Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 1315

Завдання 1316 з 2199

Доведіть тотожність
$$ \frac{6a^2+20a-16}{a+4}=\frac{2-3a}{\sin 330^\circ}. $$

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 3.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1317 з 2199

Задано систему рівнянь $$ \left\{ \begin{array}{l} ax^2+ax+3^{2+y^2}=27,\\ x+3^{1+y^2}=8, \end{array} \right. $$ де $x,\ y$ – зміннi, $a$ – стала.

1. Розв'яжіть цю систему, якщо $a=0$.

2. Визначте всі розв'язки заданої системи залежно від значень $a$.

Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, воно оцінюється екзаменатором за спеціальними критеріями оцінювання.
Максимальна кількість балів за це завдання: 6.

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи.

Завдання скеровано на перевірку вміння розв’язувати показникові, квадратні рівняння та рівняння з параметрами.

1. Розв'яжемо систему, якщо $a=0$.

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} 0\cdot x^2+0\cdot x+3^{2+y^2}=27, & \\ x+3^{1+y^2}=8, & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} 3^{2+y^2}=27, & \\ x+3^{1+y^2}=8, & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} 3^2\cdot 3^{y^2}=27, & \\ x+3^1\cdot 3^{y^2}=8, & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} 3^{y^2}=3^1, & \\ x+3\cdot 3=8, & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} y^2=1, & \\ x=-1 & \end{array}\right. \left\{ \begin{array}{ l l} \left [\begin{array}{l l} y_1=1,& \\ y_2=-1, & \end{array}\right. & \\ x=-1& \end{array}\right. \\[7pt] (-1;\ 1),\ \ (-1;\ -1). \end{gather*}

2. Визначимо всі розв'язки системи:

\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l} ax^2+ax+9\cdot 3^{y^2}=27, & \\ x+3\cdot 3^{y^2}=8, & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} ax^2+ax+3(8-x)=27, & \\ 3\cdot 3^{y^2}=8-x, & \end{array}\right. \\[7pt] \left\{ \begin{array}{ l l} ax^2+x(a-3)-3=0, & \\ 3^{y^2}=\frac{8-x}{3}, & \end{array}\right. \end{gather*}

Розв'яжемо квадратне рівняння:

\begin{gather*} ax^2+x(a-3)-3=0\\[7pt] D=(a-3)^2-4\cdot a\cdot (-3)=a^2-6a+9+12a=\\[7pt] =a^2+6a+9=(a+3)^2. \end{gather*}

$D\geq 0$ при будь-якому значенні $a$.

\begin{gather*} x_1=\frac{-(a-3)+a+3}{2a}=\frac{-a+3+a+3}{2a}=\frac 3a\\[6pt] x_2=\frac{-(a-3)-a-3}{2a}=\frac{-a+3-a-3}{2a}=-1. \end{gather*}

Знайдемо значення $y$: \begin{gather*} \text{якщо}\ x_2=-1,\ \text{то}\ 3^{y^2}=\frac{8-(-1)}{3}=3\\[6pt] y^2=1,\ \ y=1\ \text{або}\ y=-1. \end{gather*}

Отже, $(-1;\ 1),\ (-1;\ -1)$ – розв'язки системи при всіх значеннях $a$.

якщо $x_1=\frac 3a$, то

\begin{gather*} 3^{y^2}=\frac{8-\frac 3a}{3}\\[6pt] 3^{y^2}=\frac{8a-3}{3a}\\[6pt] y^2=\log_3\frac{8a-3}{3a}\\[6pt] y_1=\sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}}\\[6pt] y_2=-\sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}} \end{gather*}

Якщо $y^2\geq 0$, то $3^{y^2}\geq 1$.

Отже, розв'язки $\left(\frac 3a;\ \sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}}\right)$ та $\left(\frac 3a;\ -\sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}}\right)$ будуть розв'язками системи за умови \begin{gather*} \frac{8a-3}{3a}\geq 1,\ \ \frac{8a-3-3a}{3a}\geq 0,\\[6pt] \frac{5a-3}{3a}\geq 0,\ \ \frac{5(a-0,6)}{3a}\geq 0 \end{gather*}

розв'яжемо методом інтервалів:

$$ a\in (-\infty;\ 0)\cup [0,6;\ +\infty). $$

Відповідь:
1. $(-1;\ -1)\ (-1;\ 1)$
2. якщо $a\in [0;\ 0,6)$, то розв'язком є $(-1;\ 1)$ i $(-1;\ 1)$
якщо $a\in (-\infty;\ 0)\cup [0,6;\ +\infty)$, то розв'язками системи є $(-1;\ 1);\ (-1;\ -1); \left(\frac 3a;\ \sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}}\right);$ $\left(\frac 3a;\ -\sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}}\right)$.

Вид завдання: Це завдання відкритого типу з розгорнутою відповіддю, тому не передбачає автоматичного оцінювання.
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1318 з 2199

Радіус основи конуса $R$, твірна нахилена до площини основи під кутом $\alpha$. Через вершину конуса проведено площину під кутом $\varphi$ до його висоти. Ця площина перетинає основу конуса по хорді. Знайдіть площу утвореного перерізу.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1319 з 2199

Задано функції $f(x)=x^2+1$ i $g(x)=7-x$.

1. Знайдіть абсциси точок перетину графіків функцій $f(x)$ і $g(x)$. У прямокутній системі координат зобразіть фігуру, обмежену цими графіками.
2. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій $f(x)$ і $g(x)$.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1320 з 2199

Завдання 1321 з 2199

З кошика, у якому лежать $4$ зелених і $5$ жовтих яблук, виймають навмання одне яблуко. Яка ймовірність того, що це яблуко буде жовтого кольору?

А$\frac 12$

Б$\frac 19$

В$\frac 49$

Г$\frac 59$

Д$\frac 15$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1322 з 2199

У коробці лежать тістечка двох видів: бісквіти та бeзе. Яке з наведених чисел може бути кількістю тістечок у коробці, якщо бісквітів у $5$ разів більше, ніж бeзе?

А$27$

Б$44$

В$50$

Г$61$

Д$72$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1323 з 2199

Вершина $B$ паралелограма $ABCD$ лежить на прямій $MC$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $CDA$, якщо $\angle MBA=25^\circ$.

А$65^\circ$

Б$115^\circ$

В$155^\circ$

Г$165^\circ$

Д$175^\circ$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1324 з 2199

Розв’яжіть рівняння $2x-3=4.$

А$0{,}5$

Б$3{,}5$

В$\frac 27$

Г$5$

Д$-0{,}5$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 1325 з 2199

Визначте об’єм циліндра, радіус основи якого дорівнює $4\ \text{см}$, а висота – $10\ \text{см}$.

А$40\mathbf{\pi}\ \text{см}^3$

Б$\frac{40\mathbf{\pi}}{3}\ \text{см}^3$

В$\frac{160\mathbf{\pi}}{3}\ \text{см}^3$

Г$80\mathbf{\pi}\ \text{см}^3$

Д$160\mathbf{\pi}\ \text{см}^3$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на