Пояснення

33

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння мішаного типу з параметром.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати рівняння залежно від значення параметра.

Задане рівняння

ріносильне системі

Знайдемо корені рівняння

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x=0. $$

Для цього запишемо це рівняння у вигляді

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^a\cdot 5^x+5^x-5^{a-1}=0, $$

тобто

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^x\cdot (5^a-1)-5^{a-1}=0, $$

і розглянемо його як квадратне відносно \(5^x.\) Знайдемо дискримінант

Тоді:

1)

$$ (5^x)_1=\frac{(5^a-1)-(5^a+1)}{2\cdot 5}=-\frac 15. $$

Оскільки завжди \(5^x\gt 0\), то рівняння \(5^x=-\frac 15\) не має коренів.

2)

Рівняння \(5^x=5^{a-1}\) має єдиний корінь \(x=a-1.\)

Отже, рівняння

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x=0 $$

має єдиний корінь \(x=a-1\), відповідно нерівність

$$ 5\cdot 5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x\ne 0 $$

виконується для всіх \(x\ne a-1.\)

Рівняння

$$ \sqrt{x^2+(4a-4)x+4a^2}-2\sqrt{2a}=0 $$

рівносильно системі

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x^2+(4a-4)x+4a^2=8a,\\ a\ge 0, \end{array}\right. \end{gather*}

тобто

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x^2+(4a-4)x+4a^2-8a=0,\\ a\ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Зауваження. Окремо розв'язувати нерівність

$$ x^2+(4a-4)x+4a^2\ge 0 $$

залежно від значень \(a\) непотрібно. Адже рівняння \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\) на множині розв'язків рівносильне системі

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} f(x)=g(x),\\ f(x)\ge 0,\\ g(x)\ge 0, \end{array}\right. \end{gather*}

яка, в свою чергу, рівносильна кожній із систем

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} f(x)=g(x),\\ f(x)\ge 0, \end{array}\right.\ \ \text{або}\ \ \left\{\begin{array}{l} f(x)=g(x),\\ g(x)\ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

На практиці з останніх двох систем розглядаємо ту, у якій нерівність \(f(x)\ge 0\) чи \(g(x)\ge 0\) є простішою.

Розв'яжемо квадратне рівняння

причому \(x_1\ne x_2\) для всіх значень параметра \(a.\)

Зауваження. Квадратне рівняння

$$ x^2+(4a-4)x+4a^2-8a=0 $$

можна розв'язати, виконавши низку наступних перетворень:

\begin{gather*} x^2+4ax+4a^2-4x-8a=0,\\[7pt] (x+2a)^2-4(x+2a)=0,\\[7pt] (x+2a)(x+2a-4)=0, \end{gather*}

звідси отримуємо \(x+2a=0\) або \(x+2a-4=0\), тобто \(x=-2a\) або \(x=4-2a.\)

Залишилося врахувати обмеження на параметр \(a\mathord{:}\) \(a\ge 0\) та на \(x\mathord{:}\) \(x\ne a-1.\)

Значення \(x_1=-2a\) буде коренем заданого рівняння, якщо \(a\ge 0\) i \(x_1=-2a\ne a-1\), що виконується при \(a\ne \frac 13.\)

Значення \(x_2=4-2a\) буде коренем заданого рівняння, якщо \(a\ge 0\) i \(x_2=4-2a\ne a-1\), що виконується при \(a\ne \frac 53.\)

При \(a=\frac 13\) рівняння має єдний корінь

$$ x_2=4-2\cdot \frac 13=4-\frac 23=3\frac 13, $$

а при \(a=\frac 53\) – єдиний корінь

$$ x_1=-2\cdot \frac 53=-3\frac 13. $$

Позначимо область існування коренів на числовій прямій:
\(x=-2a\)

\(x=4-2a\)

Відповідь: рівняння не має змісту, якщо \(a\in (-\infty; 0)\);
                   \(\{-2a; 4-2a\}\), якщо \(a\in \left[0; \frac 13\right)\cup \left(\frac 13; 1\frac 23\right)\cup \left(1\frac 23; +\infty\right)\);
                   \(\{3\frac 13\}\), якщо \(a=\frac 13\);
                   \(\{-3\frac 13\}\), якщо \(a=1\frac 23\).

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Чотирикутна піраміда. Кут між прямою та площиною, площинами. Планіметрія. Ромб та його властивості.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості основних видів многогранників до розв'язування стереометричних задач, зокрема, знаходити міру кута між площинами.

Для розв'язання завдання потрібно перш за все правильно побудувати рисунок, важливо правильно показати положення висоти піраміди, знати означення кута між площинами, двогранного кута та його лінійного кута, вміти визначати довжини відрізків, використовуючи теорему Піфагора чи тригонометричні співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

1) Нехай \(SABCD\) – задана правильна чотирикутна піраміда, ромб \(ABCD\) – основа піраміди, діагоналі якого перпендикулярні і перетинаються в точці \(O.\) Оскільки грань \(SBC\) перпендикулярна до площини основи піраміди, то точка \(K\) – основа висоти піраміди – належить відрізку \(BC.\) Оскільки у трикутнику \(SBC\ SB=SC\), то точка \(K\) є серединою сторони \(BC.\) Кут нахилу ребра \(SC\) до площини основи піраміди – це кут між ребром \(SC\) та відрізком \(KC\), що є ортогональною проекцією цього ребра на площину основи піраміди.

Отже, \(\angle SCK=30^\circ.\) Крім цього, у прямокутному трикутнику \(SKC\) відомий катет \(SK=5.\) Тоді

\begin{gather*} KC=SK\mathrm{ctg} 30^\circ=5\sqrt{3},\\[7pt] BC=2KC=10\sqrt{3}. \end{gather*}

Розглянемо прямокутний трикутник \(BOC\mathord{:}\) \(\angle O=90^\circ\), \(BC=10\sqrt{3}\) – гіпотенуза, \(OC=\frac 12AC=15\) – катет. За теоремою Піфагора

Тоді $$ BD=2BO=10\sqrt{3}. $$

У трикутнику \(BCD\) усі сторони рівні: $$ BD=BC=DC=10\sqrt{3}. $$ Отже, відрізок \(DK\) є висотою цього трикутника, проведеної з вершини \(D\) до сторони \(BC.\) Звідси випливає, що площина, що проходить через висоту \(SK\) перпендикулярно до прямої \(AD\) перетинає цю пряму в точці \(D.\) Таким чином, \(\angle SDK\) – кут між площинами \((SAD)\) i \((ABC)\) (він є також лінійним кутом двогранного кута при ребрі \(AD\)). У прямокутному трикутнику \(SKD\) відомі катети \(SK=5\) та \(DK=OC=15.\) Тоді $$ \mathrm{tg}\ \angle SDK=\frac{SK}{DK}=\frac{5}{15}=\frac 13. $$ Отже, кут між площинами \((SAD)\) i \((ABC)\) дорівнює \(\mathrm{arctg}\ \frac 13.\)

Зауваження. Оскільки відрізок \(KD\) – це висота ромба \(ABCD\), то довжину висоти ромба можна визначити за формулою $$ h=\frac Sa, $$ де \(S\) – площа ромба, \(a\) – сторона ромба. Для обчислення площі ромба можна застосувати, наприклад, формулу $$ S=\frac 12d_1d_2, $$ де \(d_1\), \(d_2\) – діагоналі ромба.

Відповідь: \(\mathrm{arctg}\ \frac 13.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Побудова графіків функцій.

Це завдання перевіряє вміння будувати графіки функцій.

Щоб виконати це завдання, потрібно вміти розкладати квадратний тричлен на лінійні множники, знати означення модуля числа та вміти розкрити модуль лінійного виразу, будувати графік лінійної функції, знати означення області значень функції та вміти визначати її за графіком функції.

Розв'язання завдання слушно розбити на такі кроки.

Перший крок. Спростимо задану функцію.

Спочатку розкладемо на лінійні множники квадратичний вираз $$ x^2-x-2. $$ Це можна зробити кількома способами. Наприклад, можна скористатися формулою

\begin{gather*} ax^2+bc+c=a(x-x_1)(x-x_2), \end{gather*}

в якій \(x_1\), \(x_2\) – корені квадратного рівняння $$ ax^2+bx+c=0. $$

У нашому випадку \(x_1=-1\), \(x_2=2\), \(a=1.\) Тому $$ x^2-x-2=(x+1)(x-2). $$

Можна розкласти квадратичний вираз на множники, використовуючи метод групування, наприклад, так:

За означенням модулем числа \(a\) називають саме це число, якщо воно є невід'ємним, і протилежне до \(a\) число, якщо воно є від'ємним, тобто

$$ |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right. $$

Отже,

тобто

$$ |x+1|=\left\{\begin{array}{l} x+1,\ \text{якщо}\ x\ge -1, \\ -(x+1),\ \text{якщо}\ x\lt -1. \end{array}\right. $$

Враховуємо, що знаменник будь-якого дробу не може дорівнювати нулю. Отже, область визначення функції задається умовою \(|x+1|\ne 0\), тобто \(D(y)=(-\infty; -1)\cup (-1; +\infty).\) Тоді

Другий крок. Будуємо графік заданої функції. Він є об'єднанням графіків лінійних функцій \(y=x-2\), заданої на проміжку \((-1; +\infty)\), та \(y=2-x\), заданої на проміжку \((-\infty; -1).\)

Областю значень функції $$ y=\frac{x^2-x-2}{|x+1|} $$ є проміжок \((-3; +\infty).\)

Нагадаємо, що область значень функції \(y=f(x)\) – це множина, що складається з усіх значень \(y\), яких набуває ця функція при всіх значеннях \(x\), що належать її області визначення.

Геометрично, щоб визначити область значень функції, потрібно спроектувати її графік на вісь ординат.

Відповідь: \(E(y)=(-3; +\infty).\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Комбінаторика, теорія ймовірностей і статистика. Комбінаторні правила суми та добутку.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати комбінаторні задачі з практичним змістом, використовуючи комбінаторні формули.

Оскільки серед трьох різних видів чаю, які обирає покупець, обов'язково є вид "чорна перлина", то шукана кількість варіантів вибору трьох коробок чаю дорівнює кількості варіантів вибору двох коробок різних видів з \(7\) видів чаю, відмінних від виду "чорна перлина". Тому всього у покупця є \(C_7^2\) варіантів сформувати такий набір з трьох коробок чаю. Використовуючи формулу $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}, $$ в якій $$ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ \text{...}\ \cdot (n-1)n, $$ знайдемо:

Наведені міркування можна обґрунтувати ще так.

Правило добутку. Якщо елемент \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а після цього елемент \(B\) – \(m\) способами, то \(A\) i \(B\) можна вибрати \(nm\) способами.

Розділимо \(8\) видів чаю на дві частини: перша частина – вид чаю "чорна перлина", а друга – решта \(7\) видів. Набір з \(3\) видів чаю містить чай виду "чорна перлина" та двох інших видів. Вид чаю "чорна перлина" з одного виду можна вибрати лише одним способом \((C_1^1=1)\), а чай двох інших різних видів можна вибрати \(C_7^2\) способами. Оскільки вибір чаю "чорна перлина" та чаю двох інших видів не залежить один від одного, то за правилом добутку загальна кількість варіантів формування наборів чаю, зазначених в умові, дорівнює $$ C_1^1C_7^2=1\cdot C_7^2=21. $$

Зауваження. Важливо розрізняти, у яких випадках потрібно застосовувати формулу для обчислення кількості комбінацій: $$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}, $$ а в яких – формулу для обчислення кількості розміщень:

У нашому випадку, під час формування наборів чаю не важливим є порядок вибору виду чаю, тому використано формулу для обчислення кількості комбінацій.

Відповідь: \(21.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Паралелограм та його властивості. Координати та вектори на площині. Скалярний добуток векторів та його властивості. Теорема косинусів.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати координати й вектори до розв'язування планіметричних задач.

Нагадаємо, що скалярним добутком векторів \(\overrightarrow{a}\) i \(\overrightarrow{b}\) називають число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними: $$ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \varphi, $$ де \(\varphi\) – кут між векторами \(\overrightarrow{a}\) i \(\overrightarrow{b}\).

Довжину вектора \(\overrightarrow{a}(a_x; a_y)\) обчислюють за формулою $$ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}. $$

На рисунку \(ABCD\) – паралелограм, \(\overrightarrow{AB}(6; -8)\), \(\cos A=0\mathord{,}44.\)

За умовою $$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=88, $$ тобто $$ |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|\cos A=88. $$ Оскільки вектор \(\overrightarrow{AB}(6; -8)\) відомий, то його довжина

Визначаємо довжину вектора \(\overrightarrow{AD}\mathord{:}\)

\begin{gather*} 10\cdot |\overrightarrow{AD}|\cdot 0\mathord{,}44=88,\\[6pt] |\overrightarrow{AD}|=\frac{88}{4\mathord{,}4}=20. \end{gather*}

Діагональ \(BD\) паралелограма \(ABCD\) є стороною трикутника \(ABD.\) У цьому трикутнику відомі довжини сторін \(AB\) та \(AD\), що дорівнюють довжинам векторів \(\overrightarrow{AB}\) та \(\overrightarrow{AD}\) відповідно, та косинус кута між ними. За теоремою косинусів

Звідки отримуємо $$ BD=\sqrt{324}=18. $$

Отже, довжина діагоналі \(BD\) дорівнює \(18.\)

Знаючи довжини сторін \(AB\) та \(AD\) і косинус кута між ними, довжину діагоналі \(BD\) можна визначати ще так. Опустимо з вершини \(B\) на сторону \(AD\) перпендикуляр \(BK\).

Прямокутні трикутники \(AKB\) та \(BKD\) мають спільний катет, тоді виконується рівність

$$ AB^2-AK^2=BD^2-KD^2. $$

З прямокутного трикутника \(AKB\) визначаємо

$$ AK=AB\cos A=10\cdot 0\mathord{,}44=4\mathord{,}4. $$

Тоді

$$ KD=20-4\mathord{,}4=15\mathord{,}6. $$

Отже, $$ 10^2-4\mathord{,}4^2=BD^2-15\mathord{,}6^2 $$ звідки отримуємо

тоді $$ BD=\sqrt{324}=18. $$

Відповідь: \(18.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Застосування рівнянь та їхніх систем до розв'язування текстових задач.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі за допомогою рівнянь та їх систем.

І спосіб. Позначимо кількість тримісних номерів через \(n.\) Оскільки за умовою кількість одномісних номерів дорівнює кількості двомісних, то їх кількість становить $$ \frac{124-n}{2} $$ номерів.

В одномісних номерах при повному заповненні проживає $$ \frac{124-n}{2} $$ туристів, в двомісних – $$ 2\cdot \frac{124-n}{2}=124-n $$ туристів, в тримісних – \(3n\) туристів.

Складаємо рівняння

звідки отримуємо

\begin{gather*} 124-n+2(124-n)+6n=510,\\[7pt] 124-n+248-2n+6n=510,\\[7pt] 3n=138,\\[7pt] n=46. \end{gather*}

Отже, у готелі було всього \(46\) тримісних номерів.

ІІ спосіб. Якщо ввести позначення: \(n\) – кількість тримісних номерів, \(k\) – кількість одномісних номерів, \(k\) – кількість двомісних номерів, то отримаємо систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l} 2k+n=124,\\ k+2k+3n=255, \end{array}\right. $$ тобто $$ \left\{\begin{array}{l} 2k+n=124,\\ k+n=85. \end{array}\right. $$ Віднявши від першого рівняння друге, отримаємо \(k=39\), тоді $$ n=85-39=46. $$

Відповідь: \(46.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Правило знаходження похідної складеної функції.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати значення похідної складеної функції у заданій точці.

Нехай \(y=f(u(x))\) – складена функція, тобто \(y=f(u)\), де \(u=u(x).\)

Якщо функція \(u(x)\) має в точці \(x\) похідну \(u'(x)\), а функція \(y=f(u)\) – похідну у відповідній точці \(u=u(x)\), то складена функція \(y=f(u(x))\) також має похідну в точці \(x\), причому $$ y'=f_u'(u)\cdot u_x'(x). $$

Функцію \(y=\sqrt{13-3x}\) запишемо у вигляді \(y=\sqrt{u}\), де \(u=13-3x.\) Тоді

Обчислюємо значення похідної в точці \(x_0=3\mathord{:}\)

Відповідь: \(-0\mathord{,}75.\)

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат та його властивості. Трапеція та її властивості. Прямокутний трикутник. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння обчислювати довжини відрізків як елементи відповідних геометричних фігур, використовуючи властивості середньої лінії трапеції та означення квадрата.

1. Оскільки чотирикутник \(ABMK\) є трапецією \((AK\ ||\ BM)\), то відрізок \(NP\) (див. рисунок), що сполучає середини сторін \(AB\) i \(KM\) є її середньою лінією, довжина якої дорівнює півсумі цих сторін. За умовою

\begin{gather*} AK=4,\\[7pt] BM=BC-MC=12-3=9, \end{gather*}

тоді

$$ NP=(4+9):2=6\mathord{,}5. $$

2. Опустимо з точки \(M\) на сторону \(AD\) перпендикуляр \(MO\) і розглянемо прямокутний трикутник \(KOM.\) У цьому трикутнику відомі катети:

За теоремою Піфагора отримуємо:

Відповідь: 1. \(6\mathord{,}5.\)
                   2. \(13.\)

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі на відношення, пропорції та відсотки.

1. За діаграмою визначаємо, що підручники становлять $$ 100-75-8-5=12\ \text{%} $$ від загальної кількості книг, що є в бібліотеці. За умовою, кількість підручників дорівнює \(84.\) Знайдемо загальну кількість книг \((n)\) у бібліотеці. Складемо пропорцію: \begin{gather*} n - 100\ \text{%}\\[7pt] 84 - 12\ \text{%}. \end{gather*} Тоді

$$ n=\frac{84\cdot 100}{12}=7\cdot 100=700. $$

2. Визначаємо кількість довідників \((m)\) з пропорції: \begin{gather*} 700 - 100\ \text{%}\\[7pt] m - 8\ \text{%}. \end{gather*} Тоді $$ m=\frac{8\cdot 700}{100}=56. $$

Нехай додатково придбано \(k\) підручників. Згідно умови повинна виконуватися рівність $$ (84+k):m=4:1. $$ Отже, $$ (84+k):56=4, $$ звідки отримуємо:

\begin{gather*} 84+k=224,\\[7pt] k=224-84=140. \end{gather*}

Відповідь: 1. \(700.\)
                   2. \(140.\)