ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей медіани трикутника.

I. Твердження правильне. \(BM = MC.\) За означенням, медіана трикутника – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Оскільки \(AM\) – медіана, то точка \(M\) є серединою сторони \(BC.\) Отже, \(BM = MC.\)

II. Твердження неправильне. \(\angle BAM=\angle MAC.\) Ця рівність означала б, що \(AM\) є бісектрисою. У довільному трикутнику медіана не обов'язково ділить кут навпіл. Вони збігаються лише в рівнобедреному трикутнику, якщо проведені до основи, або в рівносторонньому трикутнику.

III. Твердження правильне. Площа трикутника \(ABM\) дорівнює площі трикутника \(MCA.\) Це важлива властивість: медіана ділить трикутник на два рівновеликі (однакові за площею) трикутники.

Основи цих трикутників рівні \((BM = MC)\), а проведена з вершини \(A\) висота спільна. Тож, за формулою \begin{gather*} S=\frac 12a\cdot h_a, \end{gather*} їхні площі рівні.

Отже, правильними є твердження I та III.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямокутна система координат у просторі.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Оскільки точка \(N\) належить осі \(Oy\) прямокутної системи координат у просторі й розташована вище від початку координат – точки \(O(0; 0; 0)\) (див. рисунок), то її координати \(x\) і \(z\) дорівнюють нулю, а координата \(y\) є додатною: \(N(0; y_N; 0).\)

З-поміж наведених цю умову задовольняє лише варіант відповіді Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні нерівності.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати нерівності другого степеня, наведені у вигляді добутку лінійних множників.

Визначмо корені рівняння, прирівнявши ліву частину до нуля: \((x+3)(x-2)=0.\)

Звідси:
1) \(x+3=0\Rightarrow x=-3;\)
2) \(x-2=0\Rightarrow x=2.\)

Визначмо знаки виразу \((x+3)(x-2)\) на кожному з отриманих проміжків за допомогою методу інтервалів (див. рисунок).

Отже, \(x\in(-3; 2)\) – множина розв'язків заданої нерівності.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

За допомогою цього завдання перевіряють вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Спершу переведімо масу з грамів у кілограми: оскільки \(1\) кг = \(1000\) г, то

Для обчислення вартості покупки помножмо ціну за кілограм на масу придбаних горіхів:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати множення одночленів і знання властивостей степеня.

Для розв’язання завдання скористаймося властивістю множення степенів з однаковими основами: основу залишимо без змін, а показники додамо. \begin{gather*} a^n\cdot a^m=a^{n+m}, \end{gather*} (де \(a\) – будь-яке число, \(n\) i \(m\) – натуральні числа).

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

За допомогою цього завдання перевіряють знання означення конуса як тіла обертання.

Конус – це тіло, утворене внаслідок обертання прямокутного трикутника навколо прямої, що містить один із його катетів.

Оскільки пряма \(a\) є висотою рівнобедреного трикутника, проведеною до його основи, вона ділить цей трикутник на два рівні прямокутні трикутники. Унаслідок обертання такого трикутника навколо висоти, яка є спільним катетом, утворюється конус.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

За допомогою цього завдання перевіряють уміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл \(900\) занять. Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом складають іншу половину.

Тобто кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання спрямовано на перевірку навичок розв’язання квадратних рівнянь, їхнього аналізу та дослідження рівнянь із параметрами.

Визначмо дискримінант рівняння:

Підставмо вирази для коренів у подвійну нерівність:

Ця нерівність рівносильна системі нерівностей:

Отже, значення \(a\) має перебувати в межах \(-2\lt a\lt 3.\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок: \(-1\), \(0\), \(1\), \(2.\)

Усього таких значень чотири.

Відповідь: \(4.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

1. Визначмо більшу діагональ \((AC)\) основи .

Діагональний переріз прямої призми – це прямокутник, сторонами якого є діагональ основи та висота призми \((H=AA_1=8\sqrt{3}).\) Оскільки переріз більший, він проходить через більшу діагональ ромба \((AC).\)

Формула площі перерізу:

\begin{gather*} S_{AA_1C_1C}=AC\cdot AA_1. \end{gather*}

Звідси обчислімо більшу діагональ:

\begin{gather*} AC=\frac{S_{AA_1C_1C}}{AA_1}=\frac{240\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=30. \end{gather*}

2. Визначмо меншу діагональ \((BD)\) ромба .

У ромбі з гострим кутом \(60^\circ\) діагоналі розбивають його на чотири прямокутні трикутники, або менша діагональ ділить ромб на два рівносторонні трикутники. Сторона ромба дорівнює меншій діагоналі \(CD=BD\) (бо трикутник \(\Delta BCD\) рівносторонній). Визначмо сторону \(CD\) ромба:

3. Площа повної поверхні:

Відповідь: \(960.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі з комбінаторики, застосовувати комбінаторне правило добутку.

Спочатку визначмо кількість майстрів кожної професії:

• електрики – \(5\) осіб;
• плиточники – \(8\) осіб;
• маляри – \((22 - 5 - 8) = 9\) осіб.

Для формування бригади треба вибрати:

• одного електрика з п'яти. Це \(C_5^1=5\) способів;
• одного плиточника з восьми. Це \(C_8^1=8\) способів;
• двох малярів із дев'яти.

Для визначення кількості малярів використаємо формулу комбінацій:

Оскільки нам потрібно вибрати і електрика, і плиточника, і малярів одночасно, застосуймо правило добутку:

Отже, існує \(1440\) способів сформувати таку бригаду.

Відповідь: \(1440.\)

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\text{-перших}\) членів послідовності.

Розгляньмо математичну модель задачі.

Сума, яку позичальник має повернути першого місяця – це \(a_1=540\) в арифметичній прогресії \((a_n).\)

Кожного наступного місяця сума зменшується на \(10\) грн – це знаменник арифметичної прогресії \(d=–10\), а загальна сума, яку має повернути позичальник за \(24\) місяців – це \(S_{24}.\)

За формулою суми перших членів прогресії маємо:

Отже, загальна сума, яку повинен повернути позичальник, – \(10200\) грн.

Відповідь: \(10200.\)

ТЕМА: Коло та круг. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей чотирикутників, зокрема прямокутника, кола, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора для розв’язування прямокутного трикутника.

1. За умовою точка \(M\) – середина сторони \(BC.\) Оскільки \(MC=8\) см, то \(BC=2MC=2\cdot 8=16\) см.

Правильна відповідь B.

2. Діаметр кола, описаного навколо прямокутника дорівнює його діагоналі \(AC\) або \(BD.\)

Обчислімо довжину діагоналі \(AC\) за теоремою Піфагора з трикутника \(ABC\ (\angle B=90^\circ){:}\)

Правильна відповідь Д.

3. Визначмо відстань від точки \(D\) до середини \(KM.\)

Розгляньмо трикутник \(ABC.\) Відрізок \(KM\) – це його середня лінія. За властивістю середньої лінії, трикутник BKM подібний до трикутника \(BAC\) з коефіцієнтом подібності \(k=\frac 12.\)

Це означає, що будь-який лінійний елемент трикутника \(BKM\) (медіана, висота, бісектриса) увдвічі менший за відповідний елемент трикутника \(BAC\) і лежить на тій самій лінії.

У прямокутнику діагоналі \(AC=BD\) і перетинаються в точці \(O.\) Відрізок \(BO\) – це медіана трикутника \(BAC.\) Оскільки \(P\) – середина \(KM\), то відрізок \(BP\) – це медіана трикутника \(BKM{:}\)

Отже, відстань від точки \(D\) до середини \(KM{:}\)

Правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – Д, 3 – Б.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Графік квадратичної функції \(y=x^2-2x+5\) – парабола, вітки якої напрямлені вгору. Найменше значення такої функції у вершині (якщо абсциса вершини входить у заданий відрізок). Визначмо абсцису вершини:

Число \(1\) належить відрізку \([0; 4]\), тому обчислімо значення функції в цій точці:

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Лінійна функція \(y=-0{,}5x+5\) спадає на всій області визначення.

\(y=kx+b\), якщо \(k\gt 0\) функція зростає, а якщо \(k\lt 0\) – спадає.

На проміжку \([0; 4]\) найменше значення функції за \(x=4{:}\)

Отже, правильна відповідь – B.

3. Показникова функція \(y=2^x\) зростає на всій області визначення.

На проміжку \([0; 4]\) найменшого значення функція набуває за \(x=0{:}\) \begin{gather*} y(0)=2^0=1. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей степенів із цілим показником, тотожних перетворень раціональних і логарифмічних виразів.

1. Оскільки \(9=3^2\), то

Отже, \(a=m+2n.\) Правильна відповідь – Д.

2. Скористаймося формулою скороченого множення:

Отже, \(a=2mn.\) Правильна відповідь – Г.

3. Скористаймося властивостями логарифма:

Отже, \(a=3mn.\) Правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В.