Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 795

Математика. Всі запитання починаючи з 795

796797798799800801802803804805806807808809810 ▶

Завдання 796 з 2199

Визначте кількість цілих значень $a,$ за яких корені $x_1$ та $x_2$ квадратного рівняння $x^2 – 4ax + 4a^2 – 25 = 0$ задовольняють умову $x_1 \lt 1 \lt x_2.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

Дано рівняння $x^2-4ax+4a^2-25=0.$ Корені квадратного рівняння задовольняють умову $x_1\lt 1\lt x_2.$

\begin{gather*} D=(-4a)^2-4\cdot 1\cdot (4a^2-25)=16a^2-16a^2+100=100\\[6pt] x_1=\frac{4a-10}{2}=2a-5,\\[6pt] x_2=\frac{4a+10}{2}=\frac{2(2a+5)}{2}=2a+5. \end{gather*}

Знайдемо $a,$ при яких

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 2a-5\lt 1,\\ 2a+5\gt 1, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} 2a\lt 6,\\ 2a\gt -4, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} a\lt 3,\\ a\gt -2. \end{array} \right. \end{gather*}

Цілі значення $a\in (-2;\ 3)$ це $a=-1;\ 0;\ 1;\ 2.$

Таких значень $4.$

Відповідь: 4.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26820

Завдання 797 з 2199

Основою прямої призми є ромб зі стороною $20.$ Периметр одного з діагональних перерізів призми дорівнює $58.$ Визначте об’єм призми, якщо її висота дорівнює $5.$

Впишіть відповідь:

1920

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, задачі на обчислення об’єму призми, побудови перерізів.

$ABCD$ – ромб, $AB=20,$ $P_{AA_1C_1C}=58,$ $AA_1=5.$ $AA_1=CC_1=5,$ то $A_1C_1=AC=(58-2\cdot 5):2=24.$

За властивістю ромба $AC\perp BD,\ AO=OC,\ BO=OD.$ Отже, у $\Delta COD\ (\angle O=90^\circ)$ $CD=20,\ OC=12$ за теоремою Піфагора

\begin{gather*} OD^2+OC^2=CD^2,\\[7pt] OD=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16.\\[7pt] BD=2\cdot OD=32. \end{gather*}

Площу ромбу можна знайти за формулою

\begin{gather*} S=\frac 12d_1d_2\ \ S=\frac 12\cdot 32\cdot 24=16\cdot 24,\\[7pt] V=S_\text{осн}\cdot H,\ \text{де}\ S_\text{осн}=16\cdot 24,\ H=AA_1=5.\\[7pt] \end{gather*}

Отже,

$$ V=16\cdot 24\cdot 5=16\cdot 120=1920. $$

Відповідь: 1920.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26819

Завдання 798 з 2199

Переможцю олімпіади заплановано подарувати комплект із $5$ книг, у якому $2$ збірники олімпіадних задач та $3$ науково-популярні книги. Скільки всього варіантів формування такого комплекту книг, якщо є $8$ різних збірників та $10$ різних науково-популярних книг?

Впишіть відповідь:

3360

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє вміння розв‘язувати задачі, використовуючи перестановки, комбінаторне правило добутку.

Розв'яжемо задачу з комбінаторики: вибираємо з $8$ збірників $2,$ а з $10$ науково-популярних книг $3.$

Книги різні, тому застосуємо формулу сполук, щоб знайти кількість варіантів вибору книг кожного виду та правило добутку:

\begin{gather*} \mathrm{C_8^2\cdot C_{10}^3}=\frac{8!}{2!6!}\cdot \frac{10!}{3!7!}=\frac{7\cdot 8\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=\\[6pt] =4\cdot 4\cdot 3\cdot 10\cdot 7=48\cdot 70=3360. \end{gather*}

Відповідь: 3360.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26818

Завдання 799 з 2199

Число $27$ є членом арифметичної прогресії з різницею $d = 5.$ Визначте числа з проміжку $(60; 75),$ що є членами цієї прогресії. У відповіді запишіть суму цих чисел.

Впишіть відповідь:

201

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на арифметичну прогресію, знання формули суми n-перших членів та n-го члена арифметичної прогресії.

Число $27$ – член арифметичної прогресії, $d=5.$

Члени арифметичної прогресії:

\begin{gather*} ...27;\ 32;\ 37;\ 42;\ 47;\ 52;\ 57;\ 62;\ 67;\ 72;\ 77;\ 82;\ ... \end{gather*}

Отже, числа з проміжку $60;\ 75$ – це $62;\ 67;\ 72.$

Сума цих чисел: $62+67+72=201.$

Відповідь: 201.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26817

Завдання 800 з 2199

У прямокутному трикутнику $ACB\ \angle C = 90^\circ,\ \angle B = 24^\circ.$ На продовженні катета $AC$ вибрано точку $K$ так, що $AK = KB$ (див. рисунок). Точка $O$ – центр кола, описаного навколо трикутника $ACB.$ Узгодьте кут (1–3) із його градусною мірою (А – Д).

Кут

1$\angle BAC$

2$\angle KBC$

3$\angle OKB$

Градусна міра кута

А$24^\circ$

Б$34^\circ$

В$42^\circ$

Г$66^\circ$

Д$72^\circ$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач.

1 – Г. У $\Delta ACB\ (\angle C=90^\circ)$ $\angle B+\angle A=90^\circ,$ $\angle B=24^\circ,$ тому $\angle A=90^\circ-24^\circ=66^\circ.$ $\angle BAC=66^\circ.$

2 – B. $\Delta ABK$ – рівнобедрений, $AK=KB$ за умовою. За властивістю рівнобедреного трикутника $\angle A=\angle B=66^\circ.$

$$\angle KBC=\angle KBA-\angle CBA=66^\circ-24^\circ=42^\circ.$$

3 – A. $\Delta AKB$ – рівнобедрений, $KO -$ медіана $AO=OB$ (як радіуси). За властивістю рівнобедереного трикутника $KO -$ висота, $KO\perp AB.$ \begin{gather*} \angle OKB=90^\circ-\angle KBO=90^\circ-66^\circ=24^\circ . \end{gather*} $\Delta ACB -$ прямокутний, тому центр кола описаного навколо нього, лежить на середині гіпотенузи $AB.$

Відповідь: 1Г, 2В, 3А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26816

Завдання 801 з 2199

До початку речення (1–3) доберіть закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо $n$ – натуральне число.

Початок речення

1Якщо $\frac na = 3,$ то

2Якщо $1 + \log_3n = \log_3a,$ то

3Якщо $3^n\cdot 3 = 3^a,$ то

Закінчення речення

А$a=3n.$

Б$a=n+1.$

В$a=n+3.$

Г$a=\frac 3n$

Д$a=\frac n3$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, логарифмічних та степеневих виразів.

1. Якщо $\frac na=3,$ то $a=\frac n3$ – Д.

2. Якщо $1+\log_3n=\log_3a,$ то $\log_33+\log_3n=\log_3a,$ $\log_3(3n)=\log_3a,\ 3n=a$ – A.

3. Якщо $3^n\cdot 3=3^a,$ то $3^{n+1}=3^a,\ n+1=a.$ – Б.

Застосували властивості логарифмів та степенів:

\begin{gather*} \log_aa=1,\ \ \log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c),\\[7pt] a^n\cdot a^m=a^{n+m}. \end{gather*}

Відповідь: 1Д, 2А, 3Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26815

Завдання 802 з 2199

Узгодьте твердження (1–3) із функцією (А – Д), для якої це твердження є правильним.

Твердження

1областю значень функції є проміжок $[0; +\infty)$

2графік функції симетричний відносно осі $y$

3найменшого значення на відрізку $[1; 4]$ функція набуває в точці $x = 4$

Функція

А$y=x^2+4$

Б$y=x$

В$y=\sqrt{x}$

Г$y=\log_{0,5}x$

Д$y=-\frac 1x$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком та формулою.

Схематично графіки функцій виглядають таким чином:

1. $E(y)=[0;\ +\infty)$ – B.

2. Графік симетричний відносно осі $y$ – A.

3. Функція спадна, тому найменше значення функція набуває при найбільшому значенні аргумента – Г.

Відповідь: 1В 2А 3Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26814

Завдання 803 з 2199

Укажіть корінь рівняння $\sin 4x=-1.$

А$\frac{3\mathbf{\pi}}{8}$

Б$\frac{\mathbf{\pi}}{8}$

В$\frac{\mathbf{\pi}}{4}$

Г$-\frac{\mathbf{\pi}}{4}$

Д$-\frac{\mathbf{\pi}}{2}$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

Розв'яжемо тригонометричне рівняння:

\begin{gather*} \sin 4x=-1,\\[6pt] 4x=-\frac{\mathbf{\pi}}{2}+2\mathbf{\pi}n,\ n\in\mathbb{Z}\ \ |\ :4\\[6pt] x=-\frac{\mathbf{\pi}}{8}+\frac{\mathbf{\pi}n}{2},\ n\in \mathbb{Z}\\[6pt] \text{при}\ n=0\ \ x=-\frac{\mathbf{\pi}}{8};\\[6pt] \text{при}\ n=1\ \ x=-\frac{\mathbf{\pi}}{8}+\frac{\mathbf{\pi}}{2}=\frac{-\mathbf{\pi}+4\mathbf{\pi}}{8}=\frac{3\mathbf{\pi}}{8} - \text{корінь рівняння}. \end{gather*}

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26813

Завдання 804 з 2199

Спростіть вираз $$ \frac{a^2+ab}{(a+b)^2}-\frac{2a+b}{a+b}. $$

А$1$

Б$\frac{a-b}{a+b}$

В$\frac{b-a}{a+b}$

Г$\frac{3a+b}{a+b}$

Д$-1$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Спростимо вираз:

\begin{gather*} \frac{a^2+ab}{(a+b)^2}-\frac{2a+b}{a+b}=\frac{a(a+b)}{(a+b)^2}-\frac{2a+b}{a+b}=\\[6pt] =\frac{a}{a+b}-\frac{2a+b}{a+b}=\frac{a-(2a+b)}{a+b}=\frac{a-2a-b}{a+b}=\\[6pt] =\frac{-a-b}{a+b}=\frac{-(a+b)}{a+b}=-1. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26812

Завдання 805 з 2199

У паралелограмі $ABCD\ \angle A=30^\circ,$ бічна сторона $AB = 12\ \text{см.}$ Сторона $AD$ втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу $(\text{см}^2)$ цього паралелограма.

А$54$

Б$54\sqrt{3}$

В$108$

Г$108\sqrt{3}$

Д$216$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості прямокутного трикутника, знаходження площі паралелограма, до розв'язування планіметричних задач.

За умовою $AD=3BK,$ де $BK$ – висота паралелограма.

У $\Delta ABK\ (\angle K=90^\circ)$ за властивістю катета, який лежить напроти кута $30^\circ,$ $AB=2BK,$ $BK=6\ \text{см}.$ $$ AD=3BK=3\cdot 6=18\ (\text{см}). $$

Площа паралелограма $S=ah_a,$ де $a=AD, h_a=BK.$ $$ S=18\cdot 6=108\ (\text{см}^2). $$

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26811

Завдання 806 з 2199

Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом $x(t) = 6t^2,$ де $х(t)$ – координата точки, $t$ – час. За якою формулою визначають швидкість $v(t)$ цієї матеріальної точки в будь-який момент часу $t?$

А$v(t)=6t$

Б$v(t)=12t$

В$v(t)=2t^3$

Г$v(t)=6t^3$

Д$v(t)=3t$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна.

Завдання перевіряє вміння знаходити похідну функції, знання фізичного змісту похідної.

Матеріальна точка рухається за законом $x(t)=6t^2.$ За фізичним змістом похідної $$ v(t)=x'(t)=(6t^2)'=12t. $$

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26810

Завдання 807 з 2199

Розв’яжіть систему рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3y}=\frac 2x, \\ x-y=30. \end{array} \right. $$ Якщо $(x_0; y_0)$ – розв’язок системи, то $x_0 + y_0 =$

А-150

Б35

В36

Г42

Д150

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних та раціональних рівнянь.

Розв'яжемо систему рівнянь:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3y}=\frac 2x, \\ x-y=30. \end{array} \right. \end{gather*}

Застосуємо основну властивість пропорції до першого рівняння:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} 1\cdot x=2\cdot 3y, \\ x-y=30, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ x-y=30. \end{array} \right. \end{gather*}

Методом підстановки маємо:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ 6y-y=30, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ 5y=30, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x=6y, \\ y=6, \end{array} \right. \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} x=6\cdot 6, \\ y=6, \end{array} \right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{l} x=36, \\ y=6. \end{array} \right. \end{gather*}

$(36;\ 6)$ – розв'язок системи, тому $36+6=42$ – правильна відповідь.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26809

Завдання 808 з 2199

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.

II. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.

III. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.

Алише III

Блише I та IIІ

Влише I та II

Глише II та IIІ

ДІ, ІІ та ІІІ

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції.

Правильне лише ІІІ твердження.

I. Середня лінія трапеції не проходить через точку перетину її діагоналей.

II. Діагональ трапеції не ділить її на два рівних трикутники $\Delta ABC\ne \Delta ACD.$

III. $AC=BD$ (властивість рівнобічної трапеції). $\Delta ABC=\Delta DCB$ (І ознака).

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26808

Завдання 809 з 2199

Обчисліть $\left(\frac 17\cdot \sqrt[3]{7}\right)^3.$

А$27$

Б$\frac 17$

В$1$

Г$\frac {1}{49}$

Д$49$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

\begin{gather*} (\frac 17\cdot \sqrt[3]{7})^3=\left(\frac 17\right)^3\cdot (\sqrt[3]{7})^3=\frac{1}{7^3}\cdot 7=\frac{1}{7^2}=\frac{1}{49}. \end{gather*}

Застосували властивості:

\begin{gather*} (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n;\\[6pt] \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n};\\[6pt] (\sqrt[n]{a})^n=a\ \text{при}\ a\ge 0. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26807

Завдання 810 з 2199

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Циліндр утворений обертанням…

Аквадрата навколо його сторони».

Бпрямокутника навколо його діагоналі».

Впрямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».

Гпрямокутного трикутника навколо його катета».

Дквадрата навколо його діагоналі».

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання властивостей геометричних тіл, зокрема циліндра.

Циліндр утворений обертанням квадрата навколо його сторони:

$ABCD$ – квадрат.

Відповідь: А.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 546. Запитання: 26806