ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє знання означення комбінації комбінаторного правила добутку; уміння розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру.

Клієнт вибирає \(2\) м'ясні добавки з \(8\), але однією обов'язково повинна бути шинка. За формулою \(C_n^m\), де \(n=7\) (тому що шинка є обов'язковою) \(m=1.\)

\(C_7^1\) – кількість варіантів вибрати м'ясну добавку.

З \(9\) овочевих добавок клієнт вибирає \(3\), крім цибули, тому за формулою $$ C_8^3=\frac{8!}{3!\cdot 5!}=\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3}=56 $$ кількість варіантів вибрати овочеву добавку.

Отже, якщо необхідно вибрати і м'ясну, і овочеву добавку, то за комбінаторним правилом добутку знаходимо: $$ C_7^1\cdot C_8^3=7\cdot 56=392. $$

Відповідь: \(392.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Коло. Круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання кола, круга та їхніх елементів; теореми синусів, рівняння кола.

Запишемо рівняння кола в канонічному вигляді

Центр кола \((2; 0)\) та радіус \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}.\)

За наслідком з теореми синусів

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні властивості. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки елементарних функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, обчислювати площу плоских фігур за допопомогою інтеграла.

1. \(f(x)=\sqrt{x}.\) Графік – вітка параболи \(D(f):x\ge 0.\)

2. \(g(x)=6-x.\) Графік – пряма.

3. Знайдемо точку перетину графіків \(f(x)\) i \(g(x).\)

Абсциса точки перетину \(x=4.\)

4. Обчислимо площу фігури, обмеженої графіками функцій \(f\) і \(g\) та віссю \(y.\)

Отже, правильна відповідь – \(S=10\frac 23\) кв. од.

Відповідь: 3. \(4.\)
                   4. \(10\frac 23.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання многогранників та їхніх елементів, перерізів многогранників; уміння застосовувати властивості многогранників до розв'язування стереометричних задач.

\(SABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат.

\(SO\ \perp\ (ABC)\), \(AC\cap BD=0.\)

1. Проведемо\(BK\ \perp SC.\)

\(\Delta BKC=\Delta DKC\) за двома сторонами та кутом між ними, \(KC\) – спільна, \(DC=BC\) – сторона квадрата.

\(\angle DCK=\angle BCK\) (правильна піраміда).

Отже, \(DK\ \perp\ SC.\)

Так як \(SC\ \perp\ BK\) i \(SC\ \perp DK\), то \(SC\ \perp\ (DKB)\) за ознакою перпендикулярності прямої та площини.

\((DKB)=\mathbf{\gamma}\) шуканий переріз.

2. \(\Delta BKD\) рівнобедрений \(BK=DK\), \(DO=OB\), звідси \(OK\) – медіана і висота.

\(OK\ \perp\ BD\) i \(OC\ \perp\ BD\) (за властивістю діагоналей), звідси \((BDC)\cap (ABC)=BD.\)

\(\angle ((BDK),\ (ABC))=\angle KOC=\mathbf{\alpha}\) лінійний кут відповідного двограного.

3. \(SC\ \perp\ (BDK)\), \(OKC(BDK)\), тому \(SC\ \perp\ DK.\)

\(\angle SOC=90^\circ\), \(\angle KOC=\mathbf{\alpha}\), тому \(\angle SOK=90^\circ-\mathbf{\alpha}.\)

У \(\Delta SOK\ (\angle K=90^\circ)\ \angle S=\mathbf{\alpha}\), \(SO=H.\)

\(OK=SO\cdot \sin S=H\sin \mathbf{\alpha}.\)

У \(\Delta SOK\ \angle O=90^\circ\), \(OC=H\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.\)

\(ABCD\) квадрат. За властивістю діагоналей \(AO=OC=OB=OD=H\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}.\)

Відповідно до умови завдання необхідно побудувати переріз піраміди \(SABC\), а перерізом цієї піраміди є \(KOB\), тому

Відповідь: \(\frac 12H^2\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}\cdot\sin \mathbf{\alpha}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові, квадратичні, раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати нерівності, що містять показникові вирази, квадратні нерівності, нерівності з параметрами.

При \(a\in (-\infty; 0]\)

нерівність \(2^x\lt a\) при від'ємному \(a\) не має розв'язку, тому \(x=2.\)

При \(a=0\)

має тільки розв'язок \(x=2.\)

При \(a\in (0; 4)\)

При \(a=4\)

При \(a\in (4; +\infty)\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами.

$$ 3(a-1)=3(0\mathord{,}7-1)=2\mathord{,}1-3=-0\mathord{,}9. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення, ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Нехай \(x\) грн – коштує \(1\) кг яблук, а \(y\) – \(1\) кг груш.

Тоді  \(9\lt x\lt 12\), \(19\lt y\lt 25\),
        \(18\lt 2x\lt 24\), \(57\lt 3y\lt 75.\)

\(2x+3y=m\), тому

\(18+57\lt m\lt 24+75\),
          \(75\lt m\lt 99.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Лінійна функція.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком, використовувати перетворення графіків функцій.

Графік функції \(y=-x\) перенесемо паралельно вздовж осі \(y\) на \(4\) одиниці вгору. Отримаємо \(y=4-x.\)

Отже, правильна відповідь Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

Отже, за наведених чисел коренем рівняння є \(x=-1.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Вибіркові характеристики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації.

На круговій діаграмі показано розподіл кількості столів, які продано. Загальна кількість проданих столів становила \(156\), секторів на діаграмі – \(12\), тому кожному сектору відповідає $$ 156:12=13\ \text{(столів).} $$

Журнальні столи становлять \(\frac{3}{12}\), а письмові – \(\frac{5}{12}\) від загальної кількості.

Журнальних столів менше на $$ \frac{5}{12}-\frac{3}{12}=\frac{2}{12}. $$

Отже, їх менше на $$ 2\cdot 13=26\ \text{(столів).} $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості конуса до розв'язування стереометричних задач.

\(OA=4\) см, \(SO=h\) – висота, \(SA=l\) – твірна.

У \(\Delta SOA\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь А.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

\(3^{7x}=9,\) \(3^{7x}=3^2\), \(7x=2.\)

\(x=2:7\), \(x=0\mathord{,}28\text{...}\), \(x\approx 0\mathord{,}3\) якщо округлити до десятих.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про коло та його елементи, центральні кути, дуги.

\(AB\) становить \(\frac 16\) довжини кола, тому центральний кут \(AOB\) також становить \(\frac 16\) від повного кута \(360^\circ.\)

$$ \angle AOB=\frac 16\cdot 360^\circ=60^\circ. $$

Відповідь: B.