ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Дано \(SABC\) i \(S_1A_1B_1C_1\) – правильні трикутні піраміди. Отже, кожна бічна грань є рівностороннім трикутником.

\(\Delta SAB\) подібний \(\Delta S_1A_1B_1\) (за трьома сторонами).

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношення відповідних сторін:

\(AB=2A_1B_1\), \(k=2\) коефіцієнт подібності \(k^2=4.\)

\(S_{S_1A_1B_1}=8\) см\(^2\), тому \(S_{SAB}=8\cdot 4=32\) см\(^2.\)

Площа бічної поверхні піраміди \(SABC\) дорівнює \(3\cdot S_{SAB}=3\cdot 32=96\) см\(^2.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати довжину кола та його дуг, використовувати формули знаходження довжини кола до розв'язування планіметричних задач і задач практичного змісту.

Знаходимо довжини \(6\) півкіл, які знаходяться усередині кола радіуса \(2\) м, за формулою $$ 6C_1=6\mathbf{\pi}R, $$ де \(R\) – радіус кола та \(R=1\) м.

Емблема також складається ще з одного кола, радіусом \(2\) м, тому

Довжина матеріалу складає

Вартість матеріалу

\(\mathbf{\pi}\approx 3\mathord{,}14\), тому

З-поміж наведених сум грошей найменша, якої достатньо, щоб придбати матеріал це \(7000\) грн.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування раціональних нерівностей.

Зведемо до спільного знаменника

Розв'яжемо методом інтервалів:

Отже, \(x\in (-\infty; 0)\cup [3; +\infty).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння знаходити числове значення тригонометричних виразів, порівнювати числові вирази.

\(a=\sin 120^\circ\gt 0\), \(b=\cos 120^\circ\lt 0\) тому, що кут \(120^\circ\) лежить у ІІ координатній чверті.

Враховуючи знаки тригонометричних функцій \(b\lt 0\lt a.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє знання властивостей парних та непарних функцій.

Функція \(f(x)\) є парною, тому \(f(x)=f(-x)\), a \(f(-2)=-5.\)

Функція \(g(x)\) є непарною, тому \(g(x)=-g(x)\), \(g(-1)=-g(1)=7.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь другого степеня.

Розв'яжемо способом додавання

Підставимо \(x=0\) в перше рівняння

Розв'язок системи рівнянь \((0; 2)\) та \((0; -2).\) Отже рівняння має два розв'язки.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

На рисунку зображено квадрат \(ABCD.\) Вектори \(\overrightarrow{AB}\) та \(\overrightarrow{AD}\) із спільним початком. Їх сума зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах.

Отже, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів та знаходити числове значення при заданих значеннях змінних.

Якщо \(\log_43=a\), то за властивостями логарифма

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії, ознаки паралельності прямої та площини, ознаку мимобіжності прямих.

Задано дві мимобіжні прямі \(a\) i \(b.\) Нехай \(a\) міститься в площині \(\mathbf{\alpha}\), \(b\cap \mathbf{\alpha}=B.\)

Проведемо в площині \(\mathbf{\alpha}\) пряму \(b_1\ ||\ a\) через точку \(B.\) Через дві прямі, що перетинаються \(b_1\cap b\), можна провести площину та тільки одну. Нехай це буде площина \(\mathbf{\beta}.\)

\(\mathbf{\beta}\ ||\ a\) за ознакою паралельності прямої та площини.

Відповідь: Б.