Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 710

Математика. Всі запитання починаючи з 710

711712713714715716717718719720721722723724725 ▶

Завдання 711 з 2199

Для запобігання паркуванню транспорту на площі міста встановили $50$ суцільних бетонних півкуль, радіус кожної з яких дорівнює $30$ см. Який об'єм (у м$^3$) бетону використано на виготовлення цих півкуль? Укажіть відповідь, найближчу до точної.

А$2\mathord{,}9$ м$^3$

Б$5\mathord{,}7$ м$^3$

В$8\mathord{,}6$ м$^3$

Г$2\mathord{,}1$ м$^3$

Д$17\mathord{,}1$ м$^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'ємів геометричних тіл, застосовувати властивості тіл обертання до розв'язування стереометричних задач практичного змісту.

$50$ суцільних півкуль – це $25$ куль з радіусом $0\mathord{,}3$ м.

Об'єм однієї кулі знаходимо за формулою: $$ V=\frac 43 \pi R^3, $$ де $R$ – радіус кулі.

Об'єм однієї кулі $$ V=\frac 43 \pi\cdot 0\mathord{,}3^3\ \text{м}^3. $$

$$ V=25\frac 43 \pi\cdot 0\mathord{,}3^3=\frac{100\pi\cdot 0\mathord{027}}{3}=\frac{2\mathord{,}7\pi}{3}=0\mathord{,}9\pi\approx 0\mathord{,}9\cdot 3\mathord{,}1\approx 2\mathord{,}79\ \text{м}^3. $$

Відповідь, найближча до точної – $2\mathord{,}9$ м$^3.$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 216. Запитання: 10621

Завдання 712 з 2199

Для якого з наведених виразів виконується рівність $|x|=-x$?

А$x=\frac 12-\frac 25$

Б$x=\frac 12\cdot \frac 25$

В$x=\frac 25-\frac 12$

Г$x=\frac 12+\frac 25$

Д$x=\frac 12:\frac 25$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання модуля дійсного числа та його властивостей.

За означенням модуля числа \begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0,\\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0, \end{array}\right.\\[7pt] |x|=-x\ \text{якщо}\ x\lt 0. \end{gather*}

З наведених виразів тільки

$$ \frac 25-\frac 12=\frac{4-5}{10}=-\frac{1}{10}\lt 0. $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 216. Запитання: 10622

Завдання 713 з 2199

Задано функцію $y=3x.$ Які з наведених тверджень є правильними?

I. Будь-яка первісна цієї функції є парною.

II. Графік будь-якої первісної цієї функції проходить через точку $O(0; 0).$

III. Графік будь-якої первісної цієї функції не перетинає вісь $x.$

Алише І

Блише ІI

Влише ІII

Глише І та ІІ

Длише І та ІІI

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння знаходити первісну, використовуючи її основні властивості.

Задана функція $y=3x.$ Її первісна

$$ F=3\cdot \frac{x^2}{2}+\mathrm{C}=\frac{3x^2}{2}+\mathrm{C}. $$

Графік первісної – параболи, які переміщуються паралельно, вздовж осі $y.$

Отже, не будь-який графік первісної проходить через точку $O(0; 0)$ та не будь-який графік перетинає вісь $x$, але будь-яка первісна цієї функції є парною.

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 216. Запитання: 10623

Завдання 714 з 2199

Розв'яжіть нерівність $-x^2-x+6\lt 0.$

А$(-\infty; -2)\cup (3; +\infty)$

Б$(-3; 2)$

В$(-\infty; -3)\cup (2; +\infty)$

Г$(-2; 3)$

Д$(6; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Квадратні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні нерівності.

\begin{gather*} -x^2-x+6\lt 0,\\[7pt] x^2+x-6\gt 0. \end{gather*}

Знайдемо нулі функції $x^2+x-6=0:$

\begin{gather*} D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-6)=25,\\[6pt] x_1=\frac{-1+5}{2}=2,\\[6pt] x_2=\frac{-1-5}{2}=-3. \end{gather*}

Зобразимо схематично графік функції.

$$ x\in (-\infty; -3)\cup (2; +\infty). $$

Отже, правильна відповідь – В.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 216. Запитання: 10624

Завдання 715 з 2199

Установіть відповідність між функцією (1–4) та її найбільшим значенням на проміжку $[0; 5]$ (А – Д).

Функція

1$y=2x-7$

2$y=-x^2+2$

3$y=\sin 2x$

4$y=\sqrt{x-1}+3$

Найбільше значення функції на проміжку $[0; 5]$

А$1$

Б$2$

В$3$

Г$4$

Д$5$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність. Лінійні, квадратичні, тригонометричні, степеневі функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою.

$y=2x-7$ лінійна функція, зростаюча, тому найбільше значення на проміжку $[0; 5]$ буде при більшому значенні аргументу: $$ y(5)=2\cdot 5-7=3. $$ Отже, 1 – B.

$y=-x^2+2$ графік – парабола з гілками вниз. На проміжку $[0; 5]$ спадає. Найбільше значення функції буде при найменшому значенні аргументу $$ y(0)=-1\cdot 0^2+2=2. $$ Отже, 2 – Б.

$y=\sin 2x$ найбільше значення $y=1.$ Отже, 3 – A.

$y=\sqrt{x-1}+3$ – зростає, тому при $x=5$

$$ y(5)=\sqrt{5-1}+3=\sqrt{4}+3=2+3=5\ -\ \text{найбільше значення.} $$

Отже, 4 – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – A, 4 – Д.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 216. Запитання: 10625

Завдання 716 з 2199

Установіть відповідність між тригонометричним виразом (1–4) та його значенням (А – Д).

Тригонометричний вираз

1$\cos^2 15^\circ+\sin^2 15^\circ$

2$4\sin \frac{\pi}{6}+2\sin \frac{3\pi}{2}$

3$2\cos \frac{\pi}{6}\sin \frac{\pi}{6}$

4$\frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3}}$

Значення тригонометричного виразу

А$\sqrt{3}$

Б$\frac{\sqrt{3}}{3}$

В$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Г$1$

Д$0$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів та знаходити їхнє числове значення.

1. $\cos^2 15^\circ+\sin^2 15^\circ=1$ за основною тригонометричною тотожністю. Отже, 1 – Г.

$$ 4\sin \frac{\pi}{6}+2\sin \frac{3\pi}{2}=4\cdot \frac 12+2\cdot (-1)=2-2=0. $$

Отже, 2 – Д.

$$ 2\cos \frac{\pi}{6}\cdot \sin \frac{\pi}{6}=\sin\left(2\cdot \frac{\pi}{6}\right)=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, $$

за формулою $$ \sin 2\alpha=2\sin \alpha\cdot \cos \alpha. $$ Отже, 3 – B.

$$ \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3}}=\mathrm{tg}\ \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}. $$

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – B, 4 – A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 216. Запитання: 10626

Завдання 717 з 2199

У циліндрі з центрами основ $O$ i $O_1$ проведено хорду $AB$ в нижній основі (див. рисунок). $\angle AOB=90^\circ$, $\angle OBO_1=60^\circ.$ Площа основи циліндра дорівнює $9\pi.$
Установіть відповідність між величиною (1–4) та її значенням (А – Д).

Величина

1радіус основи циліндра

2довжина хорди $AB$

3висота циліндра

4об'єм піраміди $O_1AOB$

Значення величини

А$\frac{9\sqrt{3}}{2}$

Б$3$

В$9\sqrt{3}$

Г$3\sqrt{2}$

Д$3\sqrt{3}$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення і властивості циліндра та піраміди до розв'язування стереометричних задач.

1. Площа основи циліндра дорівнює $9\pi.$ Отже,

\begin{gather*} \pi R^2=9\pi,\\[6pt] R^2=9,\\[6pt] R=3\ -\ \text{радіус основи циліндра.} \end{gather*}

Отже, 1 – Б.

2. $\angle AOB=90^\circ$, $AO=OB=3$ як радіуси, тому $\Delta AOB$ – прямокутний, рівнобедрений. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AO^2+OB^2,\\[7pt] AB^2=3^2+3^2=18,\\[7pt] AB=3\sqrt{2}. \end{gather*}

Отже, 2 – Г.

3. Висоту циліндра $OO_1$ знаходимо з $\Delta OO_1B$ $(\angle O=90^\circ).$ $\angle B=60^\circ$, тому

$$ OO_1=OB\cdot \mathrm{tg}\ B=3\cdot\mathrm{tg}\ 60^\circ=3\sqrt{3}. $$

Отже, 3 – Д.

4. Об'єм піраміди $O_1AOB$ знаходимо за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13S_{AOB}\cdot OO_1\\[6pt] S_{AOB}=\frac 12AO\cdot OB=\frac 12\cdot 3\cdot 3=\frac 92,\\[6pt] V=\frac 13\cdot \frac 92\cdot 3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}. \end{gather*}

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Г, 3 – Д, 4 – A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 216. Запитання: 10627

Завдання 718 з 2199

Перший автомат за $2$ хвилини наповнює гелієм $3$ однакові повітряні кульки, а другий автомат за цей самий час – на $100\ \text{%}$ більше таких кульок. Уважайте, що продуктивність роботи автоматів є сталою.

1. За скільки секунд другий автомат наповнює гелієм одну повітряну кульку?

2. Скільки всього повітряних кульок наповнять гелієм обидва автомати за $10$ хвилин одночасно?

Впишіть відповіді:

1.			2.
	20			45

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки та пропорції.

1. Перший автомат за $2$ хвилини, що дорівнює $120$ секундам, наповнює гелієм $3$ кульки, а другий – на $100\text{%}$, тобто в два рази більше, кульок.

Якщо за $120$ секунд автомат наповнить $6$ кульок, то одну він наповнить за: $$ 120:6=20\ \text{секунд}. $$

2. За $10$ хвилин перший автомат наповнить $$ 3\cdot 5=15\ \text{кульок}, $$ а другий – $$ 6\cdot 5=30\ \text{кульок}. $$

Обидва автомати за $10$ хвилин наповнять $$ 30+15=45\ \text{кульок}. $$

Відповідь: 1. $20.$
2. $45.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 216. Запитання: 10629

Завдання 719 з 2199

Периметр трапеції дорівнює $132$ см, а довжина вписаного в неї кола становить $24\pi$ см.

1. Визначте довжину (у см) середньої лінії цієї трапеції.

2. Визначте площу (у см$^2$) цієї трапеції.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	33			792

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач, знання середньої лінії трапеції та її властивості, вписаного кола в чотирикутник.

1. За властивістю чотирикутника, в який можно вписати коло, сума протилежних сторін рівна.

Отже, сума довжин основ трапеції дорівнює: $$ BC+AD=\frac P2=\frac{132}{2} = 66\ \text{см}. $$

Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, тому довжина середньої лінії становить $$ \frac 12\cdot 66=33\ \text{см}. $$

2. Довжина кола вписаного в трапецію, становить $24\pi$ см.

За формулою довжини кола знаходимо його радіус

\begin{gather*} 2\pi r=24\pi,\\[6pt] r=12\ \text{см},\\[6pt] S=pr, \end{gather*}

де $p$ – півпериметр трапеції, $r$ – радіус вписаного кола.

$$ S=\frac 12\cdot 132\cdot 12=792\ \text{см}^2. $$

Відповідь: 1. $33.$
2. $792.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 216. Запитання: 10630

Завдання 720 з 2199

За $4$ кг огірків і $5$ кг помідорів заплатили $87$ гривень. Після того як огірки подорожчали на третину, а помідори подешевшали на третину, за $4$ кг огірків і $5$ кг помідорів заплатили $86$ гривень. Визначте початкову вартість $x$ одного кілограма огірків і початкову вартість $y$ одного кілограма помідорів. У відповіді запишіть суму $x+y$ (у грн).

Впишіть відповідь:

19.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння нерівності та їхні системи. Текстові задачі. Системи лінійних рівнянь.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних рівнянь, текстові задачі.

Нехай початкова вартість $1$ кг огірків – $x$ грн, а $1$ кг помідорів – $y$ грн.

За $4$ кг огірків та $5$ кг помідорів заплатили $87$ грн, тому $4x+5y=87.$

Після подорожчання огірків на третину вони стали коштувати $\frac 43x$ грн за $1$ кг. Після подешевшання помідорів на третину їхня ціна стала $\frac 23y$ грн за $1$ кг.

За $4$ кг огірків та $5$ кг помідорів заплатили $86$ грн, тому

$$ 4\cdot \frac 43x+5\cdot \frac 23y=86. $$

Складемо систему рівнянь:

$$ \left\{\begin{array}{l} 4x+5y=87\ |\cdot 2,\\ \frac{16}{3}x+\frac{10}{3}y=86\ |\cdot 3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 8x+10y=174,\\ 16x+10y=258. \end{array}\right. $$

Віднімемо почленно рівняння системи:

\begin{gather*} 8x=84,\\[7pt] x=10\mathord{,}5. \end{gather*}

Підставимо значення $x$ в перше рівняння. Отримаємо

\begin{gather*} 4\cdot 10\mathord{,}5+5y=87,\\[7pt] 42+5y=87,\\[7pt] 5y=45,\\[7pt] y=9,\\[7pt] x+y=10\mathord{,}5+9=19\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $19\mathord{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 216. Запитання: 10631

Завдання 721 з 2199

Дотична, проведена до графіка функції $y=f(x)$ у точці $M(5; -9)$, паралельна осі абсцис. Обчисліть значення виразу $3\cdot f'(5)+10\cdot f(5).$

Впишіть відповідь:

-90

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції, її геометричний зміст.

Це завдання перевіряє знання означення похідної функції в точці, вміння знаходити кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці.

Значення похідної функції в точці – це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції. Отже, $f'(5)=0$ тому що дотична паралельна осі абсцис і кут нахилу дотичної до осі абсцис дорівнює нулю.

За умовою $f(5)=-9.$

Значення виразу

\begin{gather*} 3\cdot f'(5)+10f(5)=3\cdot 0+10\cdot (-9)=-90. \end{gather*}

Відповідь: $-90.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 216. Запитання: 10632

Завдання 722 з 2199

Музей має надати чотири картини відомого художника для виставки, присвяченої дню його народження. Одну картину вибирають з діючої експозиції музею, що містить $5$ робіт цього художника, а три інші – з архіву, у якому є $10$ його картин. Скільки всього способів такого вибору?

Впишіть відповідь:

600

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Комбінації.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру, знання комбінаторного правила добутку.

Кількість комбінацій можна знайти за формулою:

\begin{gather*} C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}. \end{gather*}

Так способів вибору $1$ картинки з $5$ з діючої експозиції: $C_5^1.$

Кількість способів вибрати $3$ картинки з $10$ з архіву $C_{10}^3.$ За комбінаторним правилом добутку всього способів такого вибору:

$$ C_5^1\cdot C_{10}^3=5\cdot \frac{10!}{3!\cdot 7!}=\frac{5\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3}=5\cdot 4\cdot 3\cdot 10=600. $$

Відповідь: $600.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 216. Запитання: 10633

Завдання 723 з 2199

У прямокутній системі координат на площині зображено вектори $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ та $\overrightarrow{c}.$ Визначте косинус кута між векторами $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ та $\overrightarrow{c}.$

Впишіть відповідь:

0.6

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати і вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання прямокутної системи координат на площині, координати точки, вміння знаходити скалярний добуток векторів, виконувати дії з векторами.

Якщо $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$, то координати вектора $\overrightarrow{AB}(x_2-x_1; y_2-y_1).$

Знайдемо координати векторів:

\begin{gather*} A_1(1; 4),\ \ A_2(3; 4),\ \ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{A_1A_2}=(\overrightarrow{2; 0}),\\[7pt] B_1(-1; 1),\ \ B_2(-3; 5),\ \ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{B_1B_2}=(\overrightarrow{-2; 4}),\\[7pt] C_1(2; 0),\ \ C_2(6; 3),\ \ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{C_1C_2}=(\overrightarrow{4; 3}). \end{gather*}

Координати вектора $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ дорівнюють $(a_1+b_1; a_2+b_2).$ $$ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(0; 4). $$

Довжина вектора обчислюється за формулою

\begin{gather*} |\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2},\\[7pt] |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{0^2+4^2}=4,\\[7pt] \overrightarrow{c}(4; 3),\ \ |\overrightarrow{c}|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=5. \end{gather*}

За формулою

$$ \cos \varphi=\frac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\cdot |\overrightarrow{c}|}. $$

Знаходимо косинус кута між векторами

$$ \cos \varphi=\frac{0\cdot 4+4\cdot 3}{4\cdot 5}=\frac{4\cdot 3}{4\cdot 5}=\frac 35=0\mathord{,}6. $$

Відповідь: $0\mathord{,}6.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 216. Запитання: 10634

Завдання 724 з 2199

Задано функцію $y=\frac{2-x}{x^2+x-6}.$

1. Розв’яжіть рівняння $x^2+x-6=0.$

2. Спростіть вираз $\frac{2-x}{x^2+x-6}.$

3. Побудуйте графік функції $y=\frac{2-x}{x^2+x-6}.$

4. Користуючись графіком, визначте область значень цієї функції.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, знаходити область значень функції, будувати графіки елементарних функцій.

1. $x^2+x-6=0.$

\begin{gather*} D=1-4\cdot 1\cdot (-6)=25,\\[6pt] x_1=\frac{-1+5}{2}=2,\\[6pt] x_2=\frac{-1-5}{2}=-3. \end{gather*}

\begin{gather*} \frac{2-x}{x^2+x-6}=\frac{2-x}{(x-2)(x+3)}=\frac{-(x-2)}{(x-2)(x+3)}=-\frac{1}{x+3}. \end{gather*}

3. Область визначення функції:

\begin{gather*} D(y)=(-\infty; -3)\cup (-3; 2)\cup (2; +\infty). \end{gather*}

Після спрощення виразу: $$ y=-\frac{1}{x+3}. $$

Паралельним перенесенням уздовж осі $Ox$ вліво на $3$ одиниці графіка $$ y=-\frac 1x, $$ отримаємо $$ y=-\frac{1}{x+3}. $$

4. $E(y)=(-\infty; -0\mathord{,}2)\cup (-0\mathord{,}2; 0)\cup (0; +\infty).$

Відповідь: 1. $2; -3.$
2. $-\frac{1}{x+3}.$
4. $(-\infty; -0\mathord{,}2)\cup (-0\mathord{,}2; 0)\cup (0; +\infty).$

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 216. Запитання: 10635

Завдання 725 з 2199

Основою піраміди $SABCD$ є паралелограм $ABCD$ з гострим кутом $A.$ Ребро $SB$ перпендикулярне до прямих $AB$ і $BC.$ Проекцією ребра $SD$ на площину основи піраміди є відрізок довжиною $10$ см, який утворює зі стороною $AD$ кут $30^\circ.$ Визначте кут між площинами $(SAD)$ i $(ABC)$, якщо $SD=15$ см.

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє ознаки перпендикулярності прямої та площини, проекції прямої на площину, кута між площинами піраміди.

1. За умовою $SB\ \perp\ AB$ та $SB\ \perp\ BC$, тому $SB\ \perp\ (ABC)$ за ознакою перпендикулярності прямої та площини.

$SB$ – висота піраміди.

2. $SB\ \perp\ (ABC)$, $SD$ – похила, тому $BD$ – проекція похилої. $BD=10$ см, $\angle BDA=30^\circ.$

3. $BK\ \perp\ AD$ – висота паралелограма. За теоремою про три перпендикуляри $SK\ \perp\ AD\Rightarrow AD\ \perp (SKB)$, а $\angle SKB$ – лінійний кут відповідного двогранного кута між площинами $(SAD)$ та $(ABC).$

4. У $\Delta BKD\ (\angle K=90^\circ)$, $\angle D=30^\circ$, $BD=10$ см.

\begin{gather*} BK=BD\sin 30^\circ=10\cdot \frac 12=5\ \text{см}. \end{gather*}

5. У $\Delta SBD\ (\angle B=90^\circ)$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} SD^2=SB^2+BD^2,\\[7pt] SB=\sqrt{SD^2-BD^2}=\sqrt{15^2-10^2}=\sqrt{225-100}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\ \text{см}. \end{gather*}

6. У $\Delta SBK\ (\angle B=90^\circ)$

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ K=\frac{SB}{BK}=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}. \end{gather*}

Отже, $\angle SKB=\mathrm{arctg}\ \sqrt{5}.$

Відповідь: $\mathrm{arctg}\ \sqrt{5}.$

Тест 216. Запитання: 10636