ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

Два числа називають протилежними, якщо їхня сума дорівнює нулю (наприклад, \(5\) і \(-5\)). Отже, для коренів рівняння має виконуватися умова: \begin{gather*} x_1+x_2=0. \end{gather*}

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком: \begin{gather*} x_1+x_2=-p. \end{gather*}

У рівнянні

зведімо подібні доданки:

Коефіцієнт:

Отже, має виконуватися умова:

Отримуємо два значення: \(a=1\) та \(a=-5.\)

Перевірка існування коренів (дискримінант): числа є коренями рівняння, якщо дискримінант \(D\ge 0.\)

Оскільки за \(x_1+x_2=0\) рівняння набуває вигляду \(x^2+q=0\), то корені існують, якщо \(q\le 0.\)

Якщо \(a=1{:}\) \(q=a+2=1+2=3\gt 0.\) Рівняння \(x^2+3=0\) не має дійсних коренів, тобто \(a=1\) не підходить.

Якщо \(a=-5{:}\) \(q=a+2=-5+2=-3\lt 0.\) Рівняння \(x^2-3=0\) має корені \(\sqrt{3}\) та \(-\sqrt{3}.\) Тож \(a=-5\) підходить.

Оскільки умову задовольняє лише одне значення \(a=-5\), то сума значень дорівнює самому числу \(-5.\)

Відповідь: \(-5.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати площу діагонального перерізу призми.

Основою призми є паралелограм зі сторонами \(AB = 8\) і \(AD = 15\), \(\angle A = 60^\circ.\)

Діагональний переріз прямої призми – прямокутник, сторонами якого є висота призми та діагональ основи.

Невідомий діагональний переріз меншої площі буде побудовано на меншій діагоналі основи. У паралелограмі менша діагональ завжди лежить навпроти гострого кута. Отже, треба визначити довжину діагоналі \(BD.\)

Розгляньмо трикутник \(ABD.\) За теоремою косинусів:

Меншим діагональним перерізом є прямокутник \(DBB_1D_1\) зі сторонами \(BD = 13\) см і висотою \(BB_1 = 20\) см.

Обчислімо його площу \(S{:}\)

Відповідь: \(260.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку вміння використовувати комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

І. Для замовлення одного автобуса у виконавця є \(8\) різних автобусів. Оскільки треба вибрати лише один, то кількість способів зробити це дорівнює кількості автобусів: \begin{gather*} N_1=8. \end{gather*}

ІІ. Для замовлення двох мікроавтобусів у виконавця є \(6\) різних мікроавтобусів. Нам треба вибрати два з них. Оскільки порядок вибору не має значення (просто потрібні дві машини), скористаймося формулою для комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можлих:

Отже, існує \(15\) способів вибрати два мікроавтобуси.

За правилом додавання (оскільки ми вибираємо або перший варіант, або другий), додаємо отримані результати:

Усього існує \(23\) варіанти вибору машин.

Відповідь: \(23.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Завдання скеровано на перевірку вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площу зафарбованої фігури можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_a^b (f(x)-g(x))\ dx, \end{gather*} де \(f(x)\) – це функція, графік якої обмежує фігуру згори, а \(g(x)\) – функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

З рисунка видно, що графіки функцій перетинаються у двох точках: \((0; 0)\) – точка початку координат; точка \((4; 6).\)

Отже, межі інтегрування – від \(0\) до \(4.\)

Графік функції \(y=3\sqrt{x}\) проходить вище за пряму \(y=\frac 32x.\)

Обчислімо площу зафарбованої фігури: \begin{gather*} S=\mathop{\int}\limits_0^4 \left(3\sqrt{x}-\frac 32x\right)\ dx, \end{gather*}

Первісна для кожної частини:

Застосуймо формулу Ньютона -Лейбніца:

де \(f(x)\) – це неперервна функція на проміжку \([a; b]\), а \(F(x)\) – її перевісна.

Відповідь: \(4.\)

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання скеровано на перевірку вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Графік функції \(y=7x+4\) перетинає вісь у точці з ординатою \(4.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Функція \(y=-\frac 7x\) непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Отже, правильна відповідь – B.

3. \(y=\log_{0{,}5}(x-4)\) – логарифмічна функція, \(y=\log_a x\) спадна на всій області визначення, якщо \(a\in (0; 1).\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних виразів, степеня з натуральним показником.

1. Якщо \(n\sin m\pi=a\), то...

Для будь-якого цілого числа \(k\ \sin k\pi=0.\) Оскільки \(m\) – натуральне число, то \(\sin m\pi\) завжди дорівнює нулю. Тоді \(a=n\cdot 0=0.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. Якщо \(\frac{2^m}{2^n}=2^a\), то...

Скористаймося властивістю \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}{:}\)

Звідси \(a=m-n.\)

Отже, правильна відповідь – B.

3. Якщо \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{2}}=\sqrt[a]{2}\), то...

Скористаймося властивістю \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[n\cdot m]{x}\ \ {:}\)

Звідси \(a=n\cdot m=mn.\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – В, 3 – А.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена.

За означенням геометричної прогресії, кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на знаменник:

Тепер можемо обчислити значення другого члена прогресії:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Геометричні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення паралелограма, ознак подібності трикутників для розв'язання планіметричних задач.

Розгляньмо трикутники \(\Delta AOK\) та \(\Delta COB{:}\)
\(\angle KAO=\angle BCO\) як внутрішні різносторонні при паралельних прямих \(BC\ ||\ AD\) та січній \(AC\);
\(\angle BOC=\angle KOA\) як вертикальні кути.

Отже, \(\Delta BOC\) подібний \(\Delta KOA\) за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення «квадрат суми»:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Логарифмічні рівняння.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

За означенням логарифма:

Оскільки \(4^{\frac 12}=\sqrt{4}=2\), маємо:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трапеція.

Це завдання перевіряє вміння зчитувати дані з графіка й обчислювати площу трапеції.

Верхня основа \(BC=3\), нижня основа \(AD=6\), висота трапеції \(BH=6.\)

Обчислімо площу трапеції за формулою: \begin{gather*} S=\frac{a+b}{2}\cdot h. \end{gather*}

Підставмо у формулу відповідні значення:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення виразів й обчислювати їхні значення методом підставлення або методом винесення спільного множника.

Перетворімо вираз, винісши спільний множник \(-2\) за дужки:

Упорядкуймо доданки в дужках для зручності:

Підставмо відоме значення (за умовою \(3x-4y=2\)):

Відповідь: B.

ТЕМА: Лінійні та раціональні рівняння і їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом додавання:

Підставмо значення \(x=2\) в перше рівняння:

Розв'язком системи є пара чисел \((2; 3){:}\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати геометричні перетворення графіків функцій.

Для побудови графіка функції \(y=f(x)+a\) треба графік функції перенести вздовж осі \(Oy\) на \(a\) одиниць угору, якщо \(a\) – додатне число, і на \(a\) одиниць униз, якщо \(a\) – від’ємне число.

Отже, для побудови графіка \(y=f(x)+3\) треба перемістити графік \(y=f(x)\) на три одиниці вгору вздовж осі \(Oy.\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: Д.