Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 870

Математика. Всі запитання починаючи з 870

871872873874875876877878879880881882883884885 ▶

Завдання 871 з 2265

У трикутнику \(ABC\ \angle A = 59^\circ\), \(\angle B = 62^\circ\). Із вершин цих кутів проведено висоти, що перетинаються в точці \(O\). Визначте величину кута \(AOB\).

А\(98^\circ\)

Б\(121^\circ\)

В\(144^\circ\)

Г\(149^\circ\)

Д\(154^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей кутів многокутника.

\(\angle A = 59^\circ\), \(\angle B = 62^\circ.\)

\begin{gather*} \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (59^\circ + 62^\circ) = 59^\circ \end{gather*}

(сума кутів трикутника дорівнює \(180^\circ.\)).

\(MOPC\) – чотирикутник. Сума кутів чотирикутника – \(360^\circ.\) \(\angle P + \angle M = 180^\circ\), отже, \(\angle O + \angle C = 180^\circ.\)

\begin{gather*} \angle O = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 59^\circ = 121^\circ. \end{gather*}

\(\angle AOB = \angle POM = 121^\circ\) (як вертикальні).

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14327

Завдання 872 з 2265

Сторони трикутника, одна з яких на \(8\) см більша за другу, утворюють кут \(120^\circ\), а довжина третьої сторони дорівнює \(28\) см. Знайдіть периметр трикутника.

А\(84\) см

Б\(72\) см

В\(64\) см

Г\(60\) см

Д\(56\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми косинусів.

Нехай \(AB = x\) см, \(BC = (x + 8)\) см, \(AC = 28\) см. \(\angle B = 120^\circ.\)

За теоремою косинусів:

\begin{gather*} AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos B;\\[6pt] 784 = x^2 + (x + 8)^2 - 2 \cdot x \cdot (x + 8) \cdot \left(-\frac 12\right);\\[6pt] x^2 + x^2 + 16x + 64 + x(x + 8) = 784;\\[7pt] 3x^2 + 24x - 720 = 0;\\[7pt] x^2 + 8x - 240 = 0;\\[7pt] x = 12;\\[7pt] x = -20\ \text{(не задовольняє умові задачі).}\\[7pt] P = AB + BC + AC = 12 + 20 + 28 = 60\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14328

Завдання 873 з 2265

На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складеного з двох квадратів і чотирьох однакових прямокутників, довжина сторін яких – \(3\) см і \(6\) см. Визначте об’єм цього тіла.

А\(108\) см\(^3\)

Б\(54\) см\(^3\)

В\(144\) см\(^3\)

Г\(36\) см\(^3\)

Дінша відповідь

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників за їх розгорткою.

На рисунку зображено розгортку прямокутного паралелепіпеда. Основа – квадрат зі стороною \(6\) см.

\begin{gather*} V = a \cdot b \cdot c;\\[7pt] V = 6 \cdot 6 \cdot 3 = 108\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14329

Завдання 874 з 2265

У склянку циліндричної форми, наповнену водою по самі вінця, поклали металеву кульку, що дотикається до дна склянки та стінок (див. рисунок). Визначте відношення об’єму води, яка залишилась у склянці, до об’єму води, яка вилилася зі склянки.

А\(1:\pi\)

Б\(2:\pi\)

В\(1:2\)

Г\(2:3\)

Д\(1:3\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей, формул площ поверхонь кулі та циліндра.

\begin{gather*} V_\text{ц} = \pi R^2 H;\\[6pt] R_\text{ц} = R_\text{к};\\[6pt] H = 2R_\text{к}. \end{gather*}

Oб’єм циліндра:

\begin{gather*} V_\text{ц} = \pi R_\text{к}^2 \cdot 2R_\text{к} = 2\pi R_\text{к}^3. \end{gather*}

Oб’єм кулі, об’єм води, яка вилилася зі склянки:

\begin{gather*} V_\text{к} = \frac 43\pi R_\text{к}^3. \end{gather*}

Oб’єм води, що залишилася:

\begin{gather*} V_\text{ц} - V_\text{к}=2\pi R_\text{к}^3 - \frac 43\pi R_\text{к}^3 =\frac{2\pi R_\text{к}^3}{3}.\\[6pt] \frac{V_\text{ц}-V_\text{к}}{V_\text{к}} =\frac{2\pi R_\text{к}^3}{3 \cdot 4 \cdot \pi R_\text{к}^3} = \frac 12. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14330

Завдання 875 з 2265

Обчисліть \(2\sqrt{13}\cos(\operatorname{arctg}\dfrac{2}{3})\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання співвідношень між сторонами та кутами прямокутного трикутника, вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} \mathrm{tg}\ \alpha = \frac 23;\\[6pt] \alpha = \mathrm{arctg}\ \frac 23;\\[6pt] a = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\ \text{(за теоремою Піфагора).}\\[6pt] \cos\left(\mathrm{arctg}\ \frac 23\right) = \frac{3}{\sqrt{13}};\\[6pt] 2\sqrt{13}\cos\left(\mathrm{arctg}\ \frac 23\right)= 2\sqrt{13} \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = 6. \end{gather*}

Відповідь: \(6.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14331

Завдання 876 з 2265

Обчисліть суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії, у якої \(b_n=5\cdot3^{-n}\).

Впишіть відповідь:

2.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі, знання формули суми нескінченно спадної геометричної прогресії.

Дано: нескінченно спадна геометрична прогресія.

\begin{gather*} b_n = 5 \cdot 3^{-n};\\[6pt] b_1 = 5 \cdot 3^{-1} = \frac 53;\\[6pt] b_2 = 5 \cdot 3^{-2} = \frac 59;\\[6pt] q = \frac{b_2}{b_1} = \frac 59 : \frac 53 = \frac 13;\\[6pt] S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac 53 : \left(1 - \frac 13\right)= \frac 53 : \frac 23 = \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 2} = 2{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(2{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14332

Завдання 877 з 2265

Розв’яжіть рівняння \(x-5+\sqrt{2x^2-14x+13}=0\). Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповідь запишіть їх добуток.

Впишіть відповідь:

-2

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння.

\begin{gather*} x - 5 = \sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 0;\\[7pt] \sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 5 - x;\\[7pt] \begin{cases} 2x^2 - 14x + 13 = (5 - x)^2, \\ 5 - x \ge 0, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} 2x^2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x^2, \\ x \le 5. \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 6, \\ x = -2, \end{array}\right.\\ x \le 5. \end{cases}\\[7pt] x = -2. \end{gather*}

Відповідь: \(-2.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14333

Завдання 878 з 2265

Маємо два водно-сольових розчини. Концентрація солі в першому розчині становить \(0{,}25\), а в другому – \(0{,}4\). На скільки більше треба взяти кілограмів одного розчину, ніж другого, щоб отримати розчин масою \(50\) кілограмів, концентрація солі в якому – \(0{,}34\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Задачі на відсотки.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на відсотки, лінійні рівняння.

Нехай маса першого розчину \(x\) кг, а \((50 - x)\) кг – другого.

Маса солі у I розчині – \(0{,}25x\) кг, а у II розчині – \(0{,}4(50 - x)\) кг. Маса солі в отриманому розчині \(0{,}34 \cdot 50\) кг.

\begin{gather*} 0{,}25x + 0{,}4(50 - x) = 0{,}34 \cdot 50;\\[7pt] 0{,}25x + 20 - 0{,}4x = 17;\\[7pt] -0{,}15x = -3;\\[7pt] x = 20. \end{gather*}

Отже, I розчину взяли \(20\) кг, II розчину – \(30\) кг. Одного розчину треба взяти на \(30 - 20 = 10\) кг більше.

Відповідь: \(10.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14334

Завдання 879 з 2265

У коробці є \(80\) цукерок, з яких \(44\) – з чорного шоколаду, а решта – з білого. Визначте ймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду.

Впишіть відповідь:

0.45

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

Цукерки
з чорного шоколаду – \(44\);
з білого шоколаду – \(36.\)
Усього \(80\) цукерок.

\(A\) – ймовірність того, що навмання взята цукерка буде з білого шоколаду.

\begin{gather*} P(A)=\frac{36}{80}=\frac{9}{20}=0{,}45. \end{gather*}

Відповідь: \(0{,}45.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14335

Завдання 880 з 2265

Використовуючи графік рівняння \(|y|=1-|x-12|\) (див. рисунок), знайдіть усі значення параметра \(a\), при яких система

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} |x-12|+|y|=1,\\ (x-a)^2+y^2=4 \end{array}\right. \end{gather*}

має єдиний розв'язок. У відповідь запишіть їхню суму.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Рівняння та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння та їхні системи, зокрема графічно.

Система має єдиний розв'язок за умови однієї спільної точки графіка рівняння \begin{gather*} |x-12|+|y|=1 \end{gather*} та кола \begin{gather*} (x-a)^2+y^2=4. \end{gather*}

Центр кола \((a; 0).\) Радіус кола – \(2.\)

На рисунку зображено можливі чотири варіанти розташування кола відносно графіку рівняння.

\(a=9\); \(11\); \(13\); \(15.\)

Сума значень параметра \(a{:}\)

\begin{gather*} 9+11+13+15=48. \end{gather*}

Відповідь: \(48.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14336

Завдання 881 з 2265

Визначте кут між векторами \(\vec{a}\) і \(\vec{b}+\vec{c}\) у градусах, якщо відомо, що \(\vec{a}(2;2)\), \(\vec{b}(2;4)\) і \(\vec{c}(-2;-6)\).

Впишіть відповідь:

135

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Вектори і координати на площині.

Це завдання перевіряє знання поняття вектора, уміння виконувати дії з векторами, знаходити кут між векторами.

Кут між векторами знайдемо за формулою:

\begin{gather*} \cos \varphi = \frac{\vec a \cdot (\vec b + \vec c)}{|\vec a| \cdot |\vec b + \vec c|}, \end{gather*}

де \(\varphi\) – кут між векторами.

\begin{gather*} \vec a \cdot (\vec b + \vec c) = 2 \cdot (2 + (-2)) + 2 \cdot (4 + (-6))= 2 \cdot 0 + 2 \cdot (-2) = -4;\\[7pt] |\vec a| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2};\\[7pt] |\vec b + \vec c| = \sqrt{(2 + (-2))^2 + (4 + (-6))^2} = 2;\\[6pt] \cos \varphi = \frac{-4}{2\sqrt{2} \cdot 2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}= -\frac{\sqrt{2}}{2};\\[7pt] \varphi = 135^\circ. \end{gather*}

Відповідь: \(135.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14337

Завдання 882 з 2265

На рисунку зображено розгортку конуса. Визначте відношення площі повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.

Впишіть відповідь:

1.4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей і формул площі поверхні конуса, уміння застосовувати властивості конуса за його розгорткою.

На рисунку зображено розгортку конуса.

\(AB = 15\), \(OB = 6.\)

\begin{gather*} S_\text{біч} = \pi Rl, \end{gather*}

де \(R = OB\) – радіус основи, \(l = AB\) – твірна.

\begin{gather*} S_\text{біч} = \pi \cdot 6 \cdot 15 = 90\pi;\\[7pt] S_\text{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi;\\[7pt] S_\text{поверхні} = S_\text{біч} + S_\text{осн}= 90\pi + 36\pi = 126\pi;\\[6pt] \frac{S_\text{поверхні}}{S_\text{біч}}= \frac{126\pi}{90\pi}= \frac{21}{15}= \frac 75=1\frac 25= 1{,}4. \end{gather*}

Відповідь: \(1{,}4.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14338

Завдання 883 з 2265

У правильній трикутній піраміді \(SABC\) з основою \(ABC\) бічне ребро вдвічі більше за сторону основи. Точки \(K\) і \(L\) є серединами ребер \(AC\) і \(BC\) відповідно. Через пряму \(KL\), паралельно до ребра \(SC\), проведено площину \(\alpha\). Знайдіть кут \(\varphi\) між площиною \(\alpha\) і площиною \((ABC)\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей многогранників, ознак паралельності прямої та площини, кута між прямою та площиною, між площинами, уміння будувати перерізи.

\(SABC\) – правильна піраміда, \(\Delta ABC\) – рівносторонній, \(SO\) – висота піраміди, (точка \(O\) – центр \(\Delta ABC\)). \(AK = KC\), \(CL = LB.\)

У \(\Delta ABC\ KL\) – середня лінія

\begin{gather*} KL = \frac 12AB;\\[6pt] KL\!\parallel\!AB. \end{gather*}

У \(\Delta SBC\) через точку \(L\) проведемо пряму \(PL\!\parallel\!SC.\) У \(\Delta SKA\ KE\!\parallel\!SC.\)

\(EPLK\) – переріз піраміди площиною, паралельною \(SC.\) Доведемо це твердження:

\(SC\) не лежить у \((PLK)\); \(SC\!\parallel\!PL\) \((PL\) належить \((PLK))\) звідси, за ознакою паралельності прямої та площини \(SC\!\parallel\!(PLK).\)

\(SC\!\parallel\!(PLK)\), тому кут між \((PLK)\) і \((ABC)\) дорівнює куту між \(SC\) та \((ABC).\)

\(SO\!\perp\!(ABC)\), \(SC\) – похила, \(CO\) – проєкція похилої.

Звідси \(\angle(SC, (ABC)) = \angle SCO.\)

Нехай \(AB = BC = CA = \alpha.\) Тоді \(SC = SB = SA = 2\alpha.\) \(CO\) – радіус описаного кола навколо \(\Delta ABC.\) \(CO = \dfrac{\alpha}{\sqrt{3}}.\)

У \(\Delta SOC\ (\angle O=90^\circ)\)

\begin{gather*} \cos C = \frac{CO}{SC}= \frac{\alpha}{\sqrt{3}\cdot 2\alpha}= \frac{1}{2\sqrt{3}}.\\[6pt] \angle C = \arccos\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right). \end{gather*}

Відповідь: \(\arccos\left(\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right).\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14339

Завдання 884 з 2265

Розв’яжіть систему нерівностей

\(\begin{cases}\dfrac{(x+3)(x-2)}{x^2-1}\le 1, \\[0,5ex] 4^\sqrt{9-x^2}\le 0{,}25^{x-3}.\end{cases}\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні, показникові та раціональні нерівності та їх системи.

\begin{gather*} \begin{cases} \dfrac{x^2 + x - 6}{x^2 - 1} - 1 \le 0, \\ 4^{\textstyle\sqrt{9 - x^2}} \le 4^{\textstyle 3 - x}, \end{cases}\ \ \begin{cases} \dfrac{x^2 + x - 6 - x^2 + 1}{x^2 - 1} \le 0,\\ \sqrt{9-x^2}\le 3-x, \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} \dfrac{x - 5}{(x - 1)(x + 1)} \le 0,\\ \sqrt{9 - x^2} \le 3 - x, \end{cases}\ \ \begin{cases} \dfrac{x-5}{(x-1)(x+1)}\le 0,\\ \left\{\begin{array}{l} 9 - x^2 \le (3 - x)^2, \\ 9 - x^2 \ge 0, \end{array}\right. \end{cases}\\[7pt] \begin{cases} \dfrac{x-5}{(x-1)(x+1)}\le 0,\\ \left\{\begin{array}{l} x^2 - 3x \ge 0, \\ (x - 3)(x + 3) \le 0. \end{array}\right. \end{cases} \end{gather*}

Розв’яжемо методом інтервалів кожну систему нерівностей:

\begin{gather*} \begin{cases} x(x-3) \ge 0, \\ (x - 3)(x + 3) \le 0. \end{cases} \end{gather*}

\begin{gather*} x \in [-3; 0] \cup \{3\}. \end{gather*}

\begin{gather*} \begin{cases} \dfrac{x-5}{(x-1)(x+1)}\le 0,\\ x \in [-3; 0] \cup \{3\}. \end{cases} \end{gather*}

\begin{gather*} x \in [-3; -1) \cup \{3\}. \end{gather*}

Відповідь: \([-3; -1) \cup \{3\}.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14340

Завдання 885 з 2265

Задано функцію \(f(x)=3x^4-4x^3-12x^2\).

1. Знайдіть проміжки зростання та спадання функції, екстремуми функції.
2. Побудуйте ескіз графіка функції \(f(x)\).
3. Знайдіть кількість коренів рівняння \(f(x)=a\), де \(a\in R\), залежно від значення параметра \(a\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння та нерівності. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, точок екстремуму, проміжків зростання та спадання функції, будувати ескіз графіка функції, розв’язувати графічно рівняння з параметром.

1. Знайдемо проміжки зростання та спадання, екстремуми функції.

\begin{gather*} f'(x)=12x^3-12x^2-24x.\\[7pt] f'(x)=0;\\[7pt] 12x^3-12x^2-24x=0;\\[7pt] 12x(x^2-x-2)=0;\\[7pt] 12x(x-2)(x+1)=0;\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x-2=0,\\ x+1=0, \end{array}\right.\\[7pt] \text{Критичні точки:}\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=2,\\ x=-1. \end{array}\right. \end{gather*}

Знайдемо знак похідної:

\(x=-1\), \(x=2\) – точки мінімуму;
\(x=0\) – точка максимуму.

\(f(x)\) зростає при \(x\in [-1; 0]\cup [2; +\infty)\),
\(f(x)\) спадає при \(x\in (-\infty; -1)\cup [0; 2].\)

2. Побудуємо ескіз графіка:

\(D(f)= R.\)

Знайдемо нулі функції \(f(x)=0\)

\begin{gather*} f(x)=3x^4-4x^3-12x^2=0;\\[7pt] x^2(3x^2-4x-12)=0;\\[7pt] 3x^2-4x-12=0;\\[7pt] D=16-4\cdot 3\cdot (-12)=160;\\[6pt] x_1=\frac{4+4\sqrt{10}}{6}=\frac{2+2\sqrt{10}}{3};\\[6pt] x_2=\frac{2-2\sqrt{10}}{3}.\\[6pt] \left[\begin{array}{l} x=0,\\ x=\dfrac{2+2\sqrt{10}}{3},\\ x=\dfrac{2-2\sqrt{10}}{3}. \end{array}\right. \end{gather*}

Знаходимо проміжки знакосталості функції.

\(f(x)\gt 0\) при \(x\in\left(-\infty; \dfrac{2-2\sqrt{10}}{3}\right)\cup \left(\dfrac{2+2\sqrt{10}}{3}; +\infty\right).\)

\(f(x)\lt 0\) при \(x\in \left(\dfrac{2-2\sqrt{10}}{3}; 0\right)\cup \left(0; \dfrac{2+2\sqrt{10}}{3}\right).\)

\begin{gather*} f(-x)=3(-x)^4-4(-x)^3-12(-x)^2=3x^4+4x^3-12x^2=\\[7pt] =-(-3x^4-4x^3+12x^2) \end{gather*}

Функція ні парна, ні непарна.

Відповідь:
при \(a\in (-\infty; -32\) немає коренів;
при \(a=-32\ \ 1\) корінь;
при \(a\in (-32; -5)\cup (0; +\infty)\ \ 2\) корені;
при \(a\in \{0; -5\}\ \ 3\) корені;
при \(a\in (-5; 0)\ \ 4\) корені;
при \(a\lt 32\) немає коренів;
при \(a=-32\ \ 1\) корінь;
при \(-32\lt a\lt -5\ \ 2\) корені;
при \(a=-5\ \ 3\) корені;
при \(-5\lt a\lt 0\ \ 4\) корені;
при \(a=0\ \ 3\) корені;
при \(a\gt 0\ \ 2\) корені.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 292. Запитання: 14341