ТЕМА: Алгебра і почаки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати вибіркові характеристики рядів даних, зокрема медіану.

Дані таблиці розставимо за зростанням. Медіаною ряда чисел називається число, яке стоїть посередині впорядкованого за зростанням ряду чисел.

У ряду \(124\), \(140\), \(140\), \(\underline{163}\), \(168\), \(170\), \(195\) посередині стоїть число \(163.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання аксіом стереометрії, ознаки паралельності прямої та площини, ознаку мимобіжності прямих.

Задано дві мимобіжні прямі \(a\) i \(b.\) Нехай \(a\) міститься в площині \(\mathbf{\alpha}\), \(b\cap \mathbf{\alpha}=B.\)

Проведемо в площині \(\mathbf{\alpha}\) пряму \(b_1\ ||\ a\) через точку \(B.\) Через дві прямі, що перетинаються \(b_1\cap b\), можна провести площину та тільки одну. Нехай це буде площина \(\mathbf{\beta}.\)

\(\mathbf{\beta}\ ||\ a\) за ознакою паралельності прямої та площини.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів та знаходити числове значення при заданих значеннях змінних.

Якщо \(\log_43=a\), то за властивостями логарифма

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

На рисунку зображено квадрат \(ABCD.\) Вектори \(\overrightarrow{AB}\) та \(\overrightarrow{AD}\) із спільним початком. Їх сума зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах.

Отже, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь другого степеня.

Розв'яжемо способом додавання

Підставимо \(x=0\) в перше рівняння

Розв'язок системи рівнянь \((0; 2)\) та \((0; -2).\) Отже рівняння має два розв'язки.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність.

Це завдання перевіряє знання властивостей парних та непарних функцій.

Функція \(f(x)\) є парною, тому \(f(x)=f(-x)\), a \(f(-2)=-5.\)

Функція \(g(x)\) є непарною, тому \(g(x)=-g(x)\), \(g(-1)=-g(1)=7.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння знаходити числове значення тригонометричних виразів, порівнювати числові вирази.

\(a=\sin 120^\circ\gt 0\), \(b=\cos 120^\circ\lt 0\) тому, що кут \(120^\circ\) лежить у ІІ координатній чверті.

Враховуючи знаки тригонометричних функцій \(b\lt 0\lt a.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування раціональних нерівностей.

Зведемо до спільного знаменника

Розв'яжемо методом інтервалів:

Отже, \(x\in (-\infty; 0)\cup [3; +\infty).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати довжину кола та його дуг, використовувати формули знаходження довжини кола до розв'язування планіметричних задач і задач практичного змісту.

Знаходимо довжини \(6\) півкіл, які знаходяться усередині кола радіуса \(2\) м, за формулою $$ 6C_1=6\mathbf{\pi}R, $$ де \(R\) – радіус кола та \(R=1\) м.

Емблема також складається ще з одного кола, радіусом \(2\) м, тому

Довжина матеріалу складає

Вартість матеріалу

\(\mathbf{\pi}\approx 3\mathord{,}14\), тому

З-поміж наведених сум грошей найменша, якої достатньо, щоб придбати матеріал це \(7000\) грн.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

Дано \(SABC\) i \(S_1A_1B_1C_1\) – правильні трикутні піраміди. Отже, кожна бічна грань є рівностороннім трикутником.

\(\Delta SAB\) подібний \(\Delta S_1A_1B_1\) (за трьома сторонами).

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношення відповідних сторін:

\(AB=2A_1B_1\), \(k=2\) коефіцієнт подібності \(k^2=4.\)

\(S_{S_1A_1B_1}=8\) см\(^2\), тому \(S_{SAB}=8\cdot 4=32\) см\(^2.\)

Площа бічної поверхні піраміди \(SABC\) дорівнює \(3\cdot S_{SAB}=3\cdot 32=96\) см\(^2.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона-Лейбнiца для обчислення визначеного інтеграла.

Використали формулу Ньютона-Лейбніца:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Функціональна залежність. Квадратична, показникова, логарифмічна та степенева функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область значень функцій.

Область значень функції — це множина всіх можливих значень, які приймає функція при всіх допустимих значеннях аргументу.

Зобразимо схематично графіки функцій та визначимо область значень кожної з них.

1. \(y=\log_2x\)

$$ E(y)=(-\infty; +\infty). $$

Отже, 1 – Д.

2. \(y=2^x\)

$$ E(y)=(0; +\infty). $$

Отже, 2 – Г.

3. \(y=2\sqrt{x}\)

$$ E(y)=[0; +\infty). $$

Отже, 3 – B.

4. \(y=2-x^2\)

$$ E(y)=(-\infty; 2]. $$

Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – В, 4 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні).

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, використовувати ознаки подільності, знаходити найменше спільне кратне кількох чисел, розрізняти види чисел.

1. \(32+18=50\) є числом, що ділиться націло на \(10.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(32\cdot 18=16\cdot 2\cdot 2\cdot 9=16\cdot 4\cdot 9\) є квадратом натурального числа.

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(32:18=\frac{32}{18}=\frac{16}{9}\) є раціональним числом, яке не є цілим.

Отже, правильна відповідь – Г.

4. \(32-18=14\) є дільником числа \(84\ (84:14=6).\)

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Г, 4 – Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей дотичної до кола, центральних та вписаних кутів, видів трикутників та їхніх основних властивостей.

1. За властивістю дотичної до кола \(OC\ \perp\ MP\), тому \(\angle OCM=90^\circ.\)

Отже, 1 – В.

2. \(\angle BAC=80^\circ\), \(AK\) – діаметр, тому \(AK\) – бісектриса \(\angle BAC\), \(\angle BAK=\angle KAC=40^\circ.\)

\(\Delta AOC\) рівнобедрений (\(OA=OC\) як радіуси) \(\angle A=\angle C=40^\circ.\)

Отже, 2 – A.

3. Градусна міра дуги \(\overset{\smile}{AB}\) дорівнює градусній мірі центрального кута \(\angle AOB.\)

\(\Delta AOB=\Delta AOC\) (за трьома сторонами).

У \(\Delta AOB\ \angle A=\angle B=40^\circ\), \(\angle O=180^\circ-80^\circ=100^\circ.\)

Градусна міра дуги \(\overset{\smile}{AB}=100^\circ.\)

Отже, 3 – Г.

4. За властивістю вписаного кута: \(\angle CAK=\frac 12\) дуги \(KC\), дуга \(KC=2\angle CAK=2\cdot 40^\circ=80^\circ.\)

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – В, 2 – A, 3 – Г, 4 – Б.