ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

Обчислімо витрати пального в місті.

Відомо, що авто витрачає \(6\) л на \(100\) км. Оскільки водій проїхав \(300\) км (тобто три рази по \(100\) км), маємо:

\begin{gather*} 3\cdot 6=18\ \text{л}. \end{gather*}

Обчислімо витрати пального за містом.

Витрата становить \(4\) л на \(100\) км. Водій проїхав за містом \(1000 - 300 = 700\) км (сім разів по \(100\) км):

\begin{gather*} 7\cdot 4=28\ \text{л}. \end{gather*}

Додаймо отримані значення:

\begin{gather*} 18+28=46\ \text{л}. \end{gather*}

Отже, за місяць автомобіль витратив \(46\) літрів пального.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\(-8x=-4\);

\begin{gather*} x=-4:(-8);\\[7pt] x=0{,}5. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння підносити до квадрата вираз з ірраціональним числом.

Для розв'язання завдання треба знати правила дій зі степенями.

Застосуймо властивості:

• степеня

\begin{gather*} (ab)^x=a^x\cdot b^x; \end{gather*}

• арифметичного квадратного кореня

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять.

Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Оскільки кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(900 : 2 = 450.\)

Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом складають іншу половину, вона теж становить \(450\) занять.

Сектор Google Meet більший за сектор Teams і менший за Zoom \((450).\) Візуально орієнтовна кількість занять:

Google Meet \(\approx 300\) занять;
Teams \(\approx 150\) занять.

Оскільки сектор Teams менший за сектор Google Meet, його значення має бути меншим за половину від \(450\) (тобто меншим за \(225\)). Серед варіантів відповіді лише \(150\) задовольняє ці умови.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння з параметрами, а також досліджувати їхні властивості за допомогою теореми Вієта.

\begin{gather*} x^2+(9-a)x+20-3a-2a^2=0;\\[7pt] x_1\lt 0\ \text{i}\ x_2\lt 0. \end{gather*}

Щоб корені існували, дискримінант \((D)\) має бути невід’ємним:

Оскільки \((3a-1)^2\ge 0\) для будь-якого значення \(a\), то корені існують за будь-якого \(a.\)

Щоб обидва корені були від’ємними, мають одночасно виконуватися дві умови: \(x_1+x_2\lt 0\) i \(x_1\cdot x_2\gt 0.\)

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

Проаналізуймо суму коренів цього рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2\lt 0,\\ x_1+x_2=-(9-a); \end{array}\right.\\[7pt] -9+a\lt 0;\\[7pt] a\lt 9. \end{gather*}

Проаналізуймо добуток коренів цього рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1\cdot x_2\gt 0,\\ x_1\cdot x_2=20-3a-2a^2; \end{array}\right.\\[7pt] 20-3a-2a^2\gt 0. \end{gather*}

Помножмо на \(-1\), змінивши знак нерівності:

Отже, \(a\in (-4; 2{,}5).\)

Знайдімо перетин отриманих умов:
1. \(a\lt 9.\)
2. \(a\in (-4; 2{,}5).\)

Спільним розв’язком є проміжок \(a\in (-4; 2{,}5).\)

Цілі значення \(a\) в цьому проміжку:

\begin{gather*} \{-3; -2; -1; 0; 1; 2\}. \end{gather*}

Найменше ціле значення: \(-3.\)

Відповідь: \(-3.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння обчислювати об’єм піраміди.

Маємо правильну трикутну піраміду, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.

Об'єм піраміди обчислімо за формулою:

\begin{gather*} V=\frac 13S_\text{осн}\cdot H, \end{gather*}

де \(S_\text{осн}\) – площа основи, \(H\) – висота.

Основа висоти \(H\) піраміди збігається із центром вписаного кола основи. Розгляньмо прямокутний трикутник \(DOK\), катети якого – висота піраміди \(H=DO\) та радіус вписаного кола \(r=OK\), а гіпотенуза – апофема \(L=DK=8\) см.

Радіус вписаного кола для правильного трикутника:

\begin{gather*} r=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=4\ \text{см}. \end{gather*}

За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(192.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє вміння використовувати комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

І. Для виконання замовлення автобуса виконавець має \(8\) різних автобусів. Оскільки треба вибрати лише один, то кількість способів зробити це дорівнює кількості автобусів: \begin{gather*} N_1=8. \end{gather*}

II. Для виконання замовлення на два мікроавтобуси виконавець має \(6\) різних мікроавтобусів. Треба вибрати два з них. Оскільки порядок вибору не має значення (просто потрібні дві машини), скористаймося формулою для комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Отже, виконавець замовлення може \(15\) способами вибрати два мікроавтобуси.

Оскільки треба вибрати і автобус, i мікроавтобуси одночасно, застосуймо правило добутку:

\begin{gather*} 8\cdot 15=120\ \text{варіантів}. \end{gather*}

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(120.\)

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє знання таблиці первісних, уміння застосовувати правила визначення первісних у точці.

Будь-які дві первісні \(F(x)\) і \(G(x)\) для тієї самої функції \(f(x)\) різняться лише деякою сталою величиною \(C\):

\begin{gather*} G(x)=F(x)+C. \end{gather*}

За умовою маємо первісну

\begin{gather*} F(x)=4x^3-3x^2+9. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} G(x)=4x^3-3x^2+9+C. \end{gather*}

Відомо, що графік функції \(G(x)\) проходить через точку з координатами \((-1; 0).\) Це означає, що за \(x=-1\) значення функції \(G(-1)=0.\) Підставмо ці значення в рівняння:

\begin{gather*} 0=4\cdot (-1)^3-3\cdot (-1)^2+9+C;\\[7pt] 0=4\cdot (-1)-3\cdot (1)+9+C;\\[7pt] 0=-4-3+9+C;\\[7pt] 0=2+C;\\[7pt] C=-2. \end{gather*}

Отже, функція \(G(x)\) має вигляд:

Обчислімо значення функції в точці \(x=1.\)

\begin{gather*} G(1)=4\cdot (1)^3-3\cdot (1)^2+7;\\[7pt] G(1)=4-3+7;\\[7pt] G(1)=8. \end{gather*}

Відповідь: \(8.\)

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, прямокутних трикутників.

1. \(AO.\)

За умовою точка \(O\) – середина діагоналі \(AC\), тому маємо:

\begin{gather*} AO=AC:2=80:2=40\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(AD.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(ACD\ (\angle A=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(AB.\)

Проведімо висоту \(BK\) з вершини \(B\) до основи \(AD.\) Трапеція прямокутна, тому \(BK=CD=48\) см.

Нехай \(AB=BC=x.\) Тоді чотирикутник \(KBCD\) – прямокутник, отже \(KD=BC=x.\) Тоді відрізок \(AK=AD-KD=64-x.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(ABK.\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+KB^2;\\[7pt] (64-x)^2+48^2=x^2;\\[7pt] 4096-128x+x^2+2304=x^2;\\[7pt] -128x+6400=0;\\[7pt] 128x=6400;\\[7pt] x=6400:128;\\[7pt] x=50. \end{gather*}

Тож \(AB=50\) см.

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Функція \(y=(x+2)^2\) квадратична, її графік – парабола.

Графік отримано паралельним перенесенням параболи \(y=x^2\) на \(2\) одиниці ліворуч уздовж осі \(Ox.\) Вершина параболи має координати \((-2; 0).\) Гілки напрямлені вгору. Отже, на проміжку \((-\infty; -2]\) функція спадає, а на проміжку \([-2; +\infty)\) – зростає.

Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(y=2\sqrt{x}\) – ірраціональна функція.

Графік \(y=2\sqrt{x}\) – вітка параболи, що виходить із точки \((0; 0)\) і лежить у першій чверті.

Пряма \(y=x-2\) проходить через точки \((2; 0)\) і \((0; -2).\)

Графік функції \(y=2\sqrt{x}\) має одну спільну точку з графіком функції \(y=x-2.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Функція \(y=2^x\) показникова з основою \(a=2.\)

Вона зростає \((a\gt 1)\) на всій області визначення, тобто на проміжку \((-\infty; +\infty).\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних, логарифмічних виразів.

1. Якщо \(n\cos 8\pi=a\), то…

Функція \(\cos x\) має період \(2\pi.\)

\begin{gather*} \cos 8\pi =\cos(4\cdot 2\pi)=\cos 0=1. \end{gather*}

Тоді \(a=n\cdot 1=n.\)

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Якщо \(\log_2 8+\log_2 n=\log_2 a\), то...

\begin{gather*} \log_2 (8n)=\log_2 a. \end{gather*}

Якщо логарифмічні вирази мають однакові основи \((2)\), можна прирівняти їхні підлогарифмічні вирази (аргументи).

Отже, \(8n=a.\)

Застосували властивість логарифмів:

\begin{gather*} \log_a b+\log_a c=\log_a (b\cdot c). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Якщо \(\sqrt{\sqrt[\scriptstyle n]{8}}=\sqrt[\scriptstyle a]{8}\), то…

Квадратний корінь \(\sqrt{\vphantom{X}\ldots}\) має показник \(2.\) Скористаймося властивістю \(\sqrt[\scriptstyle m]{\sqrt[\scriptstyle n]{x}}=\sqrt[\scriptstyle {mn}]{x}\ \ {:}\)

\begin{gather*} \sqrt{\sqrt[\scriptstyle n]{8}}=\sqrt[\scriptstyle 2n]{8}\ ;\\[7pt] \sqrt[\scriptstyle 2n]{8}=\sqrt[\scriptstyle a]{8}. \end{gather*}

Звідси \(a=2\cdot n=2n.\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників, зокрема квадрата, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора.

\(ABCD\) – квадрат, \(BC=12\) см. Точка \(K\) ділить сторону \(BC\) у відношенні \(BK:KC=3:1.\) Нехай \(BK=3x\) см, \(KC=x\) см.

\begin{gather*} BC=BK+KC;\\[7pt] 3x+x=12\ \text{см};\\[7pt] 4x=12\ \text{см};\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Отже, \(BK=9\) см, \(KC=3\) см.

Розгляньмо \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ).\) Катети \(AB=12\) см і \(BK=9\) см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AK^2=AB^2+BK^2. \end{gather*}

Визначмо довжину гіпотенузи:

\begin{gather*} AK^2=12^2+9^2=144+81=225;\\[7pt] AK=\sqrt{225}=15\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_5=a_1+4d;\\[7pt] a_3=a_1+2d. \end{gather*}

Спростімо вираз:

Отже, \(a_5-a_3=2\cdot 4=8.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних та ірраціональних рівнянь.

Піднесімо обидві частини першого рівняння до квадрата:

\begin{gather*} ((\sqrt{a})^2=a,\ \text{якщо}\ a\ge 0){:}\\[7pt] 2x=6;\\[7pt] x=6:2. \end{gather*}

Підставмо \(x=3\) у рівняння \(x-4y=7{:}\)

\begin{gather*} 3-4y=7;\\[7pt] -4y=7-3;\\[7pt] -4y=4;\\[7pt] y=4:(-4);\\[7pt] y=-1. \end{gather*}

Отже, \(y_0=-1.\)

Відповідь: B.