ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати задачі на обчислення площ поверхонь геометричних тіл.

$EF$ – апофема (висота бічної грані).

$ABCD$ – квадрат зі стороною $8\text{см}$. $$S_{\text{повної}}=S_{\text{бічної}}+S_{\text{основи}}=208{\text{см}}^2$$

За формулою

запишемо площу бічної поверхні (де $m=EF$) $$S_{\text{основи}}=8^2=64({\text{см}}^2)$$

Отже,

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові нерівності.

Розв'яжемо показникову нерівність:

Функція $y=3^x$ зростає, отже, $$\begin{array}{c}x<3-x;2x<3;x<\frac{3}{2}.\\ x\in (-\mathrm{\infty };\frac{3}{2}).\end{array}$$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей трикутника, трапеції; вміння розв’язувати задачі практичного змісту.

Побудуємо математичну модель задачі:

$ABCD$ – рівнобічна трапеція, $AB=CD$. Уздовж основи $BC$ встановлено $15$ стовпчиків на відстані $1$ м. Отже, довжина сторони $BC=14\text{м}$.

Відстань між паралельними сторонами $BC$ та $AD$ дорівнює $5$ м. $$CE\perp AD,CE=5\text{м}.$$

У $\mathrm{△}CED(\mathrm{\angle }E={90}^{\circ })$ за теоремою Піфагора

Уздовж сторін $AB$ й $CD$ має бути по $13$ стовпчиків.

Всього стовпчиків має бути $$13+15+13=41$$

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання скеровано на перевірку вміння установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Побудуємо задані графіки функцій

1. $y={\log }_{2}x$

Не перетинає вісь $y$. Отже, 1 – А.

2. $y=x^2+3$

Має лише одну спільну точку з графіком рівняння $x^2+y^2=9$. Отже, 2 - Г.

3. $y=\cos x$.

Розташований у всіх координатних чвертях. Отже, 3 - В.

Відповідь: 1А, 2Г, 3В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази, вирази з модулем та їх перетворення.

Завдання скеровано на перевірку вміння виконувати тотожні перетворення виразів, порівнювати числа, розуміння поняття числового проміжку.

1. $$|x-\sqrt{5}|=|\sqrt{5}-1-\sqrt{5}|=|-1|=1$$ Oтже, 1 - Б.

2. $$\begin{array}{c}(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)=(\sqrt{5}{)}^2-1^2=\\ =5-1=4\end{array}$$ використали формулу $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ Отже, 2 - B.

3. $$\begin{array}{c}{x}^2+2x+1=(x+1{)}^2=\\ =(\sqrt{5}-1+1{)}^2=(\sqrt{5}{)}^2=5\end{array}$$ використали формулу $$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$ Отже, 3 - Г.

Відповідь: 1Б, 2В, 3Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Завдання скеровано на перевірку знання поняття відстані від точки до площини, між паралельними площинами.

1. Довжина діагоналі куба дорівнює $$\begin{array}{c}{B}_1{D}^2=A{D}^2+D{C}^2+D{D}_1^2=\\ =2^2+2^2+2^2=12\\ B_{1}D=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}\end{array}$$ Отже, 1 - В.

2. Бічне ребро $A{A}_1\perp (A_1{B}_1{C}_1)$, а отже, й прямій $A_1{C}_1$, яка міститься в цій площині $$A{A}_1=\rho (A,A_1{C}_1)=2$$ отже, 2 - A.

3. Осьовий переріз куба $B{B}_1{D}_{1}D$ перпендикулярний площині основи. $AO\perp BD$ за властивістю квадрата. Отже, $$\begin{array}{c}\rho (A,(B{B}_1{D}_1))=AO\\ AC=2\sqrt{2},\\ AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}=\sqrt{2}.\end{array}$$ отже, 3 - Д

Відповідь: 1В, 2А, 3Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання скеровано на перевірку знання властивостей паралелограма, ромба; вміння використовувати формули площ геометричних фігур для розв’язування планіметричних задач.

1. На рис. 1 зображено ромб. За властивістю ромба діагоналі перетинаються під прямим кутом. Отже, 1 – A.

2.

У $\mathrm{△}ABK(\mathrm{\angle }K={90}^{\circ })$ катет $BK=4$ менше гіпотенузи вдвічі $AB=8$, тому $\mathrm{\angle }A={30}^{\circ }(\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}=\frac{BK}{AB})$. Правильна відповідь - Б.

3.

За формулою $S=a{h}_a$, де $a=8,h_a=2$. Площа паралелограма $S=8\cdot 2=16$. Отже, 3 – Д.

Відповідь: 1А, 2Б, 3Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа та дії над ними. Відсотки. Основні задачі на відсотки.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом, знаходити відсоток від числа.

1. У 100 г морозива міститься:

2. Морозиво, з'їдене Ладою, становило $30\text{\%}$ від $500\text{г}$. Маса з'їденого морозива $$500\cdot 0,3=150\text{г}.$$

У $100\text{г}$ морозива енергетична цінність становить $206\text{ккал}$.

У $150\text{г}$ морозива енергетична цінність становить $206\cdot 1,5=309\text{ккал}$, тому що $150\text{г}$ у $1,5$ рази більше, ніж $100\text{г}$.

Відповідь: 1. 206. 2. 309.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники. Круг.

Завдання скеровано на перевірку знання основних властивостей геометричних фігур.

$\mathrm{\angle }KAD={90}^{\circ },S_{\text{сектора}}=100\pi {\text{см}}^2,$ $BM=16\text{см}.$

1. Площа сектора $KAD$ становить $\frac{1}{4}$ площі круга.

Площа круга $S=\pi R^2$. Отже, $S_{\text{сектора}}=\frac{1}{4}\pi R^2=100\pi .$

2. $AM=AD=20\text{см}$ (як радіуси)
$BM=16\text{см}$ (за умовою).

У $\mathrm{△}ABM(\mathrm{\angle }B={90}^{\circ })$ за теоремою Піфагора $$\begin{array}{c}A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2;\\ A{B}^2={20}^2-{16}^2=(20-16)(20+16)=\\ =4\cdot 36\\ AB=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6=12\text{см}\\ S=AB\cdot AD=12\cdot 20=240{\text{см}}^2\end{array}$$

Відповідь: 1. 20. 2. 240.