Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку знання означення степеня з натуральним показником.

Спростимо вираз:

Використали властивості степенів: $$ (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\ \text{та}\ a^m:a^n=a^{m-n} $$

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення виразів.

З формули \(T=2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC}\) визначимо \(L\). \begin{gather*} T^2=(2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}\sqrt{LC})^2,\\[7pt] T^2=4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^2LC,\\[6pt] L=\frac{T^2}{4\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}^2C}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, вміння виконувати тотожні перетворення виразів.

Спростимо вираз:

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку розуміння змісту поняття екстремуму функції, знання геометричного змісту похідної.

На рисунку функція зростає при \(x \in [-2;-1]\), а спадає – при \(x\in [-1;4]\). Отже, \(x_0=-1\) – точка максимуму цієї функції (точка екстремуму).

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати означення та властивості трапеції.

І спосіб:
\(\angle ADB=\angle CBD=35^\circ\) як внутрішні різносторонні при \(BC\ ||\ AD\) та січної \(BD\). $$ \triangle BCD\ \angle B+\angle C+\angle D=180^\circ, $$ отже $$ \angle C=180^\circ - (20^\circ+35^\circ)=125^\circ. $$

ІІ спосіб:

За властивістю трапеції

Відповідь: A.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння першого степеня.

\begin{gather*} \frac{x}{10}=2,5;\\[6pt] x=2,5\cdot 10=25. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання про многогранники та їх основні елементи.

\begin{gather*} AA_1=BB_1=CC_1=DD_1\\[7pt] AB=CD=C_1D_1=A_1B_1\\[7pt] AD=BC=B_1C_1=A_1D_1. \end{gather*} Сума усіх ребер дорівнює $$ 4(AA_1+AB+AD)=4\cdot 60=240\ (\text{см}) $$

Відповідь: Б.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати дані, подані графіком або таблицею.

А неправильно, бо зупинка тривала 1 годину, а не 4.

Б неправильно, бо туристи не пройшли 20 км.

В неправильно, бо туристи пройшли до зупинки більшу відстань, ніж після зупинки.

Г правильна відповідь. Туристи зробили зупинку через 4 години.

Відповідь: Г.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Вартість вхідного квитка в заповідник становить 20 грн для школяра й 50 грн – для дорослого. Отже, за вхідні квитки для групи з 15 школярів та 3 дорослих необхідно $$ 20\cdot 15+3\cdot 50=300+150=450\ (\text{грн}) $$

Для провдення екскурсії необхідно орендувати автобус за 800 грн.

Отже, мінімальна сума грошей для проведення екскурсії: $$ 450+800=1250\ (\text{грн}) $$

Відповідь: B.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні та показникові рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

1. Розв'яжемо показникове рівняння:

\begin{gather*} 3^{x+1}+3^{x+3}-10=0,\\[7pt] 3^x\cdot 3^1+3^x\cdot 3^3-10=0,\\[7pt] 3\cdot 3^x+27\cdot 3^x-10=0,\\[7pt] 30\cdot 3^x=10,\\[6pt] 3^x=\frac 13,\\[6pt] 3^x=3^{-1},\\[7pt] x=-1. \end{gather*}

2. \((3^{x+1}+3^{x+3}-10)\cdot (\sqrt{x^2+a}-\sqrt{3a-6-x^2})=0.\) \begin{gather*} \left[\begin{array}{l} 3^{x+1}+3^{x+3}-10=0,\\ \sqrt{x^2+a}-\sqrt{3a-6-x^2}=0, \end{array}\right. \\[7pt] \ \ \left[\begin{array}{l} x_1=-1,\\ \sqrt{x^2+a}=\sqrt{3a-6-x^2}. \end{array}\right. \end{gather*}

ОДЗ: \(3a-6-x^2\ge 0.\)

\(x_1=-1\) буде коренем рівняння, якщо буде належати ОДЗ.

\begin{gather*} 3a-6-(-1)^2\ge 0,\\[7pt] 3a-6-1\ge 0,\\[7pt] 3a\ge 7,\\[6pt] a\ge 2\frac 13. \end{gather*}

Розв'яжемо друге рівняння:

\begin{gather*} \sqrt{x^2+a}=\sqrt{3a-6-x^2},\\[7pt] x^2+a=3a-6-x^2,\\[7pt] 2x^2=3a-6-a,\\[7pt] 2x^2=2a-6,\\[7pt] x^2=a-x. \end{gather*}

Рівняння має корені, якщо \(a-3\ge 0\), \(a\ge 3.\)

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} x_2=\sqrt{a-3},\\ x_3=-\sqrt{a-3}. \end{array}\right. \end{gather*}

Розглянемо параметричну пряму

при \(a=3\ \ x_2=x_3=0.\)

Відповідь: 1. \(x=-1\)

                   2. якщо \(a\in \left(-\infty; 2\frac 12\right)\), то \(x\in\varnothing\)
                       якщо \(a\in \left[2\frac 13; 3\right)\), то \(x=-1\)
                       якщо \(a\in [3; +\infty)\), то \(x\in\{-1; \sqrt{a-3}; -\sqrt{a-3}\}.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння будувати перерізи призми, знання теореми про три перпендикуляри, кута між прямою та площиною, вміння розв’язувати стереометричні задачі.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – прямокутний паралелепіпед, \(ABCD\) – прямокутник, бічні ребра – висоти паралелепіпеда, \(CC_1D_1D\) – квадрат, \(B_1C=8\) – діагональ бічної грані.

1. Точка \(C_2\) – середина ребра \(CC_1.\)

Побудуємо переріз площиною \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) через \(AD\) та точку \(C_2.\) \((AA_1D_1D)\ ||\ (BB_1C_1C)\) як протилежні грані паралелепіпеда. За властивістю паралельних площин, \(\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) перетинає паралельні площини по паралельних прямих.

Побудуємо \(B_2C_2\ ||\ BC(BB_1C).\) $$ \left.\begin{array}{l} \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\cap (DD_1C_1)=DC_2\\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\cap (AA_1B_1)=AB_2 \end{array}\right| \rightarrow AB_2C_2D - \text{шуканий переріз}. $$

2. Перший спосіб.
\(AB_2C_2D\) – паралелограм. \(AD=B_2C_2\), \(AD\ ||\ B_2C_2\) – ознака паралелограма.
\(C_2C\perp (ABC)\), \(C_2D\) – похила, \(CD\) – проекція похилої.
\(AD\perp DC\) (сторони прямокутника), тому \(C_2D\perp AD\) за теоремою про три перпенидкуляри.
Отже, в паралелограмі \(AB_2C_2D\ \angle D=90^\circ\), тому \(AB_2C_2D\) – прямокутник.

Другий спосіб.
У прямокутнику \(ABCD\) діагоналі \(AC=BD\) (за властивістю прямокутника). $$ \left.\begin{array}{l} B_2B\perp (ABC)\\ C_2C\perp (ABC) \end{array}\right| \rightarrow \left.\begin{array}{l} B_2D,\ \ C_2A - \text{похилі}.\\ BD,\ \ CA - \text{проекції похилих}. \end{array}\right. $$ За властивістю: рівним проекціям відповідають рівні похилі, \(B_2D=C_2A.\)
Отже, у прямокутнику \(AB_2C_2D\) рівні діагоналі. За ознакою прямокутника доводимо, що \(AB_2C_2D\) – прямокутник.

3. \(B_1C_1\perp (DCC_1)\)
\(B_1C\) – похила до площини \((DCC_1)\)
\(CC_1\) – проекція похилої.
За означенням кута між прямою та площиною

\begin{gather*} \angle(B_1C,\ (DCC_1))=\angle B_1CC_1=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\\[6pt] \Delta B_1C_1C\ (\angle C=90^\circ)\ \ B_1C_1=B_1C\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=8\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\\[7pt] CC_1=B_1C\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=8\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\\[6pt] C_2C=\frac 12CC_1=4\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. \end{gather*}

У \(\Delta C_2CD\ (\angle C=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} DC_2=\sqrt{CC_2^2+DC^2}=\sqrt{16\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}+64\cos^2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}}=4\sqrt{5}\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\\[7pt] DC=CC_1=8\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\ (DD_1C_1C - \text{квадрат}).\\[7pt] AD=B_2C_2=8\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\\[7pt] S_{AB_2C_2D}=AD\cdot DC_2=8\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\cdot 4\sqrt{5}\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=32\sqrt{5}\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}=16\sqrt{5}\sin2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}. \end{gather*}

Відповідь: \(16\sqrt{5}\sin2\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\alpha}.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійної та тригонометричної функцій, розв’язувати тригонометричні рівняння, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуємо графіки функцій

\(f(x)=\frac 12\) – пряма

\(g(x)=\sin x\) – синусоїда, \(x\in\left[-\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}; \frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{2}\right].\)

3. Спільна точка графіків функцій \(f\) та \(g\) є точка \(A\left(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{6}; \frac 12\right).\)

4. Множина всіх коренів \(f(x)=g(x)\) на інтервалі \((-\infty; +\infty)\) \begin{gather*} \sin x=\frac 12;\\[6pt] x=(-1)^n\mathrm{arcsin}\ \frac 12+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}n,\ n\in Z;\\[6pt] x=(-1)^n\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{6}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}n, n\in Z. \end{gather*}

Відповідь: 3. \(\left(\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{6};\frac 12\right).\)
                   4. \((-1)^n\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}}{6}+\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\pi}n, n\in Z.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості рівнобедреного трикутника, знаходити площу трикутника.

Накреслимо трикутник \(ABC. AB=BC.\) Отже, точка \(B\) має абсцису \(-1.\) \((AC=10).\) Нехай координати точки \(B(-1; y).\)

Точка \(B\) лежить на прямій \(y=2x+9,\) тому \(y=2(-1)+9=7,\) \(B(-1; 7).\) \(BK\perp AC.\) \(BK=15\) висота та медіана.

\begin{gather*} S_{ABC}=\frac 12AC\cdot BK=\frac 12\cdot 10\cdot 15=75. \end{gather*}

Відповідь: \(75.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв‘язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.

На місце водія є \(2\) можливості посадити водія. Решта копанії розсядуться довільно. Кількість варіантів розсадити на пасажирські місця знаходимо за формулою: \begin{gather*} P(n)=n!,\\[7pt] P(5)=5!=120. \end{gather*}

Усього способів зайняти місця $$ 120\cdot 2=240. $$

Відповідь: \(240.\)