ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Арифметична прогресія.

Це завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена прогресії та вміння використовувати її для знаходження першого члена.

Запишемо формулу \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

тоді для \(15\text{-го}\) члена $$ a_{15}=a_1+14d. $$

Підставивши відомі значення різниці прогресії \(d=0\mathord{,}5\) та \(a_{15}=12\), отримаємо рівняння відносно \(a_1\mathord{:}\) $$ 12=a_1+14\cdot 0\mathord{,}5 $$ звідки \(a_1=5.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямокутна система координат у просторі.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Оскільки точка \(M\) належить осі \(z\) прямокутної системи координат в просторі і розташована вище за початок координат – точку \(O(0; 0; 0)\) (див. рисунок), то її координати \(x\) та \(y\) дорівнюють нулю, а координата \(z\) є додатною.

Серед наведених цій умові задовільняє лише відповідь В.

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Вирази з коренями. Формули скороченого множення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з дробовими виразами.

Щоб спростити вираз, зведемо дроби до спільного знаменника. На практиці дроби з різними знаменниками зводять до найпростішого (найменшого) спільного знаменника. Найпростішим спільним знаменником дробів є вираз \(ab(a-b)\), який ділиться і на \(b(a-b)\), і на \(a(a-b).\) Зазначимо, що, наприклад, вираз

також є спільним знаменником, проте він ділиться на спільний знаменник \(ab(a-b)\), тому не є найпростішим.

Скористаємось основною властивістю дробів: дріб не зміниться, якщо його чисельник і знаменник домножити на один і той самий ненульовий вираз. Тоді чисельник і знаменник першого дробу домножимо на \(a\), а другого – на \(b\mathord{:}\)

Тоді

Розкладемо чисельник на множники, скориставшись формулою різниці квадратів, і скоротимо отриманий дріб:

Запропонований спосіб розв'язання не є єдиноможливим. Вираз можна спростити, виконавши ще такі перетворення:

Тоді

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Нерівність трикутника.

Це завдання перевіряє вміння визначати можливе значення невідомої сторони трикутника.

Використаємо нерівність трикутника: будь-яка сторона довільного трикутника менша за суму двох інших його сторін та більша за їх різницю. Оскільки сторони трикутника \(AB\) і \(BC\) дорівнюють відповідно \(3\) см і \(10\) см, то довжина сторони \(AC\) повинна бути більшою за $$ 10-3=7\ \text{см} $$ та меншою за $$ 10+3=13\ \text{см}. $$

Цю умову задовольняє лише варіант Г – \(11\) см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції.

Це завдання перевіряє знання графіків основних елементарних функцій.

Пряма є графіком лінійної функції, тобто функції, заданої рівнянням $$ y=kx+b, $$ де \(k\), \(b\) – числа. Серед наведених функцій лінійною є лише функція \(y=2x.\)

Цю функцію отримаємо, якщо в рівняння $$ y=kx+b $$ підставимо значення \(k=2\) i \(b=0.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв'язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв'язування.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь мішаного типу.

Друге рівняння системи, що містить лише одну змінну \(x\), є показниковим. Розв'яжемо це рівняння. Для цього запишемо число \(16\) у вигляді степеня з основою \(4\): $$ 16=4^2, $$ тоді $$ 16^{-1}=(4^2)^{-1}=4^{-2}. $$ Отже, рівняння набуває вигляду $$ 4^x=4^{-2}. $$ Оскільки степені з однаковими основами рівні, коли рівні показники їх степенів, то отримуємо \(x=-2.\) Підставимо отримане значення \(x=-2\) в перше рівняння системи:

Отже, пара чисел \((-2; 7)\) є розв'язком \((x_0; y_0)\) системи рівнянь. Тоді

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Перетворення виразів із степенями.

Це завдання перевіряє вміння зводити одночлен до стандартного вигляду. Для цього треба знайти добуток коефіцієнтів: $$ 0\mathord{,}4\cdot 5=2 $$ та добуток степенів з однаковою основою, використовуючи формулу

Тоді $$ 0\mathord{,}4x^2\cdot 5x^3=2x^5. $$

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Раціональні нерівності.

Це завдання перевіряє знання означення розв'язку нерівності з однією змінною.

ОДЗ: \(x-3\ne 0.\)

Розв'яжемо нерівність:

Розв'яжемо методом інтервалів:

З наведених чисел, лише \(4\) належить даному проміжку.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші фігури на площині. Вертикальні та суміжні кути.

Це завдання перевіряє вміння визначати невідомий кут, використовуючи означення суміжних кутів і властивості вертикальникх кутів.

Зображені на рисунку кути \(\alpha\) i \(\beta\) є вертикальними, тому що утворені при перетині двох прямих \(m\) i \(n.\)

Вертикальні кути рівні, тому $$ \alpha=\beta=\frac{50^\circ}{2}=25^\circ. $$ Кути \(\alpha\) i \(\gamma\) є суміжними, оскільки промінь \(OA\), що лежить на прямій \(n\), є спільною стороною цих кутів, а сторони \(OB\) та \(OC\), що лежать на прямій \(m\), є доповняльними променями. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює \(180^\circ\), то $$ \gamma=180^\circ-\alpha=180^\circ-25^\circ=155^\circ. $$

Відповідь: Б.