ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Перетворення виразів із степенями.

Це завдання перевіряє вміння зводити одночлен до стандартного вигляду. Для цього треба знайти добуток коефіцієнтів: $$ 0\mathord{,}4\cdot 5=2 $$ та добуток степенів з однаковою основою, використовуючи формулу

Тоді $$ 0\mathord{,}4x^2\cdot 5x^3=2x^5. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв'язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв'язування.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь мішаного типу.

Друге рівняння системи, що містить лише одну змінну \(x\), є показниковим. Розв'яжемо це рівняння. Для цього запишемо число \(16\) у вигляді степеня з основою \(4\): $$ 16=4^2, $$ тоді $$ 16^{-1}=(4^2)^{-1}=4^{-2}. $$ Отже, рівняння набуває вигляду $$ 4^x=4^{-2}. $$ Оскільки степені з однаковими основами рівні, коли рівні показники їх степенів, то отримуємо \(x=-2.\) Підставимо отримане значення \(x=-2\) в перше рівняння системи:

Отже, пара чисел \((-2; 7)\) є розв'язком \((x_0; y_0)\) системи рівнянь. Тоді

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє знання графіків основних елементарних функцій.

Пряма є графіком лінійної функції, тобто функції, заданої рівнянням $$ y=kx+b, $$ де \(k\), \(b\) – числа. Серед наведених функцій лінійною є лише функція \(y=2x.\)

Цю функцію отримаємо, якщо в рівняння $$ y=kx+b $$ підставимо значення \(k=2\) i \(b=0.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Нерівність трикутника.

Це завдання перевіряє вміння визначати можливе значення невідомої сторони трикутника.

Використаємо нерівність трикутника: будь-яка сторона довільного трикутника менша за суму двох інших його сторін та більша за їх різницю. Оскільки сторони трикутника \(AB\) і \(BC\) дорівнюють відповідно \(3\) см і \(10\) см, то довжина сторони \(AC\) повинна бути більшою за $$ 10-3=7\ \text{см} $$ та меншою за $$ 10+3=13\ \text{см}. $$

Цю умову задовольняє лише варіант Г – \(11\) см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Вирази з коренями. Формули скороченого множення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з дробовими виразами.

Щоб спростити вираз, зведемо дроби до спільного знаменника. На практиці дроби з різними знаменниками зводять до найпростішого (найменшого) спільного знаменника. Найпростішим спільним знаменником дробів є вираз \(ab(a-b)\), який ділиться і на \(b(a-b)\), і на \(a(a-b).\) Зазначимо, що, наприклад, вираз

також є спільним знаменником, проте він ділиться на спільний знаменник \(ab(a-b)\), тому не є найпростішим.

Скористаємось основною властивістю дробів: дріб не зміниться, якщо його чисельник і знаменник домножити на один і той самий ненульовий вираз. Тоді чисельник і знаменник першого дробу домножимо на \(a\), а другого – на \(b\mathord{:}\)

Тоді

Розкладемо чисельник на множники, скориставшись формулою різниці квадратів, і скоротимо отриманий дріб:

Запропонований спосіб розв'язання не є єдиноможливим. Вираз можна спростити, виконавши ще такі перетворення:

Тоді

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямокутна система координат у просторі.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Оскільки точка \(M\) належить осі \(z\) прямокутної системи координат в просторі і розташована вище за початок координат – точку \(O(0; 0; 0)\) (див. рисунок), то її координати \(x\) та \(y\) дорівнюють нулю, а координата \(z\) є додатною.

Серед наведених цій умові задовільняє лише відповідь В.

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена прогресії та вміння використовувати її для знаходження першого члена.

Запишемо формулу \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

тоді для \(15\text{-го}\) члена $$ a_{15}=a_1+14d. $$

Підставивши відомі значення різниці прогресії \(d=0\mathord{,}5\) та \(a_{15}=12\), отримаємо рівняння відносно \(a_1\mathord{:}\) $$ 12=a_1+14\cdot 0\mathord{,}5 $$ звідки \(a_1=5.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічне подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, наведену у вигляді графіків або діаграм.

Щоб відповідсти на запитання, потрібно визначити на осі "роки" рік, в якому точка, що йому відповідає, віддалена від точки, що відповідає попередньому року, по вертикалі на найбільшу відстань.

З діаграми видно, що найбільші по вертикалі відстані спостерігаються між точками, що відповідають \(2006\) р. \((5\mathord{,}8\) млн. км\(^2)\) i \(2007\) р. \((4\mathord{,}3\) млн. км\(^2)\) та точками, що відповідають \(2012\) р. \((3\mathord{,}4\) млн. км\(^2)\) і \(2013\) р. \((5\mathord{,}1\) млн. км\(^2).\)

Знайдемо різниці між річними мінімумами: $$ 5\mathord{,}8-4\mathord{,}3=1\mathord{,}5 $$ (зменшення у \(2007\) р. порівняно з \(2006\) р.) та $$ 5\mathord{,}1-4\mathord{,}3=1\mathord{,}8 $$ (збільшення у \(2013\) р. порівняно з \(2012\) р.)

Оскільки \(1\mathord{,}8\gt 1\mathord{,}5\), то величина річного мінімуму площі поверхні льоду найбільше змінилася у \(2013\) р. порівняно з \(2012\) р. Отже, правильна відповідь \(2013\) р.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання означення мимобіжних прямих і вміння його використовувати до розв'язування задач.

I. Оскільки через дві прямі, що перетинаються, можна провести єдину площину, а мимобіжні прямі не перетинаються, тому твердження є неправильним.

II. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіжними. Тому твердження є неправильним.

III. Оскільки прямі \(a\) i \(b\) не лежать в одній площині, то вони лежать у паралельних площинах \(\alpha\) i \(\beta\) відповідно. Тому у площині \(\beta\) існує пряма, що паралельна прямій \(a\) і вона перетинає пряму \(b\), оскільки прямі \(a\) i \(b\) не є паралельними (через паралельні прямі завжди можна провести площину). Тому твердження є правильним.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Ірраціональні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння оцінювати значення ірраціонального виразу, використовуючи властивості функції.

Оскільки виконується нерівність $$ 8\lt 18\lt 27 $$ і функція $$ y=\sqrt[3]{x} $$ є зростаючою, тобто більшому значенню аргумента \(x\) відпвідає більше значення функції \(y\), то $$ \sqrt[3]{8}\lt \sqrt[3]{18}\lt \sqrt[3]{27}. $$

Оскільки

то $$ 2\lt \sqrt[3]{18}\lt 3. $$ Отже, число \(\sqrt[3]{18}\) належить проміжку \([2; 3).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання формули суми логарифмів та вміння її застосовувати до розв'язування задач.

Оскільки

при

то

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Подібність фігур.

Це завдання перевіряє вміння знаходити подібні фігури та використовувати пропорційність їх відповідних лінійних елементів для знаходження відношення площ цих фігур.

Подібними називаються фігури однакової форми. Коефіцієнтом подібності називається відношення відповідних лінійних елементів цих фігур. Оскільки у зображених на рисунку телевізорів екрани мають форму прямокутників, відповідні сторони яких пропорційні, то ці прямокутники подібні.

Коефіцієнт подібності дорівнює відношенню діагоналей цих прямокутників, тобто діагоналей екранів телевізорів: $$ k=\frac{48}{32}=1\mathord{,}5. $$ Якщо фігури подібні з коефіцієнтом подібності \(k\), то відношення їх площ дорівнює \(k^2.\) Тому площа екрану більшого телевізора перевищує площу екрана меншого телевізора у $$ 1\mathord{,}5^2=2\mathord{,}25\ \text{раза}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і почати аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання основної тригонометричної тотожності та вміння її застосовувати до перетворення тригонометричних виразів.

Для будь-якого кута \(\alpha\) виконується рівність: $$ \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1. $$

I спосіб. Домножимо обідві частини цієї рівності на \(4\mathord{:}\)

звідси

Оскільки за умовою

то отримаємо:

II спосіб. Виразимо з основної тригонометричної тотожності \(\sin^2 \alpha\mathord{:}\) $$ \sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha. $$ Оскільки за умовою $$ 4\cos^2 \alpha=1, $$ то $$ \cos^2 \alpha=\frac 14, $$ тоді $$ \sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha=1-\frac 14=\frac 34. $$ Звідки $$ 4\sin^2 \alpha=4\cdot\frac 34=3. $$

Зауваження. Правильну відповідь до завдання можна отримати, якщо навіть не знати (чи не пам'ятати) основної тригонометричної тотожності. Якщо знати, що $$ \cos 60^\circ=\frac 12, $$ тобто \(\alpha=60^\circ\) задовольняє умову $$ 4\cos^2 \alpha=1, $$ а $$ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, $$ тоді $$ 4\sin^2 \alpha=4\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=3. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Формула Ньютона - Лейбніца.

Це завдання перевіряє знання таблиці первісних основних елементарних функцій та вміння застосовувати формулу Ньютона - Лейбніца для знаходження визначеного інтеграла.

За формулою Ньютона - Лейбніца:

де \(F(x)\) – будь-яка первісна функції \(f(x)\) на відрізку \([a; b].\)

Нагадаємо, що функція \(F(x)\) називається первісною для функції \(f(x)\) на проміжку \((a; b)\), якщо для будь-якого \(x\in (a; b)\) виконується рівність \(F'(x)=f(x).\)

Визначимо одну з первісних функції \(y=6x^2.\)

Правило знаходження первісних. Якщо \(F_1(x)\) – первісна функції \(f_1(x)\), а \(\mathrm{C}\) – довільна стала, то $$ F(x)=\mathrm{C}F_1(x) $$ є первісною функції $$ f(x)=\mathrm{C}f_1(x). $$

Отже, $$ F(x)=6F_1(x) $$ є первісною функції $$ f(x)=6x^2, $$ де \(F_1(x)\) – первісна функції \(f_1(x)=x^2.\)

Однією з первісних степеневої функції \(x^n\), причому \(n\ne -1\), є $$ \frac{x^{n+1}}{n+1}. $$ Тому $$ F_1(x)=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^3}{3}. $$ Отже, $$ F(x)=6\cdot \frac{x^3}{3}=2x^3. $$ Тоді

Відповідь: Б.