Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 330

Математика. Всі запитання починаючи з 330

331332333334335336337338339340341342343344345 ▶

Завдання 331 з 2155

За якого найменшого натурального значення \(a\), рівняння \begin{gather*} (9^x-8\cdot 3^x-9)(5+\ln^2(4a-11x))=0 \end{gather*} має корінь.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Показникові, логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв'язувати рівняння з параметрами, що містять невідому в показнику степеня і в аргументі логарифма, з'ясовуючи умови існування розв’язку.

Запишімо ОДЗ: аргумент логарифма має бути додатним значенням.

ОДЗ:

\begin{gather*} 4a-11x\gt 0. \end{gather*}

Перенесімо \(-11x\) праворуч: \begin{gather*} 4a\gt 11x. \end{gather*}

Поділімо обидві частини нерівності на \(4{:}\) \begin{gather*} a\gt \frac{11x}{4}. \end{gather*}

Перейдімо до розв’язання рівняння. Добуток двох множників дорівнює нулю, коли хоча б один множник рівний нулю.

Запишімо, що перший множник початкового рівняння дорівнює нулю:

\begin{gather*} 9^x-8\cdot 3^x-9=0. \end{gather*}

Перепишімо перший доданок:

\begin{gather*} 9^x=(3^2)^x=3^{2x},\\[7pt] 3^{2x}-8\cdot 3^x-9=0. \end{gather*}

Виконаймо заміну. Нехай \(3^x=t\), тоді \(3^{2x}=t^2{:}\)

\begin{gather*} t^2-8t-9=0. \end{gather*}

За теоремою Вієта:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} t_1+t_2=8,\\ t_1\cdot t_2=-9. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, \(t_1=9\), \(t_2=-1.\)

Повернімося до заміни \(3^x=t\) й замість \(t\) підставмо обчислені значення.

Підставимо \(9{:}\)

\begin{gather*} 3^x=9;\\[7pt] 3^x=3^2;\\[7pt] x=2. \end{gather*}

Підставимо \(-1{:}\)

\begin{gather*} 3^x=-1. \end{gather*}

\(3^x\) не може дорівнювати від’ємному числу, оскільки значення показникової функції \(y=a^x\) завжди більше за нуль:

\begin{gather*} x\in\varnothing. \end{gather*}

Запишімо, що другий множник початкового рівняння дорівнює нулю:

\begin{gather*} 5+\ln^2(4a-11x)=0;\\[7pt] \ln^2(4a-11x)=-5. \end{gather*}

Логарифм у степені \(2\) не може дорівнювати від’ємному значенню:

\begin{gather*} x\in\varnothing. \end{gather*}

Підставмо обчислений корінь \(x=2\) в ОДЗ:

\begin{gather*} a\gt \frac{11\cdot 2}{4};\\[6pt] a\gt 5{,}5. \end{gather*}

Найменше натуральне значення, яке входить в отриманий проміжок, \(a=6.\)

Відповідь: \(6.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36568

Завдання 332 з 2155

Задано сферу, площа поверхні якої \(768\pi\) см\(^2\), і циліндр, основу якого вписано у квадрат \(ABCD.\) Радіус сфери дорівнює стороні квадрата \(ABCD\), а діаметр сфери – діагоналі осьового перерізу циліндра. Визначте об’єм \(V\) цього циліндра. У відповіді запишіть \(\frac{V}{\pi}.\)

Впишіть відповідь:

1152

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, пов'язані з обчислення об'єму циліндра, використовуючи перерізи стереометричних фігур.

Об’єм циліндра обчислімо за формулою: \begin{gather*} V=\pi\cdot R^2_\text{цил}\cdot h. \end{gather*}

З площі поверхні сфери обчислімо радіус сфери:

\begin{gather*} S=768\pi\ \text{см}^2;\\[6pt] 4\pi R^2=768\pi;\\[7pt] R^2=192\ \text{см}^2;\\[7pt] R=\sqrt{192\ \text{см}^2}=\sqrt{64\cdot 3}=8\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

З умови завдання відомо, що радіус сфери дорівнює стороні квадрата \(ABCD{:}\)

\begin{gather*} AD=R=8\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою завдання, у квадрат \(ABCD\) вписано основу циліндра, отже, діаметр основи циліндра дорівнює стороні квадрата:

\begin{gather*} d_\text{цил}=8\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо радіус основи циліндра, поділивши його діаметр на \(2{:}\)

\begin{gather*} R_\text{цил}=\frac{8\sqrt{3}\ \text{см}}{2}=4\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Обчислімо висоту циліндра, вона дорівнюватиме твірній \(GH\), яку можна визначити за теоремою Піфагора з прямокутного трикутника \(GHE\ (\angle GHE=90^\circ){:}\)

\begin{gather*} GH=\sqrt{(EG)^2-(EH)^2}=\sqrt{(16\sqrt{3}\ \text{см})^2-(8\sqrt{3}\ \text{см})^2}=\sqrt{16^2\cdot 3\ \text{см}^2-8^2\cdot 3\ \text{см}^2};\\[7pt] GH=\sqrt{3\cdot 8\cdot 24\ \text{см}^2}=24\ \text{см};\\[7pt] h=GH=24\ \text{см}. \end{gather*}

Визначмо об’єм циліндра:

\begin{gather*} V=\pi\cdot (4\sqrt{3})^2\cdot 24=\pi\cdot 16\cdot 3\cdot 24=48\cdot 24\pi=1152\pi\ \text{см}^3. \end{gather*}

Поділімо знайдений об’єм на \(\pi\), як зазначено в умові завдання:

\begin{gather*} \frac{V}{\pi}=\frac{1152\pi\ \text{см}^3}{\pi}=1152 \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(1152.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36567

Завдання 333 з 2155

На паркувальному майданчику бізнес-центру n рядів для автомобілів (див. рисунок). У кожному ряду \(8\) паркомісць (по \(4\) місця обабіч проїзду). Коли водій під’їжджає до шлагбаума, автоматична система видає йому талон із випадково вибраним вільним місцем. Імовірність того, що першому водієві зранку дістанеться місце в одному із чотирьох перших рядів, дорівнює \(\frac 19.\) Визначте загальну кількість рядів \((n)\) на цьому паркувальному майданчику.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Імовірність випадкової події.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати означення ймовірності настання випадкової події для розв’язання практичних завдань.

Імовірність настання події \(A\) можна обчислити за формулою: \begin{gather*} P(A)=\frac mn, \end{gather*} де \(m\) – кількість сприятливих подій, \(n\) – кількість усіх рівноможливих подій.

За умовою, у перших чотирьох рядах є \(32\) місця – це кількість сприятливих подій, адже задано ймовірність, що водію дістанеться місце в першому із чотирьох рядів. Щоб визначити загальну кількість місць на паркувальному майданчику, треба помножити кількість рядів на кількість місць в одному ряді. Відомо, що всього на паркувальному майданчику \(n\) рядів, місць в одному ряді – \(8\), отже, усього \(8n\) місць – це кількість усіх рівноможливих подій, адже автоматична система може видати талон із будь-яким із цих місць.

Імовірність, що першому водієві зранку дістанеться місце в одному з перших чотирьох рядів, обчислімо за формулою: \begin{gather*} P(A)=\frac{32}{8\cdot n}. \end{gather*}

Підставмо відому за умовою імовірність: \begin{gather*} \frac 19=\frac{32}{8n}. \end{gather*}

Для зручності поміняймо частини утвореного рівняння місцями: \begin{gather*} \frac{32}{8n}=\frac 19. \end{gather*}

У лівій частині скоротімо дріб на \(8{:}\) \begin{gather*} \frac{4}{n}=\frac 19. \end{gather*}

Застосуймо перехресне множення й виразімо загальну кількість \(n\) рядів на парковці: \begin{gather*} n=\frac{4\cdot 9}{1}=36. \end{gather*}

Відповідь: \(36.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36566

Завдання 334 з 2155

Задано функцію \(f(x)=x^2\cdot (2x-1)^3\), \(f'(x)\) – її похідна. Обчисліть значення виразу \(f(2)+f'(1).\)

Впишіть відповідь:

116

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння обчислювати похідну добутку двох функцій, одна з яких складена, визначати числове значення функції та похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

Обчислімо значення заданої функції в точці \(x=2\), для цього у функцію замість \(x\) підставмо \(2{:}\)

\begin{gather*} f(2)=2^2\cdot (2\cdot 2-1)^3=4\cdot (4-1)^3=4\cdot 27=108. \end{gather*}

Визначмо похідну заданої функції за правилом добутку:

\begin{gather*} (uv)'=u'\cdot v+u\cdot v'. \end{gather*}

Звернімо увагу, що \(g(x)=(2x-1)^3\) – складена функція:

\begin{gather*} f'(x)=(x^2)'\cdot (2x-1)^3+((2x-1)^3)'\cdot x^2=2x\cdot (2x-1)^3+3\cdot (2x-1)^2\cdot 2\cdot x^2. \end{gather*}

Обчислімо значення знайденої похідної в точці \(x=1\), для цього в похідну замість \(x\) підставмо \(1.\)

\begin{gather*} f'(1)=2\cdot 1\cdot (2\cdot 1-1)^3+3\cdot (2\cdot 1-1)^2\cdot 2\cdot 1^2=2\cdot 1+3\cdot 2=2+6=8. \end{gather*}

Обчислімо суму \(f(2)+f'(1){:}\)

\begin{gather*} f(2)+f'(1)=108+8=116. \end{gather*}

Відповідь: \(116.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36565

Завдання 335 з 2155

На паралельних прямих \(n\) і \(m\) розміщено півкруг діаметра \(AB\), рівносторонній трикутник \(ACD\), ромб \(DCKL\) (див. рисунок). Висота трикутника \(ACD\) дорівнює \(4\sqrt{3}.\) Доберіть до фігури (1–3) її площу (А – Д). Уважайте, що \(\pi=3{,}14.\)

Фігура

1половина півкруга діаметра \(AB\)

2трикутник \(ACD\)

3ромб \(DCKL\)

Площа

А\(9{,}42\)

Б\(12\sqrt{3}\)

В\(16\sqrt{3}\)

Г\(37{,}68\)

Д\(32\sqrt{3}\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Коло та круг. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати властивості, ознаки трикутників, чотирикутників, круга для розв’язання завдань із планіметрії.

1. Висота трикутника \(ACD\), задана за умовою завдання, дорівнює діаметру заданого півкруга. Обчислімо радіус цього півкруга:

\begin{gather*} R=\frac d2=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}. \end{gather*}

Визначмо площу круга радіуса \(2\sqrt{3}{:}\)

\begin{gather*} S=\pi R^2=\pi\cdot (2\sqrt{3})^2=4\cdot 3\cdot \pi=12\pi. \end{gather*}

Обчислімо площу половини півкруга радіуса \(2\sqrt{3}\), для цього поділімо обчислену площу круга на \(4{:}\)

\begin{gather*} \frac S4=\frac{12\pi}{4}=3\pi=3\cdot 3{,}14=9{,}42. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь A.

2. Запишімо формулу висоти в рівносторонньому трикутнику: \begin{gather*} h=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Виразімо за допомогою перехресного множення довжину сторони трикутника \(ACD{:}\)

\begin{gather*} 2\cdot h=a\sqrt{3};\\[6pt] a=\frac{2\cdot h}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=8. \end{gather*}

Обчислімо площу рівностороннього трикутника через висоту:

\begin{gather*} S_\Delta=\frac 12 a\cdot h_a=\frac 12\cdot 8\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь B.

3. Сторона ромба \(DCKL\) дорівнює довжині сторони трикутника \(ACD.\) Висота ромба \(DCKL\) дорівнює довжині висоти трикутника \(ACD.\) Обчислімо площу ромба \(DCKL\) через висоту:

\begin{gather*} S=a\cdot h_a=8\cdot 4\sqrt{3}=32\sqrt{3}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – А, 2 – В, 3 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36564

Завдання 336 з 2155

Узгодьте вираз (1–3) зі значенням \(a\) (А – Д), за якого значення цього виразу дорівнює 2.

Вираз

1\(\frac 2a\)

2\(16^a\)

3\((a-1)^2-a^2\)

Значення \(a\)

А\(\frac 14\)

Б\(\frac 12\)

В\(1\)

Г\(-\frac 12\)

Д\(-\frac 14\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні, показникові вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння спрощувати вирази й виконувати обчислення після підставлення значення.

Підставмо \(2\) в значення кожного виразу.

1. \(\frac 2a=2.\)

Представмо у вигляді дробу праву частину виразу, для цього допишімо в знаменнику \(1{:}\) \begin{gather*} \frac 2a=\frac 21. \end{gather*}

Визначмо \(a{:}\) оскільки чисельники дробів однакові, то, щоб ці дроби були рівними, мають бути однаковими і їхні знаменники: \begin{gather*} a=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь B.

2. \(16^a=2.\)

Перепишімо ліву частину виразу: \begin{gather*} 16^a=(2^4)^a=2^{4a};\\[7pt] 2^{4a}=2^1. \end{gather*}

Оскільки основи однакові в обох частинах, можемо їх відкинути, залишаться степені: \begin{gather*} 4a=1. \end{gather*}

Поділімо обидві частини утвореного рівняння на \(4{:}\) \begin{gather*} a=\frac 14. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь А.

3. \((a-1)^2-a^2=2.\)

Розкриймо дужку за формулою скороченого множення: \begin{gather*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2;\\[7pt] a^2-2a+1-a^2=2. \end{gather*}

Зведімо подібні доданки: \begin{gather*} -2a+1=2. \end{gather*}

Перенесімо \(1\) праворуч: \begin{gather*} -2a=1. \end{gather*}

Поділімо обидві частини отриманого рівняння на \(-2{:}\) \begin{gather*} a=\frac{1}{-2}=-\frac 12. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36562

Завдання 337 з 2155

Доберіть до функції (1–3) координатні чверті (А – Д), у яких лежить графік цієї функції (координатні чверті показано на рисунку).

Функція

1\(y=-\log_3 x\)

2\(y=-|x|+4\)

3\(y=-(x^2+2)\)

Координатна чверть

Алише I та II

Блише I та III

Влише III та IV

Глише I та IV

ДI, II, III та IV

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння будувати графіки функцій, використовуючи перетворення графіків функцій.

1. Схематично зобразімо графік логарифмічної функції: \(y=log_a x\), основа якої більша за одиницю, отже, графік зростаючий. За умовою, перед усією функцією \(y=\log_3 x\) стоїть мінус, отже, графік відбивається симетрично відносно осі \(x.\) Отриманий графік лежить у першій і четвертій чвертях. Отже, правильна відповідь Г.

2. Зобразімо функцію \(y=|x|.\) За умовою, перед усією функцією \(y=|x|\) стоїть мінус, отже, графік відбивається симетрично відносно осі \(|x|.\) Оскільки до всієї функції \(y=-|x|\) додаємо \(4\), то паралельно переносимо графік функції \(y=-|x|\) на \(4\) одиниці вгору відносно осі \(y.\) Отриманий графік лежить в усіх чвертях. Отже, правильна відповідь Д.

3. Розкриймо дужки: \(-(x^2+2)=-x^2-2.\) Зобразімо функцію \(y=-x^2\) – це парабола вітками донизу. Оскільки від усієї функції \(y=-x^2\) віднімаємо \(2\), то паралельно переносимо графік функції \(y=-x^2\) на \(2\) одиниці вниз відносно осі \(y.\) Отриманий графік лежить у третій і четвертій чвертях. Отже, правильна відповідь В.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36560

Завдання 338 з 2155

Розв’яжіть систему нерівностей \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \frac{x-2}{x+3}\ge 0,\\ -x\le -2. \end{array}\right. \end{gather*}

А\([2; +\infty)\)

Б\((2; +\infty)\)

В\((-3; 2)\)

Г\((-\infty; -3)\cup (2; +\infty)\)

Д\((-\infty; -3)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Системи нерівностей.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати системи нерівностей, які містять дробово-раціональну і лінійну нерівності.

Розв’яжімо нерівності системи й визначмо перетин розв’язків.

\(\frac{x-2}{x+3}\ge 0.\)

Запишімо ОДЗ: знаменник не може дорівнювати нулю:

\begin{gather*} \text{ОДЗ:}\ x+3\ne 0;\\[7pt] x\ne -3. \end{gather*}

Використаймо метод інтервалів, для цього перенесімо знаменник у чисельник:

\begin{gather*} (x-2)(x+3)\ge 0. \end{gather*}

Визначмо нулі лівої частини нерівності, для цього ліву частину прирівнюймо до нуля:

\begin{gather*} (x-2)(x+3)=0. \end{gather*}

Добуток двох множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із цих множників дорівнює нулю. Тому прирівнюємо кожен множник до нуля:

\begin{gather*} x-2=0\ \text{або}\ x+3=0;\\[7pt] x=2\ \text{або}\ x=-3. \end{gather*}

Накреслімо числову пряму, на якій точками позначмо обчислені нулі лівої частини нерівності: \(2\), \(-3.\)

Зауважмо: нерівність нестрога, тож точку, якою позначено на прямій значення \(2\), зафарбовуємо. За ОДЗ \(x\) не може дорівнювати значенню \(-3\), тому точку, яка його позначає на прямій, буде виколото.

Визначмо знаки на проміжках, які утворилися внаслідок розбиття числової прямої нулями лівої частини нерівності. Ліва частина нерівності була більшою за нуль, тому в розв’язку першої нерівності системи запишімо проміжки, на яких ліва частина нерівності набуває додатних значень:

\begin{gather*} -x\le -2. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1.\) Зауважмо: якщо множимо нерівність на від’ємне число, то знак нерівності змінюємо на протилежний:

\begin{gather*} x\ge 2. \end{gather*}

Отже, розв’язком цієї нерівності буде проміжок \([2; +\infty).\)

Позначмо на числовій прямій розв’язки обох нерівностей і визначмо їхній перетин:

\begin{gather*} x\in [2; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36559

Завдання 339 з 2155

Якому проміжку належить значення виразу? \begin{gather*} 4\cos 135^\circ\cdot \sin 135^\circ+2\cos^2 17^\circ+2\sin^2 17^\circ. \end{gather*}

А\((-\infty; -2)\)

Б\([-1; 0)\)

В\([-1; 0]\)

Г\([1; 2)\)

Д\([2; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння спрощувати тригонометричні вирази й визначати належність результату до числового проміжку.

Запишімо \(4\) як добуток: \begin{gather*} 2\cdot 2. \end{gather*}

З другого і третього доданка винесімо спільний множник 2 за дужку:

\begin{gather*} 2\cdot 2\cdot \cos 135^\circ\cdot \sin 135^\circ+2(\sin^2 17^\circ+\cos^2 17^\circ). \end{gather*}

Використаймо формулу синуса подвійного аргумента:

\begin{gather*} \sin (2a)=2\sin a\cdot \cos a;\\[7pt] 2\cdot \cos 135^\circ\cdot \sin 135^\circ=\sin (2\cdot 135^\circ). \end{gather*}

Використаймо основну тригонометричну тотожність:

\begin{gather*} \sin^2 17^\circ+\cos^2 17^\circ=1;\\[7pt] 2\sin (2\cdot 135^\circ)+2\cdot 1=2\sin 270^\circ+2. \end{gather*}

За формулами зведення:

\begin{gather*} \sin 270^\circ=-1;\\[7pt] 2\cdot(-1)+2=-2+2=0. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36558

Завдання 340 з 2155

Визначте загальний вигляд первісних для функції \begin{gather*} f(x)=\frac{2}{\cos^2 x}+\frac 3x+\cos x+2. \end{gather*}

А\(\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+C\)

Б\(\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+2x+C\)

В\(2\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+C\)

Г\(2\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+2x+C\)

Д\(\mathrm{tg}\ x+\ln|x|+\sin x+2x+C\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати загальний вигляд первісних функції.

Перепишімо перші два доданки, винісши множники з їхніх чисельників: \begin{gather*} \frac{2}{\cos^2 x}=2\cdot \frac{1}{\cos^2 x};\\[6pt] \frac 3x=3\cdot \frac 1x. \end{gather*}

Тепер функція має такий вигляд:

\begin{gather*} f(x)=2\cdot \frac{1}{\cos^2 x}+3\cdot \frac 1x+\cos x+2. \end{gather*}

Визначмо загальний вигляд первісних для цієї функції, проаналізувавши доданки:

1. Доданок \(2\cdot \frac{1}{\cos^2 x}\) – множник \(2\) залишмо без змін, первісна для \(\frac{1}{\cos^2 x}\) за таблицею первісних дорівнює \(\mathrm{tg}\ x\), тож маємо \(2\mathrm{tg}\ x.\)

2. Доданок \(3\cdot \frac 1x\) – множник \(3\) залишмо без змін, первісна для \(\frac 1x\) за таблицею первісних дорівнює \(\ln |x|\), тож \(3\ln |x|.\)

3. Доданок \(\cos x\) – первісна для \(\cos x\) за таблицею первісних дорівнює \(\sin x\) , тож маємо \(\sin x.\)

4. Доданок \(2\) – первісна від сталої \(2\) дорівнює \(2x.\)

Запишімо суму всіх доданків, які визначили в пунктах 1–4, у кінці додамо константу \(C\), бо за умовою треба визначити загальний вигляд первісних функції:

\begin{gather*} F(x)=2\mathrm{tg}\ x+3\ln|x|+\sin x+2x+C. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36557

Завдання 341 з 2155

У трапеції \(ABCD\) діагоналі перетинаються в точці \(O\) (див. рисунок). Периметр трикутника \(BOC\) відноситься до периметра трикутника \(DOA\) як \(2:7.\) Площа трапеції \(ABCD\) дорівнює \(405\) см\(^2\), \(AD=28\) см. Визначте висоту трикутника \(AOD.\)

А\(6\) см

Б\(8{,}5\) см

В\(12{,}25\) см

Г\(15{,}5\) см

Д\(17{,}5\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати складники та площу трапеції, використовуючи властивості подібних трикутників.

Проведімо висоту \(h_2\) трикутника \(AOD\), розмір якої треба визначити, висоту \(h_1\) трикутника \(BOC\), висоту \(h\) трапеції. Довжина останньої дорівнює сумі довжин висот трикутників:

\begin{gather*} h=h_1+h_2. \end{gather*}

За умовою завдання, \(ABCD\) – трапеція, тож її основи \(AD\) і \(BC\) паралельні. Трикутники \(BCO\) і \(DAO\) подібні за двома кутами: \(\angle AOD=\angle COB\) подібні як вертикальні, \(\angle OBC=\angle ODA\) подібні як внутрішні різносторонні при двох паралельних прямих \(AD\), \(BC\) і січній \(BD.\)

Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює їхньому коефіцієнту подібності \(k{:}\)

\begin{gather*} k=\frac{P_{\Delta BOC}}{P_{\Delta AOD}}=\frac 27. \end{gather*}

Відповідні сторони подібних трикутників відносяться одна до одної за обчисленим коефіцієнтом подібності: \begin{gather*} \frac{BC}{AD}=\frac 27. \end{gather*}

Довжина сторони \(AD\) відома за умовою завдання й дорівнює \(28\), підставмо її в знаменник правої частини:

\begin{gather*} \frac{BC}{28}=\frac 27;\\[6pt] BC=\frac{28\cdot 2}{7}=8. \end{gather*}

За умовою завдання площа трапеції \(S_{ABCD}=405\) см\(^2.\) Запишімо формулу для обчислення площі трапеції:

\begin{gather*} S_{ABCD}=mh. \end{gather*}

Визначмо довжину середньої лінії трапеції:

\begin{gather*} m=\frac{BC+AD}{2}=\frac{8\ \text{см}+28\ \text{см}}{2}=18\ \text{см}. \end{gather*}

З площі трапеції обчислімо її висоту:

\begin{gather*} h=\frac Sm=\frac{405\ \text{см}^2}{18\ \text{см}}=22{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Висоти трикутників \(BCO\) і \(DAO\) пропорційні за коефіцієнтом подібності \(k.\) Нехай коефіцієнтом відношення буде \(x\) тоді \(h_1=2x\), \(h_2=7x.\) Сума довжин висот трикутників дорівнює довжині висоти трапеції, яку вже обчислено:

\begin{gather*} 2x+7x=22{,}5\ \text{см};\\[7pt] 9x=22{,}5\ \text{см};\\[7pt] x=2{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Висота трикутника \(DAO\) дорівнює \(7x\), тож маємо помножити \(7\) на щойно обчислене значення \(x{:}\)

\begin{gather*} h_2=7\cdot 2{,}5\ \text{см}=17{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36556

Завдання 342 з 2155

Розв’яжіть рівняння \(|4x-1|=5.\) Якщо рівняння має кілька коренів, обчисліть їхню суму.

А\(-1\)

Б\(1{,}5\)

В\(0{,}5\)

Г\(1\)

Д\(-1{,}5\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння з модулем.

Оскільки у лівій частині рівняння \begin{gather*} |4x-1|=5 \end{gather*} є модуль, а в правій – додатне число, розкриймо модуль за схемою: рівняння вигляду \(|f(x)|=a\), де \(a\gt 0\), рівносильне сукупності двох рівнянь \(f(x)=a\) або \(f(x)=-a.\)

Отже, рівняння \(|4x-1|=5\) рівносильне сукупності рівнянь: \begin{gather*} 4x-1=5\ \text{або}\ 4x-1=-5. \end{gather*}

Розв’яжімо перше рівняння із сукупності: \begin{gather*} 4x-1=5. \end{gather*}

Перенесімо \(-1\) праворуч, змінивши знак на протилежний: \begin{gather*} 4x=5+1;\\[7pt] 4x=6. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на \(4{:}\) \begin{gather*} x=\frac 64;\\[6pt] x=1{,}5. \end{gather*}

Розв’яжімо друге рівняння із сукупності: \begin{gather*} 4x-1=-5. \end{gather*}

Перенесімо \(-1\) праворуч, змінивши знак на протилежний: \begin{gather*} 4x=-5+1;\\[7pt] 4x=-4. \end{gather*}

Поділімо обидві частини рівняння на \(4{:}\) \begin{gather*} x=\frac{-4}{4};\\[6pt] x=-1. \end{gather*}

На вимогу завдання у відповіді треба зазначити суму всіх визначених коренів. Оскільки маємо два корені рівняння, додамо їх:

\begin{gather*} 1{,}5+(-1)=1{,}5-1=0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36555

Завдання 343 з 2155

У прямокутній системі координат у просторі зображено правильну чотирикутну піраміду \(SABCD\), одна з вершин якої збігається з початком координат – точкою \(O\), а два ребра лежать на координатних осях (див. рисунок). Точка \(S(4; -4; 11)\) є вершиною піраміди. Визначте довжину апофеми цієї піраміди.

А\(4\sqrt{2}\)

Б\(\sqrt{105}\)

В\(\sqrt{137}\)

Г\(12\)

Д\(\sqrt{151}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Многогранники. Координати та вектори в просторі.

Завдання скеровано на перевірку просторової уяви, уміння визначати відстані між двома точками з відомими координатами, знання властивостей піраміди.

Апофема – це висота бічної грані правильної піраміди.

Проведімо апофему \(SK\), довжину якої треба визначити на вимогу задачі.

Побудуймо висоту піраміди \(SO.\) Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то її основою є квадрат, а основа висоти піраміди (точка \(O\)) проєктується в центр квадрата (точку перетину його діагоналей).

За рисунком основа піраміди лежить у координатній площині \(xy\), тож висота \(SO\) піраміди дорівнюватиме модулю координати \(z\) вершини \(S\) піраміди \begin{gather*} SO=|z|=11. \end{gather*}

З’єднаймо основу висоти піраміди (точку \(O\)) з основою проведеної апофеми (точкою \(K\)). Відрізок \(OK\) – перпендикуляр до ребра \(CD\), на якому лежить точка \(K.\) За умовою ребро \(CD\) лежить на осі \(x.\) Відстань від точки \(O\) до осі \(x\) дорівнюватиме модулю координати y точки \(O\), яка збігається з координатою \(y\) вершини \(S{:}\) \begin{gather*} OK=|y|=|-4|=4. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(SOK\) \((\angle SOK=90^\circ)\), у якому: довжина катета \(SO\) дорівнює \(11\), довжина катета \(OK\) дорівнює \(4\), довжина гіпотенузи \(SK\) невідома. Використаймо теорему Піфагора, щоб визначити довжину гіпотенузи \(SK{:}\)

\begin{gather*} SK^2=SO^2+OK^2;\\[7pt] SK=\sqrt{SO^2+OK^2};\\[7pt] SK=\sqrt{11^2+4^2}=\sqrt{121+16}=\sqrt{137}. \end{gather*}

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36554

Завдання 344 з 2155

До зустрічі Нового року залишилося зовсім мало часу, а ще треба нарізати продукти для салату. Мама зможе самотужки нарізати їх за три години, а тато – за шість годин. За скільки годин вони зможуть нарізати всі продукти для салату, якщо працюватимуть разом?

А\(5\) год

Б\(4\) год

В\(3\) год

Г\(2\) год

Д\(1\) год

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі.

Складімо таблицю.

Нехай уся робота \((A)\), яку треба виконати (нарізати всі продукти для салату), буде одиницею \((1).\)

У стовпчик із часом запишімо відомий час, за який мама і тато окремо самотужки нарізають всі продукти. Час, за який мама і тато разом нарізають всі продукти, позначмо \(x.\)

Продуктивність \((N)\) – це відношення роботи, яку треба виконати, до часу, за який цю роботу виконано: \begin{gather*} N=\frac At. \end{gather*}

	\(A\)	\(t\), год	\(N\)
Мама	\(1\)	\(3\)	\(1/3\)
Тато	\(1\)	\(6\)	\(1/6\)
Разом	\(1\)	\(x\)	\(1/x\)

Сума індивідуальної продуктивності мами й індивідуальної продуктивності тата дорівнюватиме їхній спільній продуктивності, тож складімо рівняння: \begin{gather*} \frac 13+\frac 16=\frac 1x. \end{gather*}

У лівій частині зводимо дроби до спільного знаменника: \begin{gather*} \frac 26+\frac 16=\frac 1x;\\[6pt] \frac 36=\frac 1x. \end{gather*}

У лівій частині скоротімо дріб на \(2\), для цього і чисельник, і знаменник дробу розділімо на \(2{:}\) \begin{gather*} \frac 12=\frac 1x. \end{gather*}

Чисельники дробів однакові. Щоб ці дроби були рівними, мають бути однаковими їхні знаменники: \begin{gather*} x=2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36553

Завдання 345 з 2155

\(25^{\log_5 2+1}=\)

А\(1\)

Б\(10\)

В\(100\)

Г\(1000\)

Д\(10000\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Логарифмічні вирази.

Завдання скеровано на вміння використовувати степеневі властивості й основну логарифмічну тотожність для спрощення виразів.

Використаймо властивість степенів:

\begin{gather*} a^{m+n}=a^m\cdot a^n;\\[7pt] 25^{\log_5 2+1}=25^{\log_5 2}\cdot 25. \end{gather*}

Запишімо \(25\) як \(5^2{:}\) \begin{gather*} (5^2)^{\log_5 2}\cdot 25. \end{gather*}

Використаймо властивість степенів \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\), щоб розкрити дужки:

\begin{gather*} (5^2)^{\log_5 2}\cdot 25=5^{2\log_5 2}\cdot 25. \end{gather*}

Запишімо число \(2\), на яке множимо логарифм, у степінь аргумента цього логарифма, використавши тотожність:

\begin{gather*} p\log_a x=\log_a x^p;\\[7pt] 5^{2\log_5 2}\cdot 25=5^{\log_5 2^2}\cdot 25=5^{\log_5 4}\cdot 25. \end{gather*}

Використаймо основну логарифмічну тотожність:

\begin{gather*} a^{\log_a b}=b;\\[7pt] 5^{\log_5 4}\cdot 25=4\cdot 25=100. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 761. Запитання: 36552