ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, подібних трикутників і середньої лінії трапеції.

1. \(BC\ ||\ AD\) (за означенням трапеції), а за умовою \(BO\ ||\ CD.\) Чотирикутник \(BODC\) – це паралелограм (оскільки протилежні сторони попарно паралельні).

Отже, правильна відповідь – A.

2. Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta COD\) (\(\angle COD=90^\circ\), оскільки \(CO\) – висота).

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Оскільки трапеція рівнобічна, то висоти, проведені з вершин \(B\) і \(C\), відтинають на нижній основі рівні відрізки. Якщо провести висоту \(BK\) з точки \(B\), то \(AK=OD=6\) см.

Також \(KO=BC=6\) см. Отже, довжина основи

Обчислімо довжину середньої лінії трапеції:

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Похідна функції.

Завдання перевіряє вміння визначати похідну суми та обчислювати її значення в точці для заданого значення аргумента.

Перш ніж диференціювати, запишімо функцію \(f(x)\) у зручному вигляді (через степені), скориставшись їхніми властивостями:

Зауважмо, що \(\ln 2\) – це стале число (константа), оскільки вираз не містить змінної \(x.\)

Отже, функцію \(f(x)\) можна записати у вигляді:

Визначмо похідну \(f'(x)\), застосувавши основні правила диференціювання та табличні значення:

Обчислімо значення похідної, підставивши \(x=4\) в отриманий вираз:

Відповідь: \(2{,}5.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати комбінаторні задачі за допомогою комбінацій (сполук).

Формуючи музичний квартет (групу виконавців), ми зважаємо лише на склад учасників. Оскільки порядок вибору не має значення, використовуємо формулу для обчислення кількості комбінацій із \(n\) елементів по \(k{:}\)

Треба обрати \(4\) учасників із \(6\) можливих (\(3\) дівчини та \(3\) хлопці) без урахування порядку. Отже:

Відповідь: \(15.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання про циліндр та його елементи.

Діагональ перерізу \((AC)\) ділить прямокутник на два рівні прямокутні трикутники.

1. Катет, що лежить навпроти кута \(30^\circ\), дорівнює половині гіпотенузи:

Отже, висота циліндра \(H=CD=12\) см.

2. \(\cos A=\frac{AD}{AC}\);

Об'єм циліндра визначмо за формулою \(V=\pi R^2H{:}\)

Відповідь: \(1296.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати їхні властивості та досліджувати рівняння з параметрами.

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У цьому завданні \(x_1+x_2=-(a-2)\) та \(x_1\cdot x_2=28-4a.\)

За умовою:

Перевірка існування коренів:

Щоб корені взагалі існували, дискримінант має бути \(D\ge 0.\)

Якщо \(a=9\), то

Оскільки \(D\gt 0\), корені існують.

Відповідь: \(9.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості. Аксіоми планіметрії.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості найпростіших геометричних фігур до розв’язування планіметричних задач.

Відрізок \(AC\) складається з \(2\) частин, отже: \(AC=2x.\)

Відрізок \(CB\) складається з \(3\) частин, отже: \(CB=3x.\)

За умовою \(CB=12\) см. Тоді

Підставимо це значення у вираз для \(AC{:}\)

\begin{gather*} AC=2x=2\cdot 4=8\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання означення циліндра, як тіла обертання.

Циліндр — це тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, що містить одну з його сторін.

На малюнку зображено прямокутник, що обертається навколо своєї сторони. Унаслідок обертання прямокутника навколо сторони, утворюється циліндр.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

За допомогою цього завдання перевіряють уміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший колір) займає половину круга. Оскільки кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(900 : 2 = 450.\) Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом складають іншу половину, вона теж становить \(450\) занять.

Сектор Google Meet більший за сектор Teams і менший за Zoom \((450).\) Візуально орієнтовна кількість занять:

Google Meet \(\approx 300\) занять.

Teams \(\approx 150\) занять.

Перевіряємо твердження про Google Meet:

А належить проміжку \([500; 700].\) \(300\) не належить заданому проміжку - твердження неправильне.

Б менша за \(400.\ 300 \lt 400\) - твердження правильне.

В менша, ніж кількість занять у Teams. \(300\lt 150\) - нерівність не виконується, тому твердження неправильне.

Г становить половину від загальної кількості. \(300\ne 450\) - твердження неправильне.

Д удвічі менша за кількість занять у Zoom. \(450 : 2 = 225 \ne 300\) - твердження неправильне.

Отже, лише твердження «менше від \(400\)» задовольняє умову.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати показникові рівняння.

Зведемо все до однієї основи: \(81=3^4\) та \(9=3^2.\)

Використаймо властивість степенів:

Тоді \((3^2)^x=3^{2\cdot x}.\)

Отже,

Використаймо властивість степенів:

Тоді

Оскільки основи в обох частинах рівняння однакові (і в лівій, і в правій частині основа \(3\)), можемо прирівняти iз показники степеня:

Відповідь: Б.