Rightarrow y = \sqrt{-x}\) симетрія відносно осі \(Oy.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

1. \(1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha.\) Отже, 1 – Д.

2. \(2\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \sin2\alpha.\) Отже, 2 – В.

3. \(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos2\alpha.\) Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – В, 3 – Б, 4 – А.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання ознаки паралельності прямої та площини у просторі.

Використаємо ознаку паралельності прямої та площини: якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна прямій, що лежить у площині, то ця пряма паралельна площині.

1. \(BC\!\parallel\!B_1C_1\) та \(B_1C_1 \in (AB_1C_1D)\), звідси \(BC\!\parallel\!(AB_1C_1D).\) Отже, 1 – A.

2. \(D_1C\!\parallel\!A_1B\) та \(D_1C \in (DCC_1D_1)\), звідси \(A_1B\!\parallel\!(DCC_1D_1).\) Отже, 2 – B.

3. \(DD_1\!\parallel\!AA_1\) та \(AA_1 \in (AA_1C_1C)\), звідси \(DD_1\!\parallel\!(AA_1C_1C).\) Отже, 3 – Д.

4. \(BD\!\parallel\!B_1D_1\) та \(B_1D_1 \in (AB_1D_1)\), звідси \(BD\!\parallel\!(AB_1D_1).\) Отже, 4 – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д, 4 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні, показникові, логарифмічні, квадратні нерівності.

1. \(5^{x-2} \gt 1\), \(5^{x-2} \gt 5^0\), \(x - 2 \gt 0\), \(x \gt 2\) (\(y = 5^x\) зростаюча функція). \(x \in (2; +\infty)\).
Отже, 1 – Д.

2. \(-\dfrac{2}{x + 2} \gt 0\), \(x + 2 \lt 0\), \(x\lt -2\), \(x \in (-\infty; -2).\)

\(-\dfrac{2}{x + 2}\), дріб додатний, коли чисельник та знаменник одного знаку. Значить, \(x + 2 \lt 0.\) Отже, 2 – Г.

3. \(\log_2 x \lt 1\), \(\log_2 x \lt \log_2 2\) (\(y = \log_2 x\) зростаюча функція), область допустимих значень \(x \lt 2\), \(x\gt 0.\)

\begin{gather*} x \in (0; 2). \end{gather*}

Отже, 3 – B.

4. \(x^2\lt 4\), \(x^2 - 4\lt 0\), \((x - 2)(x + 2)\lt 0.\) Використовуємо метод інтервалів:

\begin{gather*} x \in (-2; 2). \end{gather*}

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком або формулою.

1.

Отже, 1 – A.

2.

Отже, 2 – Б.

3.

Отже, 3 – Г.

4.

Отже, 4 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г, 4 – B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Якщо \(a = 1{,}1\); \(b = 0{,}8\), то

Відповідь: \(-9.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

Знайдемо ОДЗ:

\begin{gather*} \begin{cases} x - 2 \ge 0, \\ 2x + 1 \ge 0, \end{cases}\ \ \begin{cases} x \ge 2, \\ x \ge -0{,}5. \end{cases}\\[7pt] x \in [2; +\infty). \end{gather*}

Піднесемо до квадрату обидві частини рівняння:

\begin{gather*} (x - 2)(2x + 1) = 3;\\[7pt] 2x^2 + x - 4x - 2 - 3 = 0;\\[7pt] 2x^2 - 3x - 5 = 0;\\[7pt] D = 9 - 4 \cdot 2(-5) = 49;\\[6pt] x_1 = \frac{3 + 7}{4} = 2{,}5;\\[6pt] x_2 = \frac{3 - 7}{4} = -1 \notin\ \text{ОДЗ}. \end{gather*}

Відповідь: \(2{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної.

Це завдання перевіряє вміння знаходити найбільше значення функції за допомогою похідної:

\begin{gather*} y = 12x - x^3,\ x \in [0; 3]. \end{gather*}

Найбільше значення функції знаходимо за допомогою похідної:

\begin{gather*} y' = 12 - 3x^2. \end{gather*}

Знаходимо критичні точки: \(y' = 0{:}\)

\begin{gather*} 12 - 3x^2 = 0;\\[7pt] 3(4 - x^2) = 0;\\[7pt] 3(2 - x)(2 + x) = 0. \end{gather*}

\(x = 2\), \(x = -2\) – критичні точки.

Відрізку \([0; 3]\) належить лише \(x = 2.\) Знаходимо значення функції на кінцях відрізку та у критичній точці:

\begin{gather*} y(0) = 12 \cdot 0 - 0^3 = 0;\\[7pt] y(3) = 12 \cdot 3 - 3^3 = 36 - 27 = 9;\\[7pt] y(2) = 12 \cdot 2 - 2^3 = 24 - 8 = 16;\\[7pt] {\mathrm{max}_{[0;3]} f(x)}=f(2) = 16. \end{gather*}

Відповідь: \(16.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Всього \(10\) цифр: \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\).

Для того, щоб перша цифра двоцифрового числа була парною, існує \(4\) способи (\(2\), \(4\), \(6\), \(8\)), а щоб друга цифра непарною – \(5\) способів (\(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\)).

Отже, використовуючи комбінаторне правило множення, отримаємо:

\begin{gather*} 4 \cdot 5 = 20\ \text{способів}. \end{gather*}

Відповідь: \(20.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, властивостей прямокутника.

\(MB = 100\) км, \(KM = 120\) км, \(AK = 60\) км. Додаткова побудова: \(BC\!\perp\!AK.\)

Отримали \(\Delta ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)), \(KC = MB = 100\) км,

За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(200.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння та нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

Нехай громадянин узяв \(x\) грн під \(12\ \%\), а \(y\) грн під \(15\ \%.\)

Нарахована сума відсотків становить \(654\) грн, тому

Всього отримано \(5000\) грн у двох банках, тому

Складемо систему рівнянь:

Підставимо значення \(x\) у перше рівняння

Громадянин узяв під більші відсотки (\(15\ \%\)) \(1800\) гривень.

Відповідь: \(1800.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей призми та кулі, формули об'єму призми, вміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язування стереометричних задач.

Дана призма \(ABCA_1B_1C_1\) – правильна призма, вписана у сферу. Отже, основи призми – правильні трикутники \(ABC\), \(A_1B_1C_1\) вписані у кола.

Точка \(O\) – центр сфери. Проведемо \(OO_1\!\perp\!(ABC)\), \(ON\!\perp\!BB_1.\)

Точка \(O_1\) – центр кола, описаного навколо \(\Delta ABC.\)

\(ONBO_1\) – прямокутник.

За умовою \(\angle OBN=30^\circ.\) Отже, \(\angle OBO_1=60^\circ.\) Точка \(N\) – середина ребра \(BB_1.\) \(OB=6\) см.

У \(\Delta OBO_1\ (\angle O_1=90^\circ)\),

\begin{gather*} O_1B=OB\cos 60^\circ=6\cdot \frac 12=3\ \text{см};\\[6pt] OO_1=OB\sin 60^\circ =6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta ABC\ O_1B=3\) см – радіус описаного кола, отже,

\begin{gather*} AB=R\sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \end{gather*} де \(a=AB\) – сторона правильного трикутника.

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2;\\[6pt] BB_1=2OO_1=6\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=S_\text{осн.}\cdot H,\ \text{де}\\[6pt] S_\text{осн.}=S_{ABC}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2;\\[6pt] H=BB_1=6\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=\frac{27\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}{4}=\frac{243}{2}=121{,}5\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(121{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння з параметрами.

Знайдемо ОДЗ: \(x \gt 0\).

Зробимо заміну \(\log_2 x = t\). Отримаємо:

\begin{gather*} t^2 - (2a^2 - a)t + 1 - 2a = 0. \end{gather*}

Якщо \(x_1\), \(x_2\) – корені рівняння та \(x_1 \cdot x_2 = 8\), то прологарифмуємо обидві частини рівняння за основою \(2.\)

Але корені \(t_1\) та \(t_2\) повинні існувати, а це виконується за умови

\begin{gather*} D = (2a^2 - a)^2 - 4(1 - 2a) \ge 0.\\[7pt] D = (2a - 1)(2a^3 - a^2 + 4) \ge 0. \end{gather*}

За теоремою Вієта сума коренів \(t_1 + t_2 = 2a^2 - a = 3.\)

\begin{gather*} 2a^2 - a - 3 = 0;\\[7pt] D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25;\\[6pt] a_1 = \frac{1 + 5}{4} = 1{,}5;\\[6pt] a_2 = \frac{1 - 5}{4} = -1. \end{gather*}

Перевіримо, при яких значеннях \(a\) дискримінант буде невід’ємним:

При \(a = -1\)

При \(a = 1{,}5\)

Отже, при \(a = 1{,}5\) рівняння має корені, добуток яких дорівнює \(8\).

Відповідь: \(1{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).

Це завдання перевіряє знання ознаки подільності на \(3.\)

На \(3\) ділиться число, сума цифр якого ділиться на три.

Отже,

повинно ділитися на три.

З наведених цифр потрібно поставити \(7{:}\)

Відповідь: Г.