Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 900

Математика. Всі запитання починаючи з 900

901902903904905906907908909910911912913914915 ▶

Завдання 901 з 2265

На рисунку зображений графік функції \(y=f(x)\) та дотичні до нього в точках \(x_1\) та \(x_2\). Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть \(f'x_1+f'x_2\).

А\(1\)

Б\(\dfrac{\sqrt3}{3}\)

В\(\sqrt3\)

Г\(\dfrac{1}{2}\)

Д\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту похідної.

Геометричний зміст похідної:

\begin{gather*} f'(x_0)=k=\mathrm{tg}\ \alpha, \end{gather*}

де \(\alpha\) – кут нахилу дотичної до графіка функції в точці \(x_0\) до додатного напряму осі абсцис.

\begin{gather*} f'(x_1)=\mathrm{tg}\ 45^\circ=1;\\[7pt] f'(x_2)=\mathrm{tg}\ 0^\circ=0. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} f'(x_1)+f'(x_2)=1+0=1. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14538

Завдання 902 з 2265

Градусна міра зовнішнього кута \(A\) рівнобедреного трикутника \(ABC\) \((AB=BC)\) становить \(125^\circ\). Знайдіть градусну міру внутрішнього кута \(B\).

А\(30^\circ\)

Б\(40^\circ\)

В\(50^\circ\)

Г\(60^\circ\)

Д\(70^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей рівнобедреного трикутника та зовнішнього кута трикутника.

\(\angle DAB=125^\circ.\)

\begin{gather*} \angle BAC=\angle BCA=180^\circ-125^\circ=55^\circ. \end{gather*}

Сума кутів трикутника

\begin{gather*} \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ;\\[7pt] \angle B=180^\circ-2\cdot 55^\circ=70^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14539

Завдання 903 з 2265

Точка \(M\) – середина сторони квадрата \(ABCD\). Площа зафарбованої частини дорівнює \(7\) см\(^2\). Знайдіть площу всього квадрата.

А\(14\) см\(^2\)

Б\(21\) см\(^2\)

В\(28\) см\(^2\)

Г\(35\) см\(^2\)

Д\(42\) см\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання поняття площі, формул площі трикутника та квадрата.

\(S_{ABM}=7\) см\(^2.\)

Нехай \(AB=a\), тоді \(BM=\dfrac 12 BC=\dfrac a2.\)

\begin{gather*} S_{ABM}=\frac 12\cdot AB\cdot BM;\\[6pt] \frac 12\cdot a\cdot \frac a2=7;\\[6pt] a^2=28\ \text{см}^2;\\[7pt] S_{ABCD}=a^2=28\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14540

Завдання 904 з 2265

Знайдіть координати точки \(M\), відносно якої симетричні точки \(E(-3;8;7)\) і \(F(-9;6;1)\).

А\((-6;7;4)\)

Б\((-12;14;8)\)

В\((0;0;0)\)

Г\((3;1;3)\)

Дінша відповідь

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Координати у просторі.

Це завдання перевіряє знання властивостей симетричних фігур, формули координат середини відрізка.

Якщо точки \(F\) та \(E\) симетричні відносно точки \(M\), то \(EM=MF.\)

За формулою координати середини відрізка знайдемо координати точки \(M{:}\)

\begin{gather*} x_M=\frac{-3+(-9)}{2}=\frac{-12}{2}=-6;\\[6pt] y_M=\frac{8+6}{2}=7;\\[6pt] z_M=\frac{7+1}{2}=4.\\[6pt] M(-6; 7; 4). \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14541

Завдання 905 з 2265

Знайдіть об'єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює \(a\) см.

А\(\dfrac{4}{3}\pi a^3\) см\(^3\)

Б\(\dfrac{2}{3}\pi a^3\) см\(^3\)

В\(\dfrac{1}{3}\pi a^3\) см\(^3\)

Г\(\dfrac{1}{6}\pi a^3\) см\(^3\)

Д\(\dfrac{1}{12}\pi a^3\) см\(^3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули об'єму кулі.

При обертанні круга навколо діаметра, довжина якого \(a\), утвориться куля.

За формулою об'єму кулі

\begin{gather*} V=\frac 43\pi R^3, \end{gather*}

де \(R\) – радіус кулі, знаходимо

\begin{gather*} R=\frac a2;\\[6pt] V=\frac 43\pi\left(\frac a2\right)^3=\frac 43\pi\cdot \frac{a^3}{8}=\frac{\pi a^3}{6}=\frac 16\pi a^3\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14542

Завдання 906 з 2265

Обчисліть \((\sqrt[\scriptstyle{6}]{27}+\sqrt[\scriptstyle{4}]{64})(\sqrt[\scriptstyle{6}]{27}-\sqrt[\scriptstyle{4}]{64})\).

Впишіть відповідь:

-5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

\begin{gather*} (\sqrt[\scriptstyle 6]{27}+\sqrt[\scriptstyle 4]{64})(\sqrt[\scriptstyle 6]{27}-\sqrt[\scriptstyle 4]{64})=(\sqrt[\scriptstyle 6]{27})^2-(\sqrt[\scriptstyle 4]{64})^2=\\[7pt] =\sqrt[\scriptstyle 6]{3^6}-\sqrt[\scriptstyle 4]{2^{12}}=3-2^3=3-8=-5. \end{gather*}

Відповідь: \(-5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14543

Завдання 907 з 2265

Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.

Впишіть відповідь:

144

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє вміння знаходити суму \(n\)-перших членів арифметичної прогресії.

Непарні натуральні числа складають арифметичну прогресію: \(a_1=1\), \(d=2.\)

За формулою суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії

\begin{gather*} S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n, \end{gather*}

знаходимо

\begin{gather*} S_{12}=\frac{2\cdot 1+2(12-1)}{2}\cdot 12=\frac{2+22}{2}\cdot 12=12\cdot 12=144. \end{gather*}

Відповідь: \(144.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14544

Завдання 908 з 2265

Укажіть найменше ціле число, яке є розв'язком нерівності

\(\dfrac{(x-3)(x+10)(x^2+8x-9)}{x^2+8x-9} \lt 0\).

Впишіть відповідь:

-8

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні нерівності методом інтервалів.

Розкладемо \((x^2+8x-9)\) на множники: \begin{gather*} x^2+8x-9=(x-1)(x+9);\\[7pt] \begin{cases} (x-3)(x+10)\lt 0,\\ x\ne 1,\\ x\ne -9. \end{cases} \end{gather*}

Найменше ціле число, яке є розв'язком нерівності \(x=-8.\)

Відповідь: \(-8.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14545

Завдання 909 з 2265

На перегоні, довжина якого дорівнює \(240\) км, поїзд рухався зі швидкістю на \(10\) км/год менше, ніж мала бути за розкладом, і запізнився на \(48\) хв. З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом? (Відповідь в км/год).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на рух.

Нехай швидкість поїзда за розкладом \(x\) км/год, тоді швидкість на перегоні була \((x-10)\) км/год.

	\(V\), км/год	\(t\), год	\(S\), км
За розкладом	\(x\)	\(\dfrac{240}{x}\)	\(240\)
Фактично	\(x-10\)	\(\dfrac{240}{x-10}\)	\(240\)

Поїзд запізнився на \(48\ \text{хв}=\dfrac{48}{60}\ \text{год}=\dfrac 45\ \text{год}.\) Складемо рівняння:

\begin{gather*} \frac{240}{x-10}-\frac{240}{x}=\frac 45;\\[6pt] \frac{240(x-x+10)}{x(x-10)}=\frac 45;\\[6pt] \frac{2400}{x(x-10)}=\frac 45\ \big| :4;\\[6pt] \frac{600}{x(x-10)}=\frac 15;\\[6pt] \begin{cases} x(x-10)=5\cdot 600,\\ x\ne 0;\ x\ne 10, \end{cases}\ \ \begin{cases} x^2-10x-3000=0,\\ x\ne 0;\ x\ne 10, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} x=-50;\ x=60,\\ x\ne 0;\ x\ne 10. \end{cases} \end{gather*}

\(x=-50\) не задовольняє умові задачі.

Отже, швидкість поїзда за розкладом – \(60\) км/год.

Відповідь: \(60.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14546

Завдання 910 з 2265

Обчисліть \(2\sin15^\circ\cos15^\circ\operatorname{tg}30^\circ\operatorname{ctg}30^\circ\).

Впишіть відповідь:

0.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Тригонометричні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} 2\sin 15^\circ\cdot \cos 15^\circ\mathrm{tg}\ 30^\circ\mathrm{ctg}\ 30^\circ=\sin 30^\circ\cdot 1=\frac 12=0{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(0{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14547

Завдання 911 з 2265

Розв'яжіть рівняння \((x^2-9)\sqrt{-15+8x-x^2}=0\). У відповідь запишіть суму коренів.

Впишіть відповідь:

11 або 8

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Ірраціональні нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні та ірраціональні нерівності.

\begin{gather*} (x^2-9)\sqrt{-15+8x-x^2}=0.\\[7pt] \begin{cases} -15+8x-x^2\ge 0,\\ \left[\begin{array}{l} x^2-9=0,\\ -15+8x-x^2=0, \end{array}\right. \end{cases}\ \ \begin{cases} x^2-8x+15\le 0,\\ \left[\begin{array}{l} x=\pm 3,\\ x^2-8x+15=0, \end{array}\right. \end{cases}\\[7pt] x^2-8x+15=0;\\[7pt] D=64-4\cdot 1\cdot 15=4;\\[6pt] x_1=\frac{8+2}{2}=5;\\[6pt] x_2=\frac{8-2}{2}=3. \end{gather*}

\begin{gather*} \begin{cases} x\in [3; 5],\\ \left[\begin{array}{l} x_1=3,\\ x_2=5,\\ x_3=-3. \end{array}\right. \end{cases} \end{gather*}

Корені рівняння \(x_1=3\) та \(x_2=5.\)

Сума коренів

\begin{gather*} x_1+x_2=3+5=8. \end{gather*}

Відповідь: \(8.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14548

Завдання 912 з 2265

Розв'яжіть систему рівнянь \(\begin{cases}2^{2y-x}=32, \\ \log_\frac{1}{2}(y-x)=-2.\end{cases}\)

Запишіть у відповідь добуток \(x_0 \cdot y_0\), якщо пара \((x_0,y_0)\) є розв'язком вказаної системи рівнянь.

Впишіть відповідь:

-3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові та логарифмічні рівняння.

ОДЗ: \(y-x\gt 0\), \(y\gt x.\)

\begin{gather*} \begin{cases} 2^{2y-x}=2^5,\\ y-x=\left(\dfrac 12\right)^{-2}, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} 2y-x=5,\\ \underline{y-x=4}, \end{cases}\\[0pt] y=1. \end{gather*}

Підставимо значення \(y=1\) у друге рівняння:

\begin{gather*} 1-x=4,\\[7pt] x=-3. \end{gather*}

\((-3; 1)\) – розв'язок системи рівнянь.

\begin{gather*} x_0\cdot y_0=-3. \end{gather*}

Відповідь: \(-3.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14549

Завдання 913 з 2265

Середній вік одинадцяти футболістів команди становить \(22\) роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став \(21\) рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє знання середнього арифметичного чисел, уміння розв'язувати текстові задачі.

Середній вік одинадцяти футболістів \(22\) роки. Отже, сумарний вік одинадцяти футболістів

\begin{gather*} 22\cdot 11=242\ \text{роки}. \end{gather*}

Після того, як одного футболіста було вилучено з поля, середній вік гравців, що залишилися, став \(21\) рік. Отже, сумарний вік \(10\) футболістів:

\begin{gather*} 21\cdot 10=210\ \text{років}.\\[7pt] 242-210=32\ \text{роки} - \text{вік футболіста, який залишив поле}. \end{gather*}

Відповідь: \(32.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14550

Завдання 914 з 2265

Обчисліть \(\log_34\cdot\log_45\cdot\log_57\cdot\log_781\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Алгебра і початки чисел. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів, знання властивостей логарифма.

Спростимо за формулою переходу до нової основи:

\begin{gather*} \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}.\\[7pt] \log_3 4\cdot \log_4 5\cdot \log_5 7\cdot \log_7 81=\\[6pt] =\log_3 4\cdot \frac{\log_3 5}{\log_3 4}\cdot \frac{\log_3 7}{\log_3 5}\cdot \frac{\log_3 81}{\log_3 7}=\log_3 81=4. \end{gather*}

Відповідь: \(4.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14551

Завдання 915 з 2265

Знайдіть найбільше ціле значення параметра \(a\), при якому система рівнянь

\(\begin{cases}y-x=a, \\ x^2+y^2=1\end{cases}\) має два розв'язки.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння з параметрами, зокрема графічно.

Розв'яжемо графічно:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} y-x=a,\\ x^2+y^2=1, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} y=x+a,\\ x^2+y^2=1. \end{array}\right. \end{gather*}

\(x^2+y^2=1\) – рівняння кола, з центром в точці \((0; 0)\) та радіусом \(R=1.\)

\(y=x+a\) – пряма \(y=x\), яка переміщується вздовж осі \(Oy\) на \(a\) одиниць.

Кількість розв'язків системи – кількість точок перетину графіків.

Найбільше ціле значення параметра \(a=1\) при якому система має два розв'язки.

Відповідь: \(1.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 296. Запитання: 14552