Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 345

Математика. Всі запитання починаючи з 345

346347348349350351352353354355356357358359360 ▶

Завдання 346 з 2045

Спростіть вираз $p^2\cdot \left(\sqrt[3]{p^6}\right)^4.$

А$p^{16}$

Б$p^{14}$

В$p^{10}$

Г$p^{8}$

Д$p^{12}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів та коренів, дії з ними.

\begin{gather*} p^2\cdot (\sqrt[3]{p^6})^4=p^2\cdot \left(p^{\frac 63}\right)^4=p^2\cdot (p^2)^4=p^2\cdot p^8=p^{10}. \end{gather*}

Застосуймо властивості степенів:

\begin{gather*} a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m},\\[7pt] (a^x)^y=a^{xy},\\[7pt] a^x\cdot a^y=a^{x+y}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35775

Завдання 347 з 2045

На рисунку зображено чотирикутну піраміду $SABCD.$ Скільки прямих, перпендикулярних до висоти $SO$, лежать у площині основи $ABCD$?

Ажодної

Блише одна

Влише дві

Глише три

Дбезліч

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку знання взаємного розміщення прямих і площин у просторі, властивостей піраміди.

Висота піраміди $SO$ перпендикулярна до основи $ABCD.$ За властивістю перпендикулярності прямої і площини, якщо $SO\ \perp\ (ABC)$, то $SO$ перпендикулярна до будь-якої прямої в площині $(ABC)$, а площина $(ABC)$ містить безліч прямих.

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35774

Завдання 348 з 2045

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на відрізку $[-3; 5].$ Позначте $x_0$, для якого $f(x_0)$ є від'ємним числом.

А$x_0=-2$

Б$x_0=-1$

В$x_0=5$

Г$x_0=4$

Д$x_0=3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на вміння визначати властивості числових функцій, заданих графіком.

За $x_0=-2$, $x_0=-1$, $x_0=5$ та $x_0=4$ функція набуває додатного значення.

І лише за $x_0=3$ від'ємного: $f(3)=-1.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35773

Завдання 349 з 2045

Сирні кульки фасують по $4$ штуки в коробку. Яке з наведених чисел може бути загальною кількістю виготовлених кульок, щоб всі вони були повністю розфасовані по таких коробках?

А$102$

Б$106$

В$112$

Г$123$

Д$134$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Текстові задачі.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати ознаки подільності чисел, розв’язувати текстові задачі.

Сирні кульки фасують по $4$ штуки в коробку. Щоб усі вони були повністю розфасовані по таких коробках, кількість кульок повинна бути кратна $4.$

З наведених варіантів чисел – це $112.$

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35772

Завдання 350 з 2045

Довжина сторони ромба $ABCD$ – ціле число. Якому числу може дорівнювати периметр ромба?

А$38$

Б$42$

В$56$

Г$65$

Д$82$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знань властивостей ромба та його елементів.

Ромб – це чотирикутник, у якого всі сторони рівні.

Периметр ромба – це сума довжин усіх його сторін:

\begin{gather*} P=4a. \end{gather*}

За умовою, довжина сторони $(a)$ є цілим числом (наприклад $1$, $2$, $3$, $4\ \text{...}$). Тому, периметр $(P)$ буде завжди добутком цілого числа на $4$, що дає числа, які кратні $4{:}$

\begin{gather*} 4\cdot 1=4,\\[7pt] 4\cdot 2=8,\\[7pt] 4\cdot 3=12\ \text{і так далі}. \end{gather*}

З запропонованих чисел лише $56$ – кратне $4.$

Відповідь: В.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35771

Завдання 351 з 2045

На рисунку зображено ескіз емблеми. Емблема має форму кола із центром у точці $O.$ Визначте градусну міру кута $AOB$, якщо точки $A$, $B$, $C$ поділяють коло на три рівні частини.

А$180^\circ$

Б$100^\circ$

В$60^\circ$

Г$120^\circ$

Д$135^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знань про коло та його елементи.

Якщо точки $A$, $B$, $C$ поділяють коло на три рівні частини, то

\begin{gather*} \angle AOC+\angle COB+\angle AOB=360^\circ. \end{gather*}

Звідси

$$ \angle AOB=360^\circ : 3=120^\circ. $$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35770

Завдання 352 з 2045

На рисунку відображено зміну густини (у мкг/м$^3$) дрібнодисперсного пилу в повітрі протягом доби в певному районі міста. Упродовж скількох годин густина такого пилу в повітрі перевищувала допустимий середньодобовий рівень, що становить $25$ мкг/м$^3$?

А$3$

Б$6$

В$12$

Г$8$

Д$10$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Вибіркові характеристики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і текстовій формі.

\begin{gather*} 18-12=6\ \text{год}. \end{gather*} Отже, густина пилу перевищувала рівень $25$ мкг/м$^3$ протягом $6$ годин.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 702. Запитання: 35769

Завдання 353 з 2045

За якого найбільшого значення $a$ рівняння \begin{gather*} 3^x+(4a^2+10a)\cdot 3^{-x}=4a+5 \end{gather*} не має коренів?

Впишіть відповідь:

-2.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Показникові. Раціональні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові та квадратні рівняння, рівняння з параметром.

Замінімо змінну. Нехай $3^x=t.$ Оскільки показникова функція завжди набуває лише додатних значень: $t\gt 0.$ Рівняння набуває вигляду:

\begin{gather*} t+\frac{4a^2+10a}{t}=4a+5. \end{gather*}

Помножмо все на $t\ (t\ne 0){:}$

\begin{gather*} t^2-(4a+5)t+(4a^2+10a)=0,\\[7pt] D=(4a+5)^2-4\cdot 1\cdot (4a^2+10a)=16a^2+40a+25-16a^2-40a=25,\\[7pt] \sqrt{D}=\sqrt{25}=5. \end{gather*}

Оскільки $D\gt 0$, маємо два корені:

\begin{gather*} t_1=\frac{(4a+5)+5}{2}=\frac{4a+10}{2}=\frac{2(2a+5)}{2}=2a+5,\\[6pt] t_2=\frac{(4a+5)-5}{2}=\frac{4a}{2}=2a. \end{gather*}

Щоб рівняння не мало коренів, необхідно, щоб $t_1\le 0$ i $t_2\le 0{:}$

\begin{gather*} 1.\ 2a+5\le 0,\\[7pt] 2a\le -5,\\[7pt] a\le -2{,}5.\\[7pt] 2.\ 2a\le 0,\\[7pt] a\le 0. \end{gather*}

Спільна умова: $a\le -2{,}5.$

Найбільше значення $a$ з проміжку $(-\infty; -2{,}5]$ це $-2{,}5.$

Відповідь: $-2{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35446

Завдання 354 з 2045

Основою прямої призми є ромб із гострим кутом $60^\circ.$ Площа більшого діагонального перерізу призми дорівнює $240\sqrt{3}.$ Обчисліть об’єм призми, якщо її висота дорівнює $8\sqrt{3}.$

Впишіть відповідь:

3600

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини ву просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення об’єму призми.

1. Визначмо більшу діагональ основи $(AC).$

Діагональний переріз прямої призми – це прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми $(H=AA_1=8\sqrt{3}).$ Оскільки переріз більший, він проходить через більшу діагональ ромба $(AC).$

Формула площі перерізу: $S_{AA_1C_1C}=AC\cdot AA_1.$

Звідси визначмо більшу діагональ:

\begin{gather*} AC=\frac{S_{AA_1C_1C}}{AA_1}=\frac{240\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=30. \end{gather*}

2. Визначмо меншу діагональ ромба $(BD).$

У ромбі з гострим кутом $60^\circ$ діагоналі розбивають його на чотири прямокутні трикутники, або менша діагональ ділить ромб на два рівносторонні трикутники. Сторона ромба дорівнює меншій діагоналі $CD=BD$ (бо трикутник $\Delta BCD$ рівносторонній). Визначмо сторону $CD$ ромба:

\begin{gather*} CO=AC:2=30:2=15,\\[6pt] \Delta COD{:}\ \cos 30^\circ=\frac{CO}{CD},\\[6pt] CD=\frac{CO}{\cos\ 30^\circ}=\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{15\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}. \end{gather*}

3. Обчислімо площу основи $(S_\text{осн}).$

Обчислімо площу ромба через його діагоналі: \begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2, \end{gather*} $d_1$, $d_2$ – діагоналі ромба.

\begin{gather*} S_\text{осн}=AC\cdot BD=30\cdot 10\sqrt{3}=150\sqrt{3}. \end{gather*}

4. Обчислімо об'єм $(V)$ призми за формулою:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H,\\[7pt] V=150\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}=150\cdot 8\cdot 3=3600. \end{gather*}

Відповідь: $3600.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35445

Завдання 355 з 2045

У квітковому магазині є $12$ білих та $25$ червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Впишіть відповідь:

1650

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу комбінацій:

\begin{gather*} C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}, \end{gather*}

оскільки порядок вибору квітів у букеті не має значення.

\begin{gather*} 1\cdot 2\cdot 3\cdot\ \text{...}\ \cdot n=n! \end{gather*}

Виберімо $2$ білі троянди з $12$ наявних.

Використаймо формулу:

\begin{gather*} C_{12}^2=\frac{12!}{2!\cdot (12-2)!}=\frac{12!}{2!\cdot 10!}=\frac{11\cdot 12}{2}=66\ \text{варіантів}. \end{gather*}

Виберімо $1$ червону троянду з $25$ наявних.

Тут усе просто: вибрати $1$ об’єкт із $25$ можна $25$ способами: \begin{gather*} C_{25}^1=25. \end{gather*}

Оскільки нам треба вибрати $2$ білі й $1$ червону троянду одночасно, кількість варіантів такого вибору визначмо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} C_{12}^2\cdot C_{25}^1=66\cdot 25=1650. \end{gather*}

Відповідь: $1650.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35444

Завдання 356 з 2045

Задано функцію \begin{gather*} f(x)=\left\{\begin{array}{l} 30, x\lt -2,\\ 2x^4+x,\ x\ge -2. \end{array}\right. \end{gather*} Обчисліть значення виразу $f(-3)-f'(2).$

Впишіть відповідь:

-35

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність. Похідна функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою, похідну функції, числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргумента.

\begin{gather*} f(x)=\left\{\begin{array}{l} 30,\ \text{якщо}\ x\lt -2, \\ 2x^4+x,\ \text{якщо}\ x\ge -2. \end{array}\right. \end{gather*}

Якщо $x\lt -2,\ f(x)=30.$ Отже, $f(-3)=30.$

Якщо $x\ge -2,\ f(x)=2x^4+x.$

\begin{gather*} f'(x)=2\cdot 4x^3+1=8x^3+1,\\[7pt] f'(2)=8\cdot 2^3+1=64+1=65. \end{gather*}

Обчислимо

\begin{gather*} f(-3)-f'(2)=30-65=-35. \end{gather*}

Відповідь: $-35.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35443

Завдання 357 з 2045

На рисунку зображено прямокутну трапецію $ABCD.$ Точка $O$ – середина діагоналі $AC$, $AB=BC$, $AC=40$ см, $CD=24$ см. Узгодьте відрізок (1–3) із його довжиною (А – Д).

Відрізок

1$AO$

2$AD$

3$AB$

Довжина (см) відрізка

А$20$

Б$16$

В$25$

Г$27$

Д$32$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трапеції, трикутників, уміння застосовувати теорему косинусів.

1. Оскільки точка $O$ – середина діагоналі $AC$, то

\begin{gather*} AO=\frac 12AC,\\[7pt] AO=40:2=20\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 1 – А.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник $\Delta ACD\ (\angle D=90^\circ).$ За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2+CD^2=AC^2,\\[7pt] AD^2=40^2-24^2=1600-576=1024,\\[7pt] AD=\sqrt{1024}=32\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – Д.

Нехай $BC=x.$

Оскільки $AB=BC$, то $AB=x.$

Проведімо висоту з точки $B$ на основу $AD.$ Нехай це буде $BK$. У прямокутній трапеції висота $BK=CD=24$ см. Відрізок $AK=AD-KD.$

Оскільки $BCDK$ – прямокутник, то $KD=BC=x.$ Отже, $AK=32-x.$

У прямокутному трикутнику $\Delta ABK$ за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+BK^2,\\[7pt] x^2=(32-x)^2+24^2,\\[7pt] x^2=1024-64x+x^2+576,\\[7pt] 64x=1600,\\[7pt] x=25\ \text{см},\\[7pt] AB=25\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – A, 2 – Д, 3 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35442

Завдання 358 з 2045

Узгодьте вираз (1–3) із його значенням (А – Д), якщо $m=-\frac 43.$

Вираз

1$|m-4|$

2$4m^{-1}$

3$(3m+1)^0$

Значення виразу

А$-3$

Б$1$

В$0$

Г$3$

Д$\frac{16}{3}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє знання властивостей степеня із цілим показником, уміння використовувати властивості модуля числа.

1. За означенням модуля числа:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] \left|-\frac 43-4\right|= \left|-\frac 43-\frac{12}{3}\right|= \left|-\frac{16}{3}\right|=\frac{16}{3}. \end{gather*}

Отже, 1 – Д.

2. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

Тобто

\begin{gather*} 4\cdot \left(-\frac 43\right)^{-1}=4\cdot \left(-\frac 34\right)=-3. \end{gather*}

Отже, 2 – A.

3. Щоб розв'язати це завдання, достатньо скористатися формулою:

\begin{gather*} a^0=1,\ \text{де}\ a\ne 0,\\[7pt] \left(3\cdot \left(-\frac 43\right)+1\right)^0=1. \end{gather*}

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35441

Завдання 359 з 2045

Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Функція $y=\log_{0{,}5}x$

2Функція $y=\sin x$

3Функція $y=\frac{1}{2x-2}$

Закінчення речення

Ане визначена в точці $x=1.$

Бнабуває від’ємного значення в точці $x=2.$

Вє непарною.

Гмає лише одну точку екстремуму.

Дзростає на проміжку $(0; +\infty).$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуймо задані графіки функцій.

1. $y=\log_{0{,}5}x$ набуває від’ємного значення в точці $x=2.$ \begin{gather*} \log_{0{,}5} 2=\log_{2^{-1}} 2=-1\cdot \log_2 2=-1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. $y=\sin x$ непарна функція.

Функція $y=\sin x$ є непарною, бо для неї виконується рівність $\sin (-x)=\sin (x)$, її графік є симетричним відносно початку координат. Отже, правильна відповідь – В.

3. $y=\frac{1}{2x-2}$ не визначена в точці $x=1$, бо \begin{gather*} 2x-2\ne 0,\\[7pt] 2x\ne 2,\\[7pt] x\ne 1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35440

Завдання 360 з 2045

На колі вибрано точки $A$, $B$ і $C$ так, що $\angle ACB=30^\circ$ (див. рисунок). Визначте довжину (см) цього кола, якщо довжина меншої дуги $AB$ дорівнює $25$ см.

А$150$

Б$300$

В$250$

Г$200$

Д$360$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей вписаного та центрального кутів, уміння визначати довжину дуги кола.

Точка $O$ – центр кола. За властивістю вписаного кута \begin{gather*} \angle ACB=\frac 12\angle AOB, \end{gather*} $O$ – центр кола. Вписаний кут у колі дорівнює половині дуги, на яку він спирається, або половині відповідного центрального кута.

\begin{gather*} \angle AOB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 30^\circ=60^\circ. \end{gather*}

Градусна міра дуги $AB$ дорівнює $60^\circ.$ За формулою довжини дуги

\begin{gather*} l=\frac{L}{360^\circ}\cdot n, \end{gather*}

де $L$ – довжина кола, $n$ – градусна міра центрального кута (градусна міра дуги).

Тобто

\begin{gather*} 25=\frac{L\cdot 60^\circ}{360^\circ},\\[6pt] 25=\frac L6,\\[6pt] L=25\cdot 6=150\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 712. Запитання: 35439

Facebook

Twitter