ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати задачі на відсоткові розрахунки та пропорції.

1. П'ята частина від вартості чохла – знижка. Отже, чохол буде коштувати \(\frac 45\)
від \(200\) грн. \(\frac{200\cdot 4}{5}=160\) грн.

Карта пам'яті – в подарунок. Сума грошей \(P\), які заплатить Михайло: $$ P=4500+160=4660\ \textit{грн}. $$

2. Якщо Михайло купував би не за акційними умовами, то заплатив би $$ 4500+200+300=5000\ \textit{грн}. $$ \(P\) від \(5000\) становить: $$ \frac{4660}{5000}\cdot 100\text{%}=\frac{466}{5}\text{%}=93\mathord{,}2\text{%}. $$

Відповідь: 1. \(4660.\)
                   2. \(93\mathord{,}2.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь та об'єму конуса.

1. \(R=OB=6\), \(d=BC=12.\) Отже, 1 – Б.

2. \(R=OB=3\), \(AO=H=3\sqrt{3}.\)

\(\Delta AOB (\angle O=90^\circ)\) за теореою Піфагора \begin{gather*} AB^2=BO^2+AO^2=9+27=36,\\[7pt] AB=AC=BC=6. \end{gather*} Отже, 2 – A.

3. \(R=OB=4\), \(AO=H=3\), $$ S_\text{бічна}=\mathbf{\pi}Rl, $$ де \(l=AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\), $$ S_\text{бічна}=\mathbf{\pi}\cdot 4\cdot 5=20\mathbf{\pi}. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання про подібні трикутники, властивість середньої лінії трапеції, властивості паралелограма.

\(BO:OK=2:3\), \(P_{ABCM}=84\), \(BC=12.\)

1. \(AB\ ||\ CM\) за умовою \(BC\ ||\ AM\) за властивістю трапеції. \(ABCM\) – паралелограм.

\(P_{ABCM}=2(AB+BC)=2(AB+12)=84\), \(AB=30.\)
Отже, 1 – Б.

2. \(\Delta BOC\) подібний \(\Delta KOM\) (за \(2\) кутами). \(\angle BOC=\angle MOK\) – вертикальні. \(\angle OBC=\angle OKM\) – внутрішні різносторонні.

Отже, 2 – B.

3. \(AD=2AM+MK=2\cdot 12+18=24+18=42.\)

Середня лінія трапеції дорівнює $$ \frac{BC+AD}{2}=\frac{12+42}{2}=\frac{54}{2}=27. $$ Отже, 3 – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – B, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степенів, вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, степеневих виразів.

1. \(a^4:a^3=a^{4-3}=a^1=a.\) Отже, 1 – Г.

2. \(\frac{a^2-a}{1-a}=\frac{a(a-1)}{-(a-1)}=-a.\) Отже, 2 – Д.

3. \(7^{-\log_7a}=7^{\log_7a^{-1}}=a^{-1}=\frac 1a.\) Отже, 3 – B.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач практичного змісту.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати систему лінійних нерівностей.

Розв'яжемо системи лінійних нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 4x-7\ge 2x+1,\\ x\ge -3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} 4x-2x\ge 1+7,\\ x\ge -3, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 2x\ge 8,\\ x\ge -3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\ge 4,\\ x\ge -3. \end{array}\right. \end{gather*}

Отже, розв'язок нерівності \(x\in [4; +\infty).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання означення первісної.

Загальний вигляд первісної функції \(f(x)\)

\(F(x)=10x^5+C\), де \(C\) – довільне число.

Тоді, \(G(x)=10x^5+7.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння, знання числових проміжків.

За означенням логарифма \begin{gather*} \log_ab=c,\ \ b=a^c,\\[6pt] \log_{\frac 13}(x+1)=-2,\ \ x+1=\left(\frac 13\right)^{-2},\\[6pt] x+1=3^2,\ \ x+1=9,\ \ x=8.\\[7pt] 7\lt 8\le 9. \end{gather*} Отже, \(x\in (7; 9].\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площ поверхонь призми, площі трикутника.

\(\Delta ABC\) – рівнобедрений. \(AB=AC=13\) см, \(BC=10\) см.

Бічні грані – прямокутники. Найбільша за площею бічна грань \(AA_1C_1C\) або \(A_1B_1BA.\)

У \(\Delta ABC\ AK\perp BC\) – висота та медіана. \(KC=5\) см.

У \(\Delta AKC\ (\angle K=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння використовувати властивості модуля до розв'язування задач.

Властивість модуля \begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ \ a\ge 0;\\ -a,\ \text{якщо}\ \ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] 1-\sqrt{3}\lt 0. \end{gather*} Отже, $$ |1-\sqrt{3}|=-(1-\sqrt{3})=-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1. $$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння використовувати перетворення графіків функцій.

Елементарними перетвореннями графік функції \(y=x^2\) перемістили на \(2\) одиниці вліво вздовж осі \(Ox\) та отримали графік фукнції \(y=(x+2)^2.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

За формулою $$ \operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=\frac{\sin\mathbf{\alpha}}{\cos\mathbf{\alpha}} $$ спростимо: $$ \frac{\cos\mathbf{\alpha}\cdot\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}}{\sin^2\mathbf{\alpha}}=\frac{\frac{\cos\mathbf{\alpha}\cdot\sin\mathbf{\alpha}}{\cos\mathbf{\alpha}}}{\sin^2\mathbf{\alpha}}=\frac{\sin\mathbf{\alpha}}{\sin^2\mathbf{\alpha}}=\frac{1}{\sin\mathbf{\alpha}}. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення площі поверхні кулі.

Площа сфери знаходиться за формулою: \(S=4\mathbf{\pi}R^2.\) Виразимо з формули \(R:\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей ромба, трапеції, прямокутника, властивостей чотирикутників, вписаних в коло.

Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює \(180^\circ.\) Отже, навколо ромба та довільної трапеції не можна описати коло, але навколо довільного прямокутника – так.

Відповідь: B.