ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей функцій, уміння розв’язувати рівняння першого степеня.

Точка перетину графіка функції \(y=2x-2\) з віссю абсцис має ординату нуль \((y=0).\) Абсцису точки знаходимо з рівняння:

Точка перетину графіка з віссю абсцис \((1; 0).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відстань між двома точками в просторі, знання рівняння сфери.

Рівняння сфери $$ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2. $$ Центр сфери \((0; 0; 0).\)

Точка \(A(0; 0; -5)\) належить сфері, тому радіус сфери \(R=5.\) Рівняння даної сфери $$ x^2+y^2+z^2=25. $$

Координати точки \(N(0; 0; 5)\) задовольняють даному рівнянню.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє знання означення степеня з раціональним показником, уміння розв’язувати показникові та лінійні рівняння.

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості. Аксіоми планіметрії.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв’язування планіметричних задач.

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння першого степеня, застосовувати загальні методи та прийоми в процесі розв’язання рівнянь.

Розв’яжемо рівняння першого степеня відносно \(y:\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання кута між прямою та площиною, між площинами, уміння застосовувати властивості піраміди до розв'язування стереометричних задач.

1. 

2. \(SA\ \perp\ (ABC)\), \(SB\) – похила, отже \(AB\) – проекція \(SB\) на \((ABC).\) Тому кут між площинами \(SB\) та \((ABC)\mathord{:}\ \angle SBA=30^\circ.\)

3. У \(\Delta SAB\ (\angle A=90^\circ)\)

4. За умовою, \(\Delta ABC\) – гострокутний, тому основа висоти \(AK\) до сторони \(BC\) належить стороні \(BC.\)

5. \(AK\ \perp\ BC\), \(SK\ \perp BC\) (за теоремою про три перпендикуляри), звідси \((SAK)\ \perp\ BC\), а отже \(\angle SKA\) – лнійний кут двогранного кута між площинами \((SBC)\) та \((ABC).\)

6. 

отже, \(AK=8.\)

7. У \(\Delta SAK\ (\angle A=90^\circ)\)

Відповідь: \(\mathrm{arctg}\ \frac{3\sqrt{3}}{4}.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння, нерівності з параметрами; рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

Знайдемо область допустимих значень: $$ \left\{\begin{array}{l} |x+6|-|x|+6\ne 0,\ \ (1)\\ x+2a\ge 0,\\ 4-x\ge 0. \end{array}\right. $$

Розв'яжемо рівняння (1): $$ |x+6|-|x|+6\ne 0 $$

I) при \(x\in (-\infty; -6]\) \begin{gather*} -x-6+x+6=0,\\[7pt] 0=0 \end{gather*} при будь-якому значенні \(x\) знаменник дорівнює нулю, тому на даному проміжку коренів немає.

II) при \(x\in (-6; 0)\) \begin{gather*} x+6+x+6=0,\\[7pt] x=-6 \end{gather*} на даному проміжку немає значень \(x\) при яких знаменник дорівнює нулю.

III) при \(x\in [0; +\infty)\) \begin{gather*} x+6-x+6=0,\\[7pt] 12\ne 0 \end{gather*} на даному проміжку немає значень \(x\) при яких знаменник дорівнює нулю.

Якщо \(-2a\gt 4\), то \(a\lt -2\) розв'язків немає.

Розглянемо випадок \(-2a\le 4\), \(a\ge -2.\)

На області допустимих значень \(x_2=7n,\ n\in Z\) має \(x=0\) корінь.

\(x_1=2-a\) – корінь за умови

при \(a\in [-2; 8)\)

при \(x_1=x_2=0\), \(\ 2-a=0\), \(\ a=2.\)

Відповідь: при \(a\in (-\infty; -2)\) немає коренів;
                   при \(a\in [-2; 0)\ x=2-a\);
                   при \(a\in [0; 2]\cup (2; 8)\ x_1=2-a\); \(x_2=0\);
                   при \(a\in [8; +\infty)\cup \left\{2\right\}\ x=0.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Показникові, логарифмічні, квадратичні функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити область значень та визначення функцій, будувати графіки елементарних функцій.

Знайдемо область допустимих значень:

Розв'яжемо методом інтервалів:

Область визначення даної функції \(D(y)=(0; 5).\)

Використаємо основну логарифмічну тотожність: \(a^{\log_ab}=b\), тоді \(y=5x-x^2.\)

Отже, побудувати необхідно графік квадратичної функції.

\(a=-1\), гілки параболи напрямлені вниз.

Знаходимо координати вершини параболи:

\((2\mathord{,}5; 6{,}25)\) – вершина.

Точки перетину параболи з осями координат:

Побудуємо графік функції на області визначення:

Область значень: \(E(y)=(0; 6\mathord{,}25].\)

Відповідь: \((0; 6\mathord{,}25].\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами, знаходити скалярний добуток векторів.

1. \(AD\ ||\ BC.\) Отже,

2. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) (за правилом трикутника). Отже, \(\overrightarrow{AC}(-2; 12).\)

3. \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BD}(-10; -3).\)

4. Знаходимо скалярний добуток векторів:

Відповідь: \(-16.\)