Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 915

Математика. Всі запитання починаючи з 915

916917918919920921922923924925926927928929930 ▶

Завдання 916 з 2265

Знайдіть найбільше значення функції $y=x^3-3x^2+2$ на проміжку $[-1;1]$.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку за допомогою похідної.

Найбільше значення функції знайдемо за допомогою похідної:

\begin{gather*} y'=3x^2-6x. \end{gather*}

Знайдемо критичні точки:

\begin{gather*} y'(x)=0;\\[7pt] 3x^2-6x=0;\\[7pt] 3x(x-2)=0;\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=2\ \notin [-1; 1]. \end{array}\right. \end{gather*}

Знаходимо значення функції в критичній точці $x=0$ та у кінцях відрізка $[-1; 1]{:}$

\begin{gather*} f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2;\\[7pt] f(1)=1^3-3\cdot 1+2=0;\\[7pt] f(0)=0^3-3\cdot 0+2=2.\\[7pt] \underset{[-1; 1]}{\mathrm{max}} f(x) =f(0)=2. \end{gather*}

Відповідь: $2.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14553

Завдання 917 з 2265

Знайдіть найменше ціле значення параметра $a$, при якому рівняння $\log_8(x+2)=\log_8(2x-a)$ має корені.

Впишіть відповідь:

-3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифмічної функції, вміння розв'язувати логарифмічні рівняння.

\begin{gather*} \begin{cases} x+2=2x-a,\\ x+2\gt 0, \end{cases}\ \ \begin{cases} x=2+a,\\ x\gt -2. \end{cases} \end{gather*}

Рівняння має корені, якщо корінь $x=2+a$ належить ОДЗ $x\gt -2.$

Отже,

\begin{gather*} 2+a\gt -2;\\[7pt] a\gt -4. \end{gather*}

Найменше ціле значення параметра $a$ дорівнює $-3.$

Відповідь: $-3.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14554

Завдання 918 з 2265

Сторона рівностороннього трикутника $ABC$ дорівнює $5$ см. Знайдіть скалярний добуток $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.

Впишіть відповідь:

12.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори.

Це завдання перевіряє вміння знаходити скалярний добуток векторів.

\begin{gather*} AB=BC=AC=5\ \text{см}.\\[7pt] \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos A. \end{gather*}

$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=5$ (довжина вектора).

$\Delta ABC$ рівносторонній, отже$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$

\begin{gather*} \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\cdot 5\cdot \cos 60^\circ=25\cdot \frac 12=12{,}5. \end{gather*}

Відповідь: $12{,}5.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14555

Завдання 919 з 2265

Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на $50$ м$^3$. Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру $15$ м $\times$ $18$ м $\times$ $25$ м?

Впишіть відповідь:

405

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, знаходити об'єм прямокутного паралелепіпеда.

Знайдемо об'єм будинку

\begin{gather*} V=15\cdot 18\cdot 25=6750\ \text{м}^3. \end{gather*}

Кількість радіаторів, які треба замовити

\begin{gather*} 6750:50\cdot 3=405. \end{gather*}

Відповідь: $405.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14556

Завдання 920 з 2265

Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює $2\sqrt3$ см і нахилена під кутом $60^\circ$ до площини основи. Знайдіть об'єм піраміди.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити кути в просторі, знання властивостей правильної піраміди.

$SABCD$ – правильна піраміда. $ABCD$ – квадрат. $SK=2\sqrt{3}$ см – апофема.

$SO\!\perp\!(ABC)$, $SK$ – похила, $OK$ – проекція похилої.

Отже, $\angle(SK, (ABC))=\angle SKO=60^\circ.$ $SK=2\sqrt{3}$ см. $\Delta SOK\ (\angle O=90^\circ).$

\begin{gather*} SO=SK\sin K=2\sqrt{3}\cdot \sin 60^\circ=2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\ \text{см};\\[6pt] OK=SK\cdot \cos 60^\circ=2\sqrt{3}\cdot \frac 12=\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] OK=\frac 12 AD;\\[6pt] AD=2\sqrt{3}\ \text{см};\\[6pt] V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де $S_\text{осн}=S_{ABCD}=AD^2=(2\sqrt{3})^2=12$ см$^2$, $H=SO=3$ см.

\begin{gather*} V=\frac 13\cdot 12\cdot 3=12\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: $12.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14557

Завдання 921 з 2265

У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ ($S$ – вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника $SDC$, проведеною з вершини $D$, та середньою лінією трикутника $ASC$, що паралельна основі піраміди.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Нехай $SABCD$ – задана правильна піраміда, в основі якої лежить квадрат $ABCD$, і $SO$ її висота. Позначимо сторону основи $AB$ через $a$, тоді бічне ребро $SA=2a.$

У трикутнику $SDC$ з вершини $D$ проведемо медіану $DN$, $N$ – середина ребра $SC.$ У трикутнику $ASC$ проведемо середню лінію, паралельну $AC.$ Вона перетинає ребра $SA$ та $SC$ у точках $M$ та $N$ відповідно, $AM = MS$ та $SN = NC$ (за означенням середньої лінії). Оскільки $AC$ лежить у площині $ABC$ і $MN\!\parallel\!AC$, то $MN\!\parallel\!(ABC).$ Прямі $MN$ та $ND$ перетинаються в точці $N$, тому кут $MND$ є шуканим кутом між медіаною $DN$ трикутника $SDC$ і середньою лінією $MN$ трикутника $ASC.$ Позначимо $\angle MND=\alpha.$

Діагональ $AC$ квадрата $ABCD$ дорівнює $a\sqrt{2}$, тому середня лінія $MN=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$

Висота $SO$ піраміди перетинає $MN$ в точці $L.$ Оскільки трикутники $ASC$ і $SMN$ є рівнобедреними, то $AO=OC$ і $ML=LN=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.$

З прямокутного трикутника $SOC$

\begin{gather*} SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\sqrt{4a^2-\frac{2a^2}{4}}=a\sqrt{\frac 72}. \end{gather*}

За теоремою Фалеса

\begin{gather*} SL=LO=\frac 12SO=a\sqrt{\frac 78}. \end{gather*}

З прямокутного трикутника $LOD$

\begin{gather*} LD=\sqrt{OD^2+LO^2}=\sqrt{\frac{2a^2}{4}+\frac{7a^2}{8}}=a\sqrt{\frac{11}{8}}. \end{gather*}

Трикутник $DNM$ рівнобедрений, оскільки $DM=DN$ як медіани рівних трикутників $SAD$ та $SCD.$ Медіана $DL$ є висотою. Отже, трикутник $DLN$ є прямокутним.

З трикутника $DLN$ маємо:

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \alpha=\frac{LD}{LN}=\sqrt{11}.\\[7pt] \alpha=\mathrm{arctg}\ \sqrt{11}. \end{gather*}

Відповідь: $\mathrm{arctg}\ \sqrt{11}.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14558

Завдання 922 з 2265

Побудуйте графік функції $y-\dfrac{\sqrt{-x}+|4-\sqrt{-x}|}{2}$.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Знаходимо область визначення функції, тобто розв’язуємо нерівність $−x\ge 0.$ Отже, $D(y)=(-\infty; 0].$

Знайдемо точки, у яких модуль обертається в нуль, тобто розв’яжемо рівняння $4-\sqrt{-x}=0$, звідки $x=−16.$

Якщо $x\in (-\infty; −16]$, то

\begin{gather*} y=\frac{\sqrt{-x}-(4-\sqrt{-x})}{2}=\frac{2\sqrt{-x}-4}{2}=\sqrt{-x}-2. \end{gather*}

Якщо $x\in (−16; 0]$, то

\begin{gather*} y=\frac{\sqrt{-x}+4-\sqrt{-x}}{2}=2. \end{gather*}

Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14559

Завдання 923 з 2265

Розв'яжіть нерівність $(x^2-2\sqrt a\cdot x+1)(2^x+\lg a) \lt 0$.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Визначимо область допустимих значень параметра $a{:}\ a\gt 0.$

Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:

\begin{gather*} \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x^2-2x\sqrt{a}+1\gt 0,\\ 2^x+\lg a\lt 0; \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x^2-2x\sqrt{a}+1\lt 0,\\ 2^x+\lg a\gt 0. \end{cases} \end{array}\right. \end{gather*}

Розв’яжемо спочатку першу систему.

Розглянемо нерівність $x^2-2\sqrt{a}\cdot x+1\gt 0.$

$\dfrac D4=(\sqrt{a})^2-1=a-1.$

1. Якщо $a\lt 1$, то розв’язком першої нерівності даної системи буде $x\in R.$ Тоді розв’язком нерівності $2^x\lt -\lg a$ буде $x\in \left(-\infty; \log_2 \lg\dfrac 1a\right)$ при $0\lt a\lt 1.$ Тобто, розв’язок першої системи матиме вигляд $x\in\left(-\infty; \log_2 \lg\dfrac 1a\right)$ при $0\lt a\lt 1.$

2. Якщо $a\ge 1$, то розв’язком нерівності $x^2-2\sqrt{a}\cdot x+1\gt 0$ буде $x\in (-\infty; \sqrt{a}- \sqrt{a-1})\cup (\sqrt{a}+\sqrt{a+1}; +\infty)$, а нерівність $2^x\lt -\lg a$ не має розв’язків. Отже, перша система не має розв’язків.

Розв’яжемо другу систему.

Ураховуючи розв’язання попередньої системи, $\dfrac D4=(\sqrt{a})^2-1=a-1.$

1. Якщо $a\lt 1$, то нерівність не має розв’язків. Отже, друга система не має розв’язків.

2. Якщо $a\gt 1$, то розв’язком нерівності $x^2-2\sqrt{a}\cdot x+1\lt 0$ буде $x\in (\sqrt{a}-\sqrt{a-1}; \sqrt{a}+\sqrt{a-1}).$ Тоді розв’язком нерівності $2^x\gt -\lg a$ буде $x\in R.$ Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд $x\in (\sqrt{a}-\sqrt{a-1}; \sqrt{a}+\sqrt{a-1}).$

3. Якщо $a=1$, то одержимо нерівність $x^2-2x+1\lt 0$, звідси $x\in \varnothing.$

Відповідь:
при $0\lt a\lt 1\ \ x\in\left(-\infty; \log_2 \lg\dfrac 1a\right)$;
при $a\gt 1\ \ x\in (\sqrt{a}-\sqrt{a-1}; \sqrt{a}+\sqrt{a-1})$;
при $a=1\ \ x\in \varnothing.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14560

Завдання 924 з 2265

$\frac{2a+2}{2}=$

А$a+2$

Б$2a+1$

В$a+1$

Г$2a$

Д$a$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Числа і вирази. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, розкладати многочлен на множники, скорочувати дріб.

$$ \frac{2a+2}{2}=\frac{2(a+1)}{2}=a+1. $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14596

Завдання 925 з 2265

Три прямі, розміщені в одній площині, перетинаються в одній точці (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\mathbf{\alpha}.$

А$80^\circ$

Б$50^\circ$

В$90^\circ$

Г$100^\circ$

Д$70^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач, знання властивості вертикальних кутів.

$\angle \mathbf{\beta}=60^\circ$ як вертикальний з даним кутом $60^\circ.$

$\mathbf{\alpha}+\mathbf{\beta}+40^\circ=180^\circ$ оскільки складають розгорнутий кут.

Тому $\mathbf{\alpha}=180^\circ-40^\circ-\mathbf{\beta}=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ.$

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14597

Завдання 926 з 2265

У буфеті друзі купили кілька однакових тістечок вартістю $10$ грн кожне
і $5$ однакових булочок вартістю $x$ грн кожна. Яке з чисел може виражати загальну вартість цієї покупки (у грн), якщо $x$ – ціле число?

А$31$

Б$32$

В$33$

Г$34$

Д$35$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні). Ознаки подільності чисел на $5$, $10.$

Це завдання перевіряє вміння використовувати ознаки подільності.

Друзі купили кілька однакових тістечок вартістю $10$ грн кожне, тому вартість покупки виражається цілим числом, кратним $10.$ Крім того друзі купили $5$ однакових булочок вартістю $x$ грн кожна, вартість цієї покупки виражається числом, кратним $5.$ Числа $10$ і $5$ кратні $5$, тому загальна вартість всієї покупки виражається числом, кратним $5.$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14598

Завдання 927 з 2265

Ha рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-4; 6].$ Укажіть найбільше значення функції $f$ нa цьому проміжку.

А$-4$

Б$3$

В$4$

Г$5$

Д$6$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Функціональна залежність. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Найбільше значення функції $f(x)$ на проміжку $[-4; 6]$ досягається при $x=-4.$

Отже, $f(-4)=5.$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14599

Завдання 928 з 2265

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $\log_4(x-1)=3$?

А$4$

Б$13$

В$63$

Г$65$

Д$82$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні рівняння. Функціональна залежність. Логарифмічна функція.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння.

$\log_4(x-1)=3.$ За означенням логарифма можна записати $x-1=4^3.$

Звідси $x-1=64$, $x=65.$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14600

Завдання 929 з 2265

Укажіть формулу для обчислення об’єму $V$ півкулі радіуса $R$ (див. рисунок).

А$V=4\mathbf{\pi}R^2$

Б$V=\frac{2}{3}\mathbf{\pi}R^3$

В$V=\mathbf{\pi}R^3$

Г$V=2\mathbf{\pi}R^2$

Д$V=\frac{4}{3}\mathbf{\pi}R^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Стереометрія. Многогранники, тіла й поверхні обертання.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення об'єму геометричних тіл.

Об'єм кулі знаходиться за формулою $$ V=\frac 43\mathbf{\pi}R^3. $$ У завданні необхідо знайти об'єм півкулі, тому

$$ V=\left(\frac 43\mathbf{\pi}R^3\right):2=\frac{2\mathbf{\pi}R^3}{3}. $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14601

Завдання 930 з 2265

Розв’яжіть рівняння $4\sqrt{x}=1.$

А$\frac 12$

Б$\frac 18$

В$16$

Г$-\frac 12; \frac 12$

Д$\frac{1}{16}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування ірраціональних рівнянь, уміння розв'язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} 4\sqrt{x}=1,\\[6pt] \sqrt{x}=\frac 14. \end{gather*}

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата й знаходимо $x.$

\begin{gather*} (\sqrt{x})^2=\left(\frac 14\right)^2,\\[6pt] x=\frac{1}{16}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 298. Запитання: 14602