Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 330

Математика. Всі запитання починаючи з 330

331332333334335336337338339340341342343344345 ▶

Завдання 331 з 2199

На рисунку зображено траєкторію руху автомобіля з пункту \(A\) до пункту \(B\), що складається з трьох прямолінійних ділянок \(AK\), \(KM\) та \(MB\). Визначте відстань \(d\) між пунктами \(A\) та \(B\), якщо \(AK=60\) км, \(KM=120\) км, \(MB=100\) км (вважайте, що зображені на рисунку відрізки лежать в одній площині).

Впишіть відповідь:

200

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми Піфагора, властивостей прямокутника.

\(MB = 100\) км, \(KM = 120\) км, \(AK = 60\) км. Додаткова побудова: \(BC\!\perp\!AK.\)

Отримали \(\Delta ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)), \(KC = MB = 100\) км,

\begin{gather*} AC = AK + KC = 60 + 100 = 160\ \text{км};\\[7pt] BC = MK = 120\ \text{км}. \end{gather*}

За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2 = d^2 = AC^2 + BC^2.\\[7pt] d^2 = 120^2 + 160^2 = 14400 + 25600 = 40000;\\[7pt] d = \sqrt{40000} = 200\ \text{км}. \end{gather*}

Відповідь: \(200.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 127. Запитання: 6342

Завдання 332 з 2199

Упродовж одного дня громадянин уклав з двома банками кредитні угоди на один рік: із першим банком під \(12\,\%\) річних, із другим – під \(15\,\%\) річних. Загальна сума грошей, отриманих за кредитними угодами, становить \(5\,000\) грн. Погашення кредитів здійснюється одноразовим внеском в останній день дії угод. Нарахована сума відсотків за користування кредитами становить \(654\) грн. Скільки грошей (у грн) узяв громадянин під більші відсотки?

Впишіть відповідь:

1800

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння та нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі.

Нехай громадянин узяв \(x\) грн під \(12\ \%\), а \(y\) грн під \(15\ \%.\)

Нарахована сума відсотків становить \(654\) грн, тому

\begin{gather*} 0{,}12x + 0{,}15y = 654. \end{gather*}

Всього отримано \(5000\) грн у двох банках, тому

\begin{gather*} x + y = 5000. \end{gather*}

Складемо систему рівнянь:

\begin{gather*} \begin{cases} 0{,}12x + 0{,}15y = 654, \\ x + y = 5000, \end{cases}\ \ \begin{cases} 12x + 15y = 65400, \\ x = 5000 - y. \end{cases} \end{gather*}

Підставимо значення \(x\) у перше рівняння

\begin{gather*} 12(5000 - y) + 15y = 65400;\\[7pt] 60000 - 12y + 15y = 65400;\\[7pt] 3y = 5400;\\[7pt] y = 1800. \end{gather*}

Громадянин узяв під більші відсотки (\(15\ \%\)) \(1800\) гривень.

Відповідь: \(1800.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 127. Запитання: 6343

Завдання 333 з 2199

Навколо правильної трикутної призми описано сферу радіуса \(6\) см. Радіус сфери, проведений до вершини призми, утворює з бічним ребром кут \(30^\circ.\) Визначте об'єм призми (у см\(^3\)).

Впишіть відповідь:

121.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей призми та кулі, формули об'єму призми, вміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв'язування стереометричних задач.

Дана призма \(ABCA_1B_1C_1\) – правильна призма, вписана у сферу. Отже, основи призми – правильні трикутники \(ABC\), \(A_1B_1C_1\) вписані у кола.

Точка \(O\) – центр сфери. Проведемо \(OO_1\!\perp\!(ABC)\), \(ON\!\perp\!BB_1.\)

Точка \(O_1\) – центр кола, описаного навколо \(\Delta ABC.\)

\(ONBO_1\) – прямокутник.

За умовою \(\angle OBN=30^\circ.\) Отже, \(\angle OBO_1=60^\circ.\) Точка \(N\) – середина ребра \(BB_1.\) \(OB=6\) см.

У \(\Delta OBO_1\ (\angle O_1=90^\circ)\),

\begin{gather*} O_1B=OB\cos 60^\circ=6\cdot \frac 12=3\ \text{см};\\[6pt] OO_1=OB\sin 60^\circ =6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta ABC\ O_1B=3\) см – радіус описаного кола, отже,

\begin{gather*} AB=R\sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \end{gather*} де \(a=AB\) – сторона правильного трикутника.

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2;\\[6pt] BB_1=2OO_1=6\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=S_\text{осн.}\cdot H,\ \text{де}\\[6pt] S_\text{осн.}=S_{ABC}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2;\\[6pt] H=BB_1=6\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=\frac{27\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}{4}=\frac{243}{2}=121{,}5\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(121{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 127. Запитання: 6344

Завдання 334 з 2199

Знайдіть усі значення параметра \(a\), при яких добуток коренів рівняння

\(\log^2_2x-(2a^2-a)\log_2x+1-2a=0\) дорівнює \(8\).

Якщо таке значення \(a\) єдине, то запишіть його у відповідь. Якщо таких значень більше одного, то у відповіді запишіть найменше з них.

Впишіть відповідь:

1.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння з параметрами.

Знайдемо ОДЗ: \(x \gt 0\).

Зробимо заміну \(\log_2 x = t\). Отримаємо:

\begin{gather*} t^2 - (2a^2 - a)t + 1 - 2a = 0. \end{gather*}

Якщо \(x_1\), \(x_2\) – корені рівняння та \(x_1 \cdot x_2 = 8\), то прологарифмуємо обидві частини рівняння за основою \(2.\)

\begin{gather*} x_1x_2 = 8;\\[7pt] \log_2(x_1x_2) = \log_2 8;\\[7pt] \log_2 x_1 + \log_2 x_2 = 3.\\[7pt] t_1 = \log_2 x_1,\ \ t_2 = \log_2 x_2\ \text{– корені рівняння.}\\[7pt] t_1 + t_2 = 3. \end{gather*}

Але корені \(t_1\) та \(t_2\) повинні існувати, а це виконується за умови

\begin{gather*} D = (2a^2 - a)^2 - 4(1 - 2a) \ge 0.\\[7pt] D = (2a - 1)(2a^3 - a^2 + 4) \ge 0. \end{gather*}

За теоремою Вієта сума коренів \(t_1 + t_2 = 2a^2 - a = 3.\)

\begin{gather*} 2a^2 - a - 3 = 0;\\[7pt] D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25;\\[6pt] a_1 = \frac{1 + 5}{4} = 1{,}5;\\[6pt] a_2 = \frac{1 - 5}{4} = -1. \end{gather*}

Перевіримо, при яких значеннях \(a\) дискримінант буде невід’ємним:

При \(a = -1\)

\begin{gather*} D = (-2 - 1)(-2 - 1 + 4) = -3 \lt 0\ \text{коренів немає.} \end{gather*}

При \(a = 1{,}5\)

\begin{gather*} D = (3 - 1)\left(2 \cdot \frac{27}{8} - \frac{9}{4} + 4\right) = 2 \cdot 8{,}5 = 17 \gt 0. \end{gather*}

Отже, при \(a = 1{,}5\) рівняння має корені, добуток яких дорівнює \(8\).

Відповідь: \(1{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 127. Запитання: 6345

Завдання 335 з 2199

Яку з наведених цифр потрібно поставити замість зірочки в записі числа \(257\ast\), щоб отримане число ділилося націло на \(3\)?

А\(2\)

Б\(3\)

В\(6\)

Г\(7\)

Д\(9\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).

Це завдання перевіряє знання ознаки подільності на \(3.\)

На \(3\) ділиться число, сума цифр якого ділиться на три.

Отже,

\begin{gather*} 2 + 5 + 7 + * = 14 + * \end{gather*}

повинно ділитися на три.

З наведених цифр потрібно поставити \(7{:}\)

\begin{gather*} 14 + 7 = 21 : 3. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6346

Завдання 336 з 2199

Прямі \(a\), \(b\), \(c\) попарно перетинаються в точках \(A\), \(B\), \(C\) (див. рисунок). За даними, вказаними на рисунку, знайдіть градусну міру кута \(ABC\).

А\(70^\circ\)

Б\(80^\circ\)

В\(140^\circ\)

Г\(100^\circ\)

Д\(40^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Найпростіші геометричні фігури на площині.

Це завдання перевіряє знання суміжних та вертикальних кутів, теореми про суму кутів трикутника.

Кут \(30^\circ\) та \(\angle BCA\) – вертикальні, отже, рівні. Зовнішній кут трикутника \(110^\circ\) дорівнює сумі внутрішніх кутів, не суміжних з даним.

\begin{gather*} \angle B = 110^\circ – 30^\circ = 80^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6347

Завдання 337 з 2199

Обчисліть \(\dfrac{\dfrac{2}{3}}{4}+0{,}5\).

А\(\dfrac{2}{3}\)

Б\(\dfrac{19}{6}\)

В\(\dfrac{9}{5}\)

Г\(\dfrac{3}{8}\)

Д\(\dfrac{1}{4}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з раціональними числами.

\begin{gather*} \dfrac{\dfrac 23}{4} + 0,5 = \frac{2}{3} : 4 + \frac{1}{2} = \frac{2\cdot 1}{3\cdot 4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6348

Завдання 338 з 2199

Укажіть хибне твердження.

АЯкщо в чотирикутнику кожна сторона дорівнює протилежній стороні, то такий чотирикутник – паралелограм.

БЯкщо всі кути чотирикутника рівні, то такий чотирикутник – прямокутник.

ВДіагоналі прямокутника рівні.

ГДіагоналі прямокутника є бісектрисами його кутів.

ДДіагоналі ромба взаємно перпендикулярні.

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Це завдання перевіряє знання властивостей паралелограмів.

Хибне твердження: діагоналі прямокутника є бісектрисами його кутів.

Усі інші твердження – правильні.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6349

Завдання 339 з 2199

Розв’яжіть нерівність \(-\dfrac{x}{5}\gt5\).

А\((-\infty;-25)\)

Б\((-\infty;-1)\)

В\((-\infty;25)\)

Г\((-1;+\infty)\)

Д\((-25;+\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} -\frac{x}{5} \gt 5\ \Big |\cdot 5;\\[6pt] -x \gt 25;\\[7pt] x \lt -25;\\[7pt] x \in (-\infty; -25). \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6350

Завдання 340 з 2199

На рисунку зображено вектори \(\vec a\) і \(\vec b\). Який із наведених векторів дорівнює вектору \(\vec a + \vec b\)?

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з векторами.

Суму векторів \(\vec{a} + \vec{b}\) знаходимо за правилом паралелограма.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6351

Завдання 341 з 2199

Яке з наведених чисел є ірраціональним числом?

А\(\sqrt{0{,}64}\)

Б\(\sqrt{20}\)

В\(\pi^0\)

Г\(\sqrt[\scriptstyle 3]8\)

Д\(2{,}7\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення числових виразів.

\(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8.\)

\(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) – ірраціональне число.

\(\pi^0 = 1.\)

\(\sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2.\)

\(2{,}7.\)

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6352

Завдання 342 з 2199

На рисунку зображено три фігури з номерами \(1\), \(2\), \(3\). Серед цих фігур укажіть розгортки куба.

Алише фігура \(3\)

Блише фігури \(1\) і \(2\)

Влише фігури \(1\) і \(3\)

Глише фігури \(2\) і \(3\)

Дфігури \(1\), \(2\) і \(3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості многогранників за їх розгорткою.

На рисунку фігури з номерами \(2\) і \(3\) є розгортками куба.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6353

Завдання 343 з 2199

Обчисліть \(\dfrac{3^5\cdot5^4}{15^3}\).

А\(9\)

Б\(15\)

В\(45\)

Г\(75\)

Д\(225\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення степеневих виразів.

\begin{gather*} \frac{3^5 \cdot 5^4}{15^3} = \frac{3^5 \cdot 5^4}{(3 \cdot 5)^3} = \frac{3^5 \cdot 5^4}{3^3 \cdot 5^3} = 3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6354

Завдання 344 з 2199

Серед наведених функцій укажіть функцію, область визначення якої збігається з її областю значень.

А\(y=x^2\)

Б\(y=\operatorname{tg}x\)

В\(y=3\)

Г\(y=\sin x\)

Д\(y=\sqrt x\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функцій заданих формулою.

\(y = x^2.\ D(y) = R\), \(E(y) = [0; +\infty).\)

\(y = \mathrm{tg}\ x^2.\ D(y) = R \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + \pi n\right\}\ n \in Z\), \(E(y) = R.\)

\(y = 3.\ D(y) = R\), \(E(y) = \{3\}.\)

\(y = \sin x.\ D(y) = R\), \(E(y) = [-1; 1].\)

\(y = \sqrt{x}.\ D(y) = [0; +\infty)\), \(E(y) = [0; +\infty).\)

\(D(y) = E(y)\) для функції \(y = \sqrt{x}.\)

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6355

Завдання 345 з 2199

Чотирикутник \(ABCD\) описаний навколо кола. \(AB=12\) см, \(BC=8\) см, \(CD=18\) см. Знайдіть довжину сторони \(AD\).

А\(2\) см

Б\(12\) см

В\(14\) см

Г\(20\) см

Д\(22\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей вписаних та описаних чотирикутників.

У чотирикутник можна вписати коло, якщо сума протилежних сторін рівна.

Отже, для чотирикутника \(ABCD\)

\begin{gather*} AB + CD = BC + AD;\\[7pt] 12 + 18 = 8 + AD;\\[7pt] 30 = 8 + AD;\\[7pt] AD = 22\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6356