Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 870

Математика. Всі запитання починаючи з 870

871872873874875876877878879880881882883884885 ▶

Завдання 871 з 2155

Кількість відвідувачів ботанічного саду протягом червня становила чверть від їхньої сумарної кількості в травні й червні. На якій із діаграм правильно зображено розподіл відвідувачів цього ботанічного саду впродовж цих двох місяців?

	– кількість відвідувачів у травні
	– кількість відвідувачів у червні

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку вміння аналізувати інформацію, подану у графічній формі.

Кількість відвідувачів у червні становила $\frac 14$ від сумарної кількості всіх відвідувачів.

На діаграмі Г правильно зображено розподіл відвідувачів.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 489. Запитання: 24683

Завдання 872 з 2155

У під'їзді шістнадцятиповерхового будинку на першому поверсі розташовано 6 квартир, а на кожному з решти поверхів – по 8. На якому поверсі квартира № 31, якщо квартири від № 1 і далі пронумеровано послідовно від першого до останнього поверху?

А3

Б4

В5

Г6

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Поверхи	Номери квартир
1	1–6
2	7–14
3	15–22
4	23–30
5	31–38

Отже, квартира №31 знаходиться на 5 поверсі.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 489. Запитання: 24682

Завдання 873 з 2155

Задано систему рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} ax^2+3ax+4^{1+\sqrt{y}}=8,\\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1, \end{array} \right. $$ де $x,\ y$ – зміннi, $a$ – довільна стала.

1. Розв'яжіть систему, якщо $a=0$.

2. Визначте всі розв'язки заданої системи залежно від значень $a$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові, квадратні рівняння та рівняння з параметрами.

1. Розв'яжемо систему, якщо $a=0$.

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} 4^{1+\sqrt{y}}=8, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} 4\cdot 4^{\sqrt{y}}=8, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} 4^{\sqrt{y}}=2, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1. & \end{array}\right. \end{gather*}

Підставимо у друге рівняння замість $4^{\sqrt{y}}$ число 2.

\begin{gather*} x+2\cdot 2=1,\ \ x+4=1,\ \ x=-3.\\[6pt] 4^{\sqrt{y}}=2,\ \ 2^{2\sqrt{y}}=2^1,\ \ 2\sqrt{y}=1,\ \ \sqrt{y}=\frac 12,\ \ y=\frac 14. \end{gather*}

Отже, за $a=0$ розв'язком системи є $(-3;\ 0,25)$.

2. Нехай $a\ne 0$.

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} ax^2+3ax+4\cdot 4^{\sqrt{y}}=8, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}-1=0\ |\cdot (-2); & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} ax^2+3ax+4\cdot 4^{\sqrt{y}}=8,& \\ -2x-4\cdot 4^{\sqrt{y}}+2=0. & \end{array}\right. \end{gather*}

Почленно додамо рівняння \begin{gather*} ax^2+3ax+4\cdot 4^{\sqrt{y}}-2x-4\cdot 4^{\sqrt{y}}+2=8\\[7pt] ax^2+3ax-2x-6=0,\\[7pt] ax^2+(3a-2)x-6=0. \end{gather*}

Отримаємо квадратне рівняння.

\begin{gather*} D=(3a-2)^2-4a\cdot (-6)=9a^2-12a+4+24a=(3a+2)^2\\[7pt] x_1=\frac{-3a+2+3a+2}{2a}=\frac{2}{a};\\[7pt] x_2=\frac{-3a+2-3a-2}{2a}=-3. \end{gather*}

Система рівносильна сукупності систем:

\begin{gather*} \left[ \begin{array}{ l l} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. &\\ & \\ \left\{ \begin{array}{l l} x=-3, & \\ x+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. &\\ \end{array}\right. \left[ \begin{array}{ l l} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ \frac 2a+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. &\\ & \\ \left\{ \begin{array}{l l} x=-3, & \\ -3+2\cdot 4^{\sqrt{y}}=1; & \end{array}\right. &\\ \end{array}\right. \left[ \begin{array}{ l l} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ 4^{\sqrt{y}}=\frac{a-2}{2a}; & \end{array}\right. &\\ & \\ \left\{ \begin{array}{l l} x=-3, & \\ y=\frac 14. & \end{array}\right. &\\ \end{array}\right. \ \ \ (1) \end{gather*}

Оскільки $4^{\sqrt{y}}\geq 1\ \left(y\geq 0,\ \sqrt{y}\geq 0,\ 4^{\sqrt{y}}\geq 4^0\right)$, отримуємо

\begin{gather*} \frac{a-2}{2a}\geq 1,\ \ \frac{a-2}{2a}-1\geq 0,\ \ \frac{a-2-2a}{2a}\geq 0,\\[6pt] \frac{-a-2}{2a}\geq 0,\ \ \frac{a+2}{2a}\leq 0. \end{gather*}

Тоді \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ \sqrt{y}=\log_4\frac{a-2}{2a}, & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{l l} x=\frac 2a, & \\ y=\log^2_4\frac{a-2}{2a}. & \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь:
1. $(-3;\ 0,25)$
2. якщо $a\in (-\infty;\ -2)\cup [0;\ +\infty)$, то розв'язком є $(-3;\ 0,25)$
якщо $a\in [-2;\ 0)$, то розв'язками є $(-3;\ 0,25)$ та $\left(\frac 2a;\ \log^2_4\frac{a-2}{2a}\right)$.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23693

Завдання 874 з 2155

Доведіть тотожність
$$ \frac{2a^2+5a-3}{a+3}=\frac{1-2a}{2\cos 240^\circ}. $$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 3.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних та раціональних виразів.

Доведемо тотожність.
I спосіб:

\begin{gather*} \cos 240^\circ=\cos(180^\circ+60^\circ)=-\cos 60^\circ=-\frac 12\\[6pt] \frac{2a^2+5a-3}{a+3}=\frac{1-2a}{2\cdot\left(-\frac 12\right)},\\[6pt] \frac{2a^2+5a-3}{a+3}=\frac{1-2a}{-1}\ \ \text{при}\ a\ne -3\\[6pt] (2a^2+5a-3)\cdot (-1)=(a+3)(1-2a)\\[7pt] -2a^2-5a+3=a-2a^2+3-6a\\[7pt] -2a^2-5a+3=-2a^2-5a+3\\[7pt] \end{gather*}

Отже, вирази рівні.

ІІ спосіб:

\begin{gather*} \cos 240^\circ=\cos(180^\circ+60^\circ)=-\cos 60^\circ=-\frac 12 \end{gather*}

Розкладемо вираз $2a^2+5a-3$ на множники:

\begin{gather*} 2a^2+5a-3=0,\ \ D=25-4\cdot 2\cdot (-3)=49\\[6pt] a_1=\frac{-5+7}{4}=\frac 24=\frac 12;\\[6pt] a_2=\frac{-5-7}{4}=\frac{-12}{4}=-3.\\[6pt] 2a^2+5a-3=2(a-\frac 12)(a+3)=(2a-1)(a+3). \end{gather*}

Розклали за формулою: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, де $x_1,\ x_2$ – корені квадратного тричлена.

Отримаємо, \begin{gather*} \frac{(2a-1)(a+3)}{a+3}=\frac{1-2a}{-1}\\[6pt] 2a-1=2a-1, \end{gather*} вирази рівні.

Тест 469. Запитання: 23692

Завдання 875 з 2155

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник $ABCD$, сторона $AD$ якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ $AC$ перерізу дорівнює $d$ й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут $\mathbf{\beta}$. На колі нижньої основи вибрано точку $K$ так, що градусна міра дуги $\overset{\smile}{AK}$ дорівнює 90°.

1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і вкажіть кут $\mathbf{\gamma}$ між площиною $(KBD)$ і площиною нижньої основи циліндра. Обґрунтуйте його положення.

2. Визначте кут $\mathbf{\gamma}$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 2.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

1. Прямокутник $ABCD$ - осьовий переріз циліндра.

$AC=BD=d$. Точка $K$ лежить на колі нижньої основи циліндра $\overset{\smile}{AK}=90^\circ$, тому $\angle AOK=90^\circ$.

Пряма $KD$ – пряма перетину площини $(KBD)$ з площиною нижньої основи.

$\angle AKD=90^\circ$ (як вписаний кут, що спирається на діаметр), то $AK\perp KD$.

\begin{gather*} \left. \begin{array}{ c c c} AB\perp (AKD) & \\ BK\ -\ \text{похила на площину}\ (AKD) & \\ AK\ -\ \text{проекція похилої}\ BK &\\ AK\perp KD,\ KD \subset\ (AKD) & \end{array}\right| \rightarrow \text{за теоремою про три перпендикуляри}\ BK \perp KD. \end{gather*}

Таким чином, $\angle AKB=\mathbf{\gamma}$ – лінійний кут двогранного кута між площинами ($BKD)$ і площиною основи циліндра.

2. $\triangle AKD$ – рівнобедрений ($KO$ – медіана та висота) $AD=d\cos\mathbf{\beta}$, тому за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2=AK^2+KD^2=2AK^2,\\[6pt] AK^2=\frac{AD^2}{2}=\frac{d^2\cos^2\mathbf{\beta}}{2},\\[6pt] AK=\sqrt{\frac{d^2\cos^2\mathbf{\beta}}{2}}=\frac{d\cos\mathbf{\beta}}{\sqrt{2}}.\\[6pt] AB=d\sin\mathbf{\beta}.\\[6pt] \text{У}\ \triangle ABK\ (\angle A=90^\circ)\ \operatorname{tg}\mathbf{\gamma}=\frac{AB}{AK}, \operatorname{tg}\mathbf{\gamma}=\frac{d\sin\mathbf{\beta}\cdot \sqrt{2}}{d\cos\mathbf{\beta}}=\sqrt{2}\operatorname{tg}\mathbf{\beta}. \end{gather*}

Отже, $\mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\operatorname{tg}\mathbf{\beta}\right)$.

Відповідь: 2. $\mathbf{\gamma}=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{2}\operatorname{tg}\mathbf{\beta}\right)$.

Тест 469. Запитання: 23691

Завдання 876 з 2155

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник $ABCD$, сторона $AD$ якого лежить в нижній основі циліндра. Діагональ $AC$ перерізу дорівнює $d$ й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут $\mathbf{\beta}$.

1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр i його осьовий переріз $ABCD$.

2. Укажіть кут $\mathbf{\beta}$, що утворює пряма $AC$ із площиною нижньої основи циліндра.

3. Визначте об’єм циліндра.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 4.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, побудову осьового перерізу циліндру.

1. Осьовий переріз циліндра (прямокутник $ABCD$) зображено на рисунку:

2. Твірна $CD$ перпендикулярна основі, $CA$ – діагональ, $AD$ – проекція діагоналі на нижню основу циліндра. Отже, $\angle CAD=\mathbf{\beta}$.

3. Об'єм циліндра знаходимо за формулою: $$ V=\mathbf{\pi}R^2H, $$ де $R=OA=OD$ – радіус основи циліндра, $H=CD$ – висота.

\begin{gather*} \text{У}\ \triangle CDA\ (\angle D=90^\circ)\ AC=d,\ \angle A=\mathbf{\beta}\\[6pt] AD=d\cos\mathbf{\beta} \rightarrow AO=\frac 12 AD=\frac{d\cos \mathbf{\beta}}{2}\\[6pt] CD=d\sin \mathbf{\beta} \end{gather*}

Отже,

$$ V=\mathbf{\pi} \cdot \left(\frac{d\cos \mathbf{\beta}}{2}\right)^2\cdot d\sin \mathbf{\beta}=\frac{\mathbf{\pi}d^3\cos^2\mathbf{\beta}\cdot \sin\mathbf{\beta}}{4}. $$

Відповідь: $\frac{\mathbf{\pi}d^3\cos^2\mathbf{\beta}\cdot \sin\mathbf{\beta}}{4}$

Тест 469. Запитання: 23690

Завдання 877 з 2155

Задано функцію $y=x^3-3x$.

1. Для наведених у таблиці значень аргумента $x$ визначте відповідні їм значення $y$.

2. Визначте й запишіть координати точок перетину графіка функції $y=x^3-3x$ із віссю $x$.

3. Знайдіть похідну $f'$ функції $f(x)=x^3-3x$.

4. Визначте нулі функції $f'$.

5. Визначте проміжки зростання i спадання, точки екстремуму й екстремуми функції $f$.

6. Побудуйте ескіз графіка функції $f$.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Дослідження функції за допомогою похідної. Побудова графіків функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити похідну функції, нулів функції, екстремумів функції, будувати графіки функцій; знання достатньої умови зростання (спадання) функції.

Задано функцію $y=x^3-3x$

\begin{gather*} x=0,\ \ y=0^3-3\cdot 0=0\\[7pt] x=-1,\ \ y=(-1)^3-3\cdot (-1)=-1+3=2\\[7pt] x=2,\ \ y=2^3-3\cdot 2=8-6=2 \end{gather*}

x	y
0	0
–1	2
2	2

2. Точки перетину графіка $y=x^3-3x$ із віссю $x$ знаходимо за умови $y=0$: \begin{gather*} x^3-3x=0,\ \ x(x^2-3)=0,\\[7pt] x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x=0 & \\ x=\sqrt{3}& \\ x=-\sqrt{3}& \end{array}\right. \end{gather*} $(0;\ 0),\ (\sqrt{3};\ 0),\ (-\sqrt{3};\ 0)$ – точки перетину з віссю $x$.

\begin{gather*} f'(x)=(x^3-3x)'=3x^2-3 \end{gather*}

4. \begin{gather*} f'(x)=0,\ \ 3x^2-3=0,\\[7pt] 3(x^2-1)=0,\ \ 3(x-1)(x+1)=0\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x-1=0 & \\ x+1=0& \end{array}\right. \ \ \left [ \begin{array}{l l} x=1 & \\ x=-1& \end{array}\right. \end{gather*}

5. Визначимо проміжки зростання і спадання функції

При $f'(x)\gt 0$ функція зростає, при $f'(x)\lt 0$ – спадає. Отже,
$f(x)$ зростає при $x \in (-\infty;\ -1]$ i $[1;\ +\infty)$;
$f(x)$ спадає при $x\in [-1;\ 1]$.

Точки екстремуму: $x_{max}=-1;\ \ x_{min}=1$,
екстремуми функції: $f_{max}=f(-1)=2;\ \ f_{min}=f(1)=-2$.

Відповідь:

1. $x=0,\ \ y=0,$
$x=-1,\ \ y=2,$
$x=2,\ \ y=2$.
2. $(0;\ 0),\ (\sqrt{3};\ 0),\ (-\sqrt{3};\ 0)$.
3. $f'(x)=3x^2-3$.
4. $x=1;\ \ x=-1$.
5. Проміжки зростання: $(-\infty;\ -1],\ [1;\ +\infty)$
проміжок спадання: $[-1;\ -1]$
$x_{max}=-1;\ \ x_{min}=1$.
$f_{max}=2;\ \ f_{min}=-2$.

Тест 469. Запитання: 23689

Завдання 878 з 2155

Редактор стрічки новин вирішує, у якій послідовності розмістити 6 різних новин: 2 політичні, 3 суспільні й 1 спортивну. Скільки всього є різних послідовностей розміщення цих 6 новин у стрічці за умови, що політичні новини мають передувати іншим, а спортивна новина – бути останньою? Уважайте, що кожну із цих 6 новин у стрічці не повторюють.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку знання означення перестановок, комбінаторних правил суми та добутку.

Послідовність розміщення 6 новин у стрічці:

Кількість розміщень політичних новин в стрічці $2!$, а суспільних новин – $3!$. Спортивна новина 1 та йде останньою.

За правилом добутку кількість розміщення цих 6 новин: $$ 2!\cdot 3!=1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3=12 $$

Відповідь: 12.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23688

Завдання 879 з 2155

Розв'яжіть рівняння $x^4-x^2-20=0$. У відповіді запишіть добуток усіх його дійсних коренів.

Впишіть відповідь:

-5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння, що зводяться до квадратних.

Рівняння $x^4-x^2-20=0$ – біквадратне. Розв'яжемо заміною:

\begin{gather*} x^2=t\geq 0\\[7pt] t^2-t-20=0\\[7pt] D=1-4\cdot (-20)=81\\[7pt] t_1=\frac{1+9}{2}=5\\[7pt] t_2=\frac{1-9}{2}=-4\ \text{не задовольняє умові}\ t\geq 0. \end{gather*}

Повернемось до заміни:

\begin{gather*} x^2=5\\[7pt] \left [ \begin{array}{l l} x_1=\sqrt{5} & \\ x_2=-\sqrt{5}& \end{array}\right. \end{gather*}

Добуток його дійсних коренів: $$ x_1\cdot x_2=\sqrt{5}\cdot (-\sqrt{5})=-5. $$

Відповідь: –5.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23687

Завдання 880 з 2155

Обчисліть значення виразу $\sqrt{9a^2-24a+16}-\sqrt[3]{27a^3}$ за $a=0,7$.

Впишіть відповідь:

-0.2

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів та знаходити їх числове значення.

\begin{gather*} \sqrt{9a^2-24a+16}-\sqrt[3]{27a^3}=\sqrt{(3a-4)^2}-3a=\\[7pt] =|3a-4|-3a=-(3a-4)-3a=-3a+4-3a=-6a+4 \end{gather*}

Вираз $3a-4=3\cdot 0,7-4=2,1-4=-1,9$.

Отже, $|3a-4|=-3a+4$.

Значення виразу $$ -6a+4=-6\cdot 0,7+4=-4,2+4=-0,2. $$

Відповідь: –0,2.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23686

Завдання 881 з 2155

Для приготування дезінфікувального розчину концентрат розводять водою в масовому відношенні 2 : 7 відповідно, після чого на кожні 10 г води добавляють 1 г ароматичної рідини. Скільки грамів концентрату потрібно для приготування 485 г розчину?

Впишіть відповідь:

100

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь, на пропорційні величини та пропорційний поділ.

Нехай $x$ – коефіцієнт пропорційності. Дезінфікувальний розчин містить:
$2x\ \text{г}$ – концентрату
$7x\ \text{г}$ – води
$\frac{7x}{10}\ \text{г}$ – ароматичної рідини. Разом $485\ \text{г}$

\begin{gather*} 2x+7x+0,7x=485\\[7pt] 9,7x=485\\[7pt] x=50. \end{gather*} Концентрату потрібно $$ 2x=2\cdot 50=100\ \text{г}. $$

Відповідь: 100.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23685

Завдання 882 з 2155

У першому класі 15 дівчаток, з яких лише одна на ім'я Дарина, і 11 хлопчиків. На першому уроці вчителька навмання формує пари дітей, які сидітимуть за однією партою. Першою вона вибирає пару для Дарини. Яка ймовірність того, що Дарина сидітиме за однією партою з дівчинкою?

Впишіть відповідь:

0.56

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Завдання скеровано на перевірку знання класичного означення ймовірності події, правила добутку ймовірностей.

У класі 26 дітей. Учительна навмання формує пари дітей. Імовірність того, що Дарина сидітеме за однією партою з дівчинкою: $$ P(A)=\frac{14}{25}=0,56 $$

Дівчат у класі, крім Дарини, чотирнадцять. Усього дітей у класі (без Дарини) – 25.

Відповідь: 0,56.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23684

Завдання 883 з 2155

Арифметичну прогресію $(a_n)$ задано формулою $n-\text{го}$ члена $a_n=2,6n-7$.

1. Визначте сьомий член цієї прогресії.

2. Визначте різницю $a_4-a_1$.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	11.2			7.8

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей арифметичної прогресії, знання формули n-го члена арифметичної прогресії.

Арифметичну прогресію задано $a_n=2,6n-7$

1. $a_7=2,6\cdot 7-7=18,2-7=11,2$

\begin{gather*} a_4=2,6\cdot 4-7=3,4\\[7pt] a_1=2,6\cdot 1-7=-4,4 \end{gather*}

Отже,

$$ a_4-a_1=3,4-(-4,4)=3,4+4,4=7,8 $$

Відповідь: 1. 11,2. 2. 7,8.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23683

Завдання 884 з 2155

У прямокутній системі координат у просторі задано вектор $\overrightarrow{AB}(-3;\ 8;\ 1)$ і точку $B(7;\ -2;\ 0)$, точка $O$ – початок координат.

1. Визначте ординату $y$ точки $A(x;\ y;\ z)$.

2. Обчисліть скалярний добуток $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}$.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	-10			-111

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати і вектори у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати дії з векторами, знаходити координати та скалярний добуток векторів.

1. \begin{gather*} A(x;\ y;\ z)\ \ \overline{AB}(7-x;\ -2-y;\ 0-z)\\[7pt] \overline{AB}(7-x;\ -2-y;\ -z)\\[7pt] \overline{AB}(-3;\ 8;\ 1)\\[7pt] 7-x=-3,\ x=10,\\[7pt] -2-y=8,\ y=-10,\\[7pt] -z=1,\ z=-1. \end{gather*} ордината $\text{т.}\ A\ =\ -10$.

$$ O(0;\ 0;\ 0),\ \ A(10;\ -10;\ -1),\ \ \overline{OA}(10;\ -10;\ -1) $$

За формулою скалярного добутку:

\begin{gather*} \overline{a}(a_1;\ a_2;\ a_3),\ \ \overline{b}(b_1;\ b_2;\ b_3)\\[7pt] \overline{a}\overline{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\\[7pt] \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=10\cdot (-3)+(-10)\cdot 8+(-1)\cdot 1=-30-80-1=-111. \end{gather*}

Відповідь: 1. –10. 2. –111.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23682

Завдання 885 з 2155

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ й коло, яке дотикається до сторони $AB$ й сторін $BC$ й $AD$ в точках $M$ i $K$ відповідно. Периметр чотирикутника $ABMK$ дорівнює 24 см, а довжина відрізка $KC$ – 17 см.

1. Визначте радіус (у см) заданого кола.

2. Обчисліть площу (у см²) прямокутника $ABCD$.

Впишіть відповіді:

1.			2.
	4			152

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутників та їх основних властивостей.

$P_{ABMK}=24\ \text{см}\ \ KC=17\ \text{см}.$

\begin{gather*} P_{ABMK}=2(AB+BM)=2(2BM+BM)=6MB=24;\\[7pt] BM=OM=4\ \text{см}\ -\ \text{радіус кола.} \end{gather*}

2. $2OM=MK=8\ \text{см}, \triangle MKC\ (\angle M=90^\circ)$ - за теоремою Піфагора

\begin{gather*} CK^2=MK^2+MC^2;\\[7pt] MC=\sqrt{CK^2-MK^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15\ \text{см}\\[7pt] BC=BM+MC=4+15=19\ \text{см}\\[7pt] S_{ABCD}=AB\cdot BC=8\cdot 19=152\ \ \text{см}^2 \end{gather*}

Відповідь: 1. 4. 2. 152.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 469. Запитання: 23681