ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їх системи. Відношення та пропорції.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі за допомогою рівнянь на пропорційні величини та пропорційний поділ.

Нехай \(x\ \text{с}\) – тривалість жовтого сигналу, систематизуємо дані:
Зелений - \(12x\ \text{с}\)
Червоний - \((12x-15)\ \text{с}\)
Жовтий - \(x\ \text{с}\).

Тривалість зеленого сигналу відноситься до сумарної тривалості червоного та жовтого сигналів як 3 до 2.

Отже, \begin{gather*} \frac{12x}{12x-15+x}=\frac 32,\ \ \frac{12x}{13x-15}=\frac 32,\\[6pt] 3(13x-15)=2\cdot 12x,\ \ 39x-45=24x,\\[7pt] 15x=45,\ \ x=3. \end{gather*} Тривалість червоного сигналу: $$ 12x-15=12\cdot 3-15=36-15=21\ \text{с}. $$

Відповідь: 21.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів та знаходити їх числове значення.

Відповідь: 7.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати рівняння, використовуючи означення та властивості модуля.

Якщо \(x\geq 0\), то \(|x|=x\). Отже, \(x+4x=3,\ 5x=3,\ x=0,6\).

Якщо \(x\lt 0\), то \(|x|=-x\). Отже, \(x-4x=3,\ -3x=3,\ x=-1\).

У відповідь запишемо їхню суму \(0,6+(-1)=-0,4\).

Відповідь: –0,4.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі, використовуючи розміщення (без повторень), комбінаторні правила суми та добутку.

Кількість способів вибрати 2 теми з 10 запропонованих знаходимо за формулою розміщень:

Відповідь: 90.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити область значень функції, будувати графіки квадратичних функцій, установлювати властивості числових функцій, заданих формулою, використання перетворення графіків функцій, знаходити первісну функції.

1. \begin{gather*} y(0)=2\cdot 0+8=8\\[7pt] y=0,\ \ 2x+8=0,\ \ x=-4\\[7pt] y(9)=2\cdot 9+8=26. \end{gather*}

2. \(M(-4;\ 0)\) – точка перетину графіка функції з віссю \(x\).

3.

4. Первісна функції \(f\), яка проходить через точку \(M(-4;\ 0)\) \begin{gather*} 0=(-4)^2+8\cdot (-4)+C,\\[7pt] 0=16-32+C,\ \ C=16\\[7pt] F(x)=x^2+8x+16. \end{gather*}

5. Побудуємо графік функції \(F(x)=x^2+8x+16\), \(F(x)=(x+4)^2\).

Використаємо елементарні перетворення графіків:

\(F(x)=x^2 \rightarrow F(x)=(x+4)^2\) переносимо вліво на 4 одиниці вздовж осі \(Ox\).

6. Область визначення функції \(F(x)\ E(y)=[0;\ +\infty)\).

Функцію \(G(x)=3F(x)+1\) отримаємо з функції \(F(x)\) стисканням в 3 рази до осі \(Oy\) та паралельним перенесенням на 1 одиницю вгору вздовж осі \(Oy\).

Отже, \(E(G)=[1;\ \infty)\).

Відповідь:

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення об’ємів геометричних тіл, знання основних властивостей піраміди.

1. \(SABCD\) - правильна піраміда. \(ABCD\) - квадрат, \(SO\) - висота, \(AC\cap BD=0\).

\(SK\perp AB,\ SK=6\) - апофема.

\(\angle BSA=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}\) - плоский кут при вершині \(S\).

2. \(\triangle BSA\) - рівнобедрений \(\rightarrow SK\) - висота, бісектриса та медіана. \begin{gather*} \angle KSA=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2},\ \ SK=6.\\[6pt] AK=SK\mathrm{tg} S=6\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}.\\[6pt] AB=2AK=12\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}. \end{gather*}

3. \(OK=AK=6\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\) (\(\triangle AOB\) - рівнобедрений прямокутний). $$ S_{ABCD}=AB^2=\left(12\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\right)^2=144\mathrm{tg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}. $$ У \(\triangle SOK\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

Відповідь: 2. \(12\mathrm{tg}\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\)
3. \(\frac{288\mathrm{tg}^2\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\sqrt{\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку вміння знаходити кути у просторі, знання про двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

1. \(\triangle DSC=\triangle BSC\) (\(SABCD\) - правильна піраміда), \(DM\perp SC\), \(BM\perp SC\) - відповідні висоти в рівних трикутниках. \((DSC)\cap(BSC)=SC\). \begin{gather*} \left. \begin{array}{ c c c} SC\perp MD & \\ SC\perp MB & \\ BM\cap DM& \end{array}\right| \rightarrow (BMD)\perp SC\rightarrow \end{gather*} \(\angle BMD\) - лінійний кут відповідного двогранного між \((BSC)\) та \((DSC)\).
\(\angle BMD=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\).

2. 1) \(\triangle SOD\ (\angle O=90^\circ)\)

2) \(\triangle BMD\) - рівнобедрений (\(BM=MD)\) \(MO\) - бісектриса, висота та медіана. $$ \angle BMD=\angle OMD=\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}}{2}. $$

3) \begin{gather*} \triangle SMD\ (\angle M=90^\circ)\\[6pt] MD=SD\cdot\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}=\frac{6\sin\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}=\\[6pt] =\frac{6\cdot 2\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}{\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}=12\sin\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}. \end{gather*}

4)

Відповідь: \(2\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}\cos\frac{\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}}{2}}\right)\).

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних та раціональних виразів.

Доведемо тотожність

що й вимогалось довести.

При доведенні використали формули: \begin{gather*} \sin2x=2\sin x\cos x\\[6pt] \sin^2x+\cos^2x=1\\[6pt] x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2). \end{gather*}

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати логарифмічні, квадратні рівняння та рівняння з параметрами.

1. Знайдемо множину допустимих значень змінної \(x\):

2. Розв'яжемо рівняння залежно від значень \(a\): \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} \left[ \begin{array}{l l} x-2=0 & \\ x^2-3(a-1)x+2a^2-3a=0& \end{array}\right. &\\ x\in (-\infty;\ -0,5)\cup (-0,5;\ 1,5) & \end{array}\right. \end{gather*}

1) \(x-2=0,\ \ x=2\ \notin\) ОДЗ.

2) \(x^2-3(a-1)x+2a^2-3a=0\).

Розв'яжемо квадратне рівняння: \begin{gather*} D=\left(-3(a-1)\right)^2-4(2a^2-3a)=\\[7pt] =9(a^2-2a+1)-8a^2+12a=(a-3)^2\\[6pt] x_1=\frac{3(a-1)+(a-3)}{2}=2a-3;\\[6pt] x_2=\frac{3(a-1)-(a-3)}{2}=a. \end{gather*}

Знайдемо значення переметра \(a\), при яких \(x_1=2a-3\) належить ОДЗ: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} 2a-3\lt -0,5 & \\ -0,5\lt 2a-3\lt 1,5& \end{array}\right. \left[ \begin{array}{l l} a\lt 1,25 & \\ 1,25\lt a\lt 2,25& \end{array}\right. \\[7pt] a\in (-\infty;\ 1,25)\cup (1,25;\ 2,25). \end{gather*} Для кореня \(x_2=a\) \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} a\lt -0,5 & \\ a\in (-0,5;\ 1,5)& \end{array}\right. \\[7pt] a\in (-\infty;\ -0,5)\cup (-0,5;\ 1,5). \end{gather*}

Відповідь:
якщо