ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

За \(220\ \text{грн}\) можна купити \(6\) шоколадок \((220 : 35 = 6\ \text{і}\ 10\ \text{грн остача}),\) а за кожні три шоколадки отримати по одній безкоштовно, це ще дві шоколадки \((6 : 3 = 2).\)

Отже, за \(220\ \text{грн}\) можна купити \(6\) шоколадок і ще дві шоколадки отримати безкоштовно, тобто разом \(8\) шоколадок.

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичних даних.

На графіках відображено залежність температури повітря від часу. Правильно відображено цю залженість на графіку Д.

Табличні дані показують п’ять фіксацій температури впродовж певного часу. Температура кожної фіксації почергово збільшувалася і зменшувалася, що графічно правильно відображено на графіку Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Перевіряє знання властивостей трапеції та її середньої лінії, вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1. \(MB\) – середня лінія трапеції. За властивістю середньої лінії $$ MN=\frac{AD+BC}{2}. $$

2. Отже, \begin{gather*} AD=2MN-BC=\\[7pt] =2\cdot 13-9=26-9=17\ (\text{см}). \end{gather*}

3. Проведемо \(CK\perp AD.\) Отримали \begin{gather*} BC=AK=9\ \text{см},\\[7pt] KD=AD-AK=17-9=8\ \text{см}. \end{gather*}

4. \(\Delta CKD\ (\angle K=90^\circ\) – прямокутний рівнобедрений \((\angle D=45^\circ).\) Отже, \begin{gather*} KD=CK=8\ \text{см}. \end{gather*}

5. \(ABCD\) – прямокутна трапеція, тому $$ AB=CK=8\ \text{см}. $$

Відповідь: 8.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Перевіряє знання формули n-го члена та властивостей геометричної прогресії.

За властивістю геометричної прогресії знаменник $$ q=\frac{b_4}{b_3}. $$ Отже, \begin{gather*} q=\frac 34:0,2=\frac 34:\frac 15=\\[6pt] = \frac 34\cdot 5=\frac{15}{4}=3\frac 34=3,75. \end{gather*}

Відповідь: 3,75.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Координати у просторі.

Перевіряє знання прямокутної системи координат у просторі, координати точки.

1. Точка на осі \(y\) має нульові координати \(x\) та \(z.\) Довжина відрізка \(BC\) – \(8\) одиниць, звідси серединою відрізка є точка з координатами \((0;\ 4;\ 0).\) Отже, 1 – Г.

2. Точки, що належить відрізку \(DD_1\) мають координати \(x=4;\ y=8\) (як у точки \(D_1).\) Точка, що належить відрізку \(DD_1\) і віддалена від точки \(D\) на \(4\) одиниці, має координати \((4;\ 8;\ 4).\) Отже, 2 – Д.

3. Точка \(C_1\) лежить в площині \(yz,\) тому має \(x=0.\) Координати \(y\) та \(z\) співпадають з координатами точки \(D_1.\) Отже, координати точки \(C_1(0;\ 8;\ 12).\) Отже, 3 – A.

Відповідь: 1Г, 2Д, 3А.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Перевіряє знання властивостей прямокутника, вміння знаходити довжини відрізків, градусні міри кутів, площі геометричних фігур.

1.

За теоремою Піфагора: \begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=(4\sqrt{6})^2+10^2=\\[7pt] =16\cdot 6+100=196.\\[7pt] AC=\sqrt{196}=14. \end{gather*} Отже, 1 – Г.

2.

\begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2=16+16\cdot 3=64\\[7pt] AC=8. \end{gather*} За властивістю прямокутника $$AC=BD,\ \ AO=BD=OC=OD=4.$$ Отже, \(\Delta ABO\) – рівносторонній \(\angle AOB=60^\circ.\)
Отже, 2 – Б.

3.

\begin{gather*} S=6\cdot 8=48. \end{gather*} Отже, 3 – B.

Відповідь: 1Г, 2Б, 3B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення числових виразів.

1. \begin{gather*} \frac{2a}{3}=\frac{2\cdot \frac{25}{4}}{3}=\frac{2\cdot 25}{4\cdot 3}=\\[6pt] =\frac{25}{6}=4\frac 16. \end{gather*} Отже, 1 – Г.

2. \begin{gather*} \frac 1a=\frac{1}{\frac{25}{4}}=\frac{4}{25}. \end{gather*} Отже, 2 – Б.

3. \begin{gather*} |9-2a|=|9-2\cdot \frac{25}{4}|=\\[6pt] =|9-\frac{25}{2}|=|9-12\frac 12|=\\[6pt] =|-3\frac 12|=3\frac 12. \end{gather*} Отже, 3 – B.

Відповідь: 1Г 2Б 3В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.

1. Графік є фрагментом графіка функції \(y=1-x.\) Отже, 1 – Б.

2. Графік функції двічі перетинає графік функції \(y = 2^x.\) Отже, 2 – А.

3. Функція зростає на проміжку \([0; 3].\) Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1Б, 2А, 3Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

$$ 4\cos^2 \alpha=1,\ \ \cos^2\alpha=\frac 14. $$

За основною тригонометричною тотожністю: \begin{gather*} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\\[7pt] \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac 14=\frac 34. \end{gather*} Отже, $$ 4\sin^2\alpha = 4\cdot \frac 34 = 3. $$

Відповідь: Г

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

Зведемо до однакової основи: \begin{gather*} 10^{x+1}\gt 10^{-2}. \end{gather*} Функція \(y=10^x\) – зростаюча, тому \begin{gather*} x+1\gt -2,\\[7pt] x\gt -3. \end{gather*} Отже, \(x\in (-3;\ +\infty).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Перевіряє вміння знаходити похідні функцій, знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу.

$$ f(x)=2x^3 – 5 $$

Похідна функції: \begin{gather*} f'(x)=3\cdot 2x^2=6x^2.\\[7pt] f'(-1)=6\cdot (-1)^2=6. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних та ірраціональних рівнянь.

\((16;\ -5)\) – розв'язок системи. Отже, \begin{gather*} x_0+y_0=16+(-5)=11. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Перевіряє знання формул для обчислення об'єму циліндра.

Об'єм циліндра $$ V=\pi R^2H, $$ Отже, $$ H=\frac{V}{\pi R^2}=\frac{72\pi}{\pi \cdot 3^2}=8. $$

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

При розв'язанні застосували властивості логарифмів:

Відповідь: Д.