Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 365

Математика. Всі запитання починаючи з 365

366367368369370371372373374375376377378379380 ▶

Завдання 366 з 2375

Знайдіть значення виразу \(\operatorname{tg}^2\alpha+\operatorname{ctg}^2\alpha\), якщо \(\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{ctg}\alpha=4\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} \mathrm{tg}^2 \alpha + \mathrm{ctg}^2 \alpha = \mathrm{tg}^2 \alpha - 2\mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg} \alpha + \mathrm{ctg}^2 \alpha + 2\mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg} \alpha =\\[7pt] =(\mathrm{tg} \alpha - \mathrm{ctg} \alpha)^2 + 2\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg} \alpha = 4^2 + 2 \cdot 1 = 16 + 2 = 18.\\[7pt] \mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha = 1.\\[7pt] \mathrm{tg}\alpha - \mathrm{ctg}\alpha = 4\ \text{(за умовою)}. \end{gather*}

Відповідь: \(18.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6377

Завдання 367 з 2375

Розв’яжіть нерівність \(3\cdot9^x-2\cdot15^x-5^{2x+1}\gt0\).

Якщо нерівність має цілі розв’язки, то вкажіть найбільший з них. Якщо нерівність має розв’язки, але вказати найбільший цілий розв’язок неможливо, то у відповідь запишіть число \(50\). Якщо нерівність не має розв’язків, то у відповідь запишіть число \(100\).

Впишіть відповідь:

-2

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

\begin{gather*} 3 \cdot 9^x - 2 \cdot 15^x - 5^{2x+1} \gt 0;\\[7pt] 3 \cdot 9^x - 2 \cdot 15^x - 5^{2x} \cdot 5 \gt 0;\\[7pt] 3 \cdot 3^{2x} - 2 \cdot 15^x - 5 \cdot 5^{2x} \gt 0. \end{gather*}

\(15^x \gt 0\) при будь-якому значенні \(x.\) Поділимо на \(15^x\) нерівність:

\begin{gather*} 3 \cdot \frac{3^{2x}}{3^x \cdot 5^x} - 2 - 5 \cdot \frac{5^{2x}}{3^x \cdot 5^x} \gt 0;\\[6pt] 3 \cdot \left(\frac 35\right)^x - 2 - 5 \cdot \left(\frac 53\right)^x \gt 0. \end{gather*}

Нехай \(\left(\dfrac 35\right)^x = t \gt 0.\)

\begin{gather*} 3t - 2 - \frac 5t \gt 0\ \Big | \cdot t;\\[6pt] 3t^2 - 2t - 5 \gt 0;\\[7pt] 3t^2 - 2t - 5 = 0\\[7pt] D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 64;\\[6pt] t_1 = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac 53;\\[6pt] t_2 = \frac{2 - 8}{6} = -1\ (\text{не задовольняє умові}\ t\gt 0) \end{gather*}

Отже, \(t\gt \dfrac 53.\)

Повертаємось до заміни

\begin{gather*} \left(\frac 35\right)^x\gt \frac 53;\\[6pt] \left(\frac 35\right)^x\gt \left(\frac 35\right)^{-1}. \end{gather*}

Функція \(y=\left(\dfrac 35\right)^x\) – спадна, тому \(x\lt -1.\)

Найбільший цілий розв'язок \(x = -2.\)

Відповідь: \(-2.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6378

Завдання 368 з 2375

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник із кутом \(15^\circ\). Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом \(60^\circ\). Радіус кулі, описаної навколо піраміди, дорівнює \(6\) см. Обчисліть об’єм піраміди (у см\(^3\)).

Впишіть відповідь:

40.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей піраміди та кулі, формули об’єму піраміди, вміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв’язування стереометричних задач.

Дано: піраміда \(DABC\), в основі якої лежить \(\Delta ABC\ (\angle C = 90^\circ)\), \(\angle A = 15^\circ.\)

Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом \(60^\circ\), отже, основа висоти (точка \(O\)) – центр описаного навколо \(\Delta ABC\) кола. У прямокутному трикутнику – це середина гіпотенузи \(AB\).

Куля описана навколо піраміди – центр кулі точка \(O_1\) належить висоті \(DO.\)

\begin{gather*} DO_1 = O_1A = O_1B = O_1C = 6\ \text{см}. \end{gather*}

\(DB\), \(DC\), \(DA\) – похилі; \(OB\), \(OC\), \(OA\) – їхні проекції. Отже,

\begin{gather*} \angle(DB, (ABC)) = \angle(DC, (ABC)) = \angle(DA, (ABC)) = 60^\circ.\\[7pt] \angle DBO = \angle DCO = \angle DAO = 60^\circ. \end{gather*}

У \(\Delta ADB\ (\angle A = \angle B = 60^\circ).\) Отже, \(\angle D = 60^\circ.\) \(\Delta ADB\) – рівносторонній, точка \(O_1\) – центр описаного кола (\(O_1D = O_1B = O_1A = 6\) см). \(AB = O_1D\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) см.

У \(\Delta ABC\ (\angle C = 90^\circ)\), \(AC = AB\cos 15^\circ = 6\sqrt{3}\cos 15^\circ.\)

\begin{gather*} S_{ABC} = \frac 12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 15^\circ = \frac 12 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3}\cos 15^\circ\sin 15^\circ =\\[6pt] =3 \cdot 9 \cdot 2\sin 15^\circ\cos 15^\circ= 27\sin 30^\circ = \frac{27}{2}\ \text{см}^2;\\[6pt] DO = \frac 32 \cdot DO_1 = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9\ \text{см};\\[6pt] \frac{DO_1}{O_1O} = \frac 21;\\[6pt] V_\text{піраміди} = \frac 13 S_{ABC} \cdot DO = \frac 13 \cdot \frac{27}{2} \cdot 9 = \frac{81}{2} = 40{,}5\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(40{,}5.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6379

Завдання 369 з 2375

Укажіть найменше значення \(a\), при якому рівняння \(\dfrac{x^2-x+a}{2x+3}=0\) має рівно один корінь.

Впишіть відповідь:

-3.75

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння з параметрами.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x^2-x+a=0,\\ 2x+3\ne 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x^2-x+a=0,\\ x\ne -1{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Рівняння буде мати один корінь у двох випадках:

1) рівняння \(x^2-x+a=0\) має один корінь \((D=0)\) та він не дорівнює \(-1{,}5.\)

2) рівняння \(x^2-x+a=0\) має два корені \((D\gt 0)\), але один з коренів дорівнює \(-1{,}5.\)

Розглянемо кожний випадок: \begin{gather*} \text{1)}\ x^2-x+a=0;\\[7pt] D=1-4a=0;\\[7pt] a=\frac 14;\\[7pt] x=\frac 12. \end{gather*}

Отже, при \(a=\frac 14\) рівняння має один корінь.

\begin{gather*} \text{2)}\ x^2-x+a=0;\\[7pt] D=1-4a\gt 0;\\[6pt] x_1=\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2};\\[6pt] x_2=\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}. \end{gather*}

\(x_1\gt 0\), отже, не може дорівнювати \(-1{,}5.\)

Знайдемо значення \(a\), при якому \(x_2=-1{,}5.\)

\begin{gather*} \frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}=-\frac 32;\\[6pt] 1-\sqrt{1-4a}=-3;\\[6pt] \sqrt{1-4a}=4;\\[7pt] 1-4a=16;\\[7pt] -4a=15;\\[6pt] a=-\frac{15}{4};\\[6pt] a=-3{,}75. \end{gather*}

Отже, при \(a=-3{,}75\) рівняння має один корінь.

У відповідь запишем найменше значення \(a.\)

Відповідь: \(-3{,}75.\)

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6380

Завдання 370 з 2375

У саду в окремі ящики зібрали груші та яблука. Кількість ящиків з яблуками відноситься до кількості ящиків з грушами, як \(7:3\). Серед наведених чисел укажіть число, яке може виражати загальну кількість ящиків з яблуками та грушами, зібраними в саду.

А\(37\)

Б\(73\)

В\(75\)

Г\(80\)

Д\(84\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання ознак подільності.

Кількість ящиків з яблуками відноситься до кількості ящиків з грушами як \(7 : 3.\) Отже, серед наведених чисел умові відповідає число \(80\) (кратне \(7 + 3 = 10\)).

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6381

Завдання 371 з 2375

Точка \(A(3;1)\) належить колу з центром у точці \(O(-2;1)\). Знайдіть радіус цього кола.

А\(10\)

Б\(5\)

В\(3\)

Г\(2\)

Д\(1\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє знання координат точок на площині, формули відстані між точками на площині.

Точка \(A(3; 1)\) належить колу, \(O(-2; 1)\) – центр кола. \(OA\) – радіус кола. За формулою відстані між точками

\begin{gather*} d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \end{gather*}

знайдемо

\begin{gather*} OA=\sqrt{(3+2)^2+(1-1)^2}=5. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6382

Завдання 372 з 2375

Поле, площа якого дорівнює \(60\) га, засіяли горохом і соєю. Горохом засіяли \(\dfrac{3}{4}\) площі поля. Скільки всього гектарів поля засіяли соєю?

А\(10\)

Б\(15\)

В\(20\)

Г\(24\)

Д\(45\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, зокрема на відношення.

Горохом засіяли \(\dfrac 34\) від площі поля \(60\) га.

\begin{gather*} 60 \cdot \frac 34=45\ \text{га – засіяли горохом}, \\[6pt] 60 - 45 = 15\ \text{га – засіяли соєю}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6383

Завдання 373 з 2375

На одному з наведених рисунків зображено ескіз графіка функції \(y=-2x+3\). Укажіть цей рисунок.

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє знання властивостей лінійної функції.

\(y = -2x + 3\) – лінійна функція.

\(k = -2\), отже, функція спадна.

\(b = 3\) – \((0; 3)\) точка перетину з віссю \(Oy.\)

З наведених рисунків ескіз графіка на рисунку Д.

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6384

Завдання 374 з 2375

Знайдіть довжину діагоналі прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють \(2\) см, \(3\) см, \(4\) см.

А\(\sqrt{29}\) см

Б\(9\) см

В\(\sqrt{13}\) см

Г\(5\) см

Д\(2\sqrt5\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників для знаходження невідомих елементів.

Виміри прямокутного паралелепіпеда \(a = 2\) см, \(b = 3\) см, \(c = 4\) см.

Діагональ паралелепіпеда

\begin{gather*} d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6385

Завдання 375 з 2375

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння \(3^{\textstyle {x+4}}=27\)?

А\([-4;-2)\)

Б\([-2;0)\)

В\([0;2)\)

Г\([2;4)\)

Д\([4;6)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння, порівнювати раціональні числа.

\begin{gather*} 3^{x + 4} = 27;\\[7pt] 3^{x + 4} = 3^{3};\\[7pt] x + 4 = 3;\\[7pt] x = 3 - 4;\\[7pt] x = -1. \end{gather*}

Корінь належить проміжку \([-2; 0).\)

Відповідь: Б.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6386

Завдання 376 з 2375

Діагоналі трапеції \(ABCD\ (AD||BC)\) перетинаються в точці \(O\). Знайдіть довжину основи \(BC\) трапеції, якщо \(AD=24\) см, \(AO=9\) см, \(OC=6\) см.

А\(6\) см

Б\(9\) см

В\(12\) см

Г\(16\) см

Д\(18\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей трапеції та подібних трикутників.

\(\angle BCO = \angle OAD\) внутрішні різносторонні при \(BC\!\parallel\!AD\) та січної \(AC.\)

\(\angle BOC = \angle AOD\) вертикальні.

\(\Delta AOD\) подібний \(\Delta COB\) (за двома кутами).

\begin{gather*} \frac{BC}{AD} = \frac{CO}{OA};\\[6pt] \frac{BC}{24} = \frac 69;\\[6pt] BC = \frac{6 \cdot 24}{9} = 16\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6387

Завдання 377 з 2375

Яке з наведених чисел є раціональним числом?

А\(\sqrt[\scriptstyle 3]9\)

Б\(\sqrt{10}\)

В\(\pi\)

Г\(\sqrt{3{,}6}\)

Д\(\sqrt{0{,}64}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє знання означення та властивості дійсних чисел.

\(\sqrt[\scriptstyle 3]{9}\), \(\sqrt{10}\), \(\pi\), \(\sqrt{3{,}6}\) – ірраціональні.

\(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8 = \dfrac 45\) – раціональне \(\left(\dfrac mn,\ n \ne 0,\; n, m \in Z\right).\)

Відповідь: Д.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6388

Завдання 378 з 2375

Знайдіть найбільший від’ємний член арифметичної прогресії \(2{,}9\); \(2{,}2\); \(1{,}5\); \(…\)

А\(-0{,}1\)

Б\(-0{,}3\)

В\(-0{,}6\)

Г\(-0{,}8\)

Д\(-1{,}3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

\((a_n)\) – арифметична прогресія \(a_1=2{,}9\); \(a_2=2{,}2\); \(a_3=1{,}5.\)

\begin{gather*} d=a_2-a_1=2{,}2-2{,}9=-0{,}7. \end{gather*}

\(a_n=a_1+d(n-1)\) знайдемо найбільший від'ємний член

\begin{gather*} 2{,}9-0{,}7(n-1)\lt 0;\\[7pt] 2{,}9-0{,}7n+0{,}7\lt 0;\\[7pt] -0{,}7n\lt -3{,}6;\\[6pt] n\gt \frac{36}{7};\\[6pt] n\gt 5\frac 17. \end{gather*}

Найбільший від'ємний член

\begin{gather*} a_6=2{,}9-0{,}7\cdot 5=-0{,}6. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6389

Завдання 379 з 2375

Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює \(10\) см, а висота, опущена на неї, – \(8\) см. Знайдіть довжину основи трикутника.

А\(6\) см

Б\(4\sqrt2\) см

В\(12\) см

Г\(4\sqrt5\) см

Д\(16\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей трикутника, теореми Піфагора.

\(AB = BC = 10\) см, \(CH = 8\) см.

\(\Delta BHC\ (\angle H = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} BH^2=BC^2-CH^2=100-64=36;\\[7pt] BH=6\ \text{см}.\\[7pt] HA=AB-BH=10-6=4\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta AHC\ (\angle H = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

\begin{gather*} AC^2=AH^2+HC^2=64+16=80;\\[7pt] AC=\sqrt{80}=\sqrt{16 \cdot 5}=4\sqrt{5}\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6390

Завдання 380 з 2375

Упродовж чверті учень отримав \(12\) оцінок з алгебри. Інформацію про отримані оцінки та їхню кількість відображено в таблиці.

Оцінка	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(10\)
Кількість оцінок	\(2\)	\(1\)	\(3\)	\(5\)	\(1\)

Знайдіть середнє арифметичне всіх оцінок, отриманих учнем упродовж чверті.

А\(7\)

Б\(7{,}2\)

В\(7{,}25\)

Г\(8\)

Д\(8{,}1\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння знаходити середнє арифметичне декількох чисел.

Знайдемо середнє арифметичне всіх оцінок

\begin{gather*} \frac{5 \cdot 2 + 6 \cdot 1 + 7 \cdot 3 + 8 \cdot 5 + 10 \cdot 1}{12} = \frac{10 + 6 + 21 + 40 + 10}{12} = \frac{87}{12} = \frac{29}{4} = 7{,}25. \end{gather*}

Відповідь: B.

Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6391