ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє вміння знаходити відстань від точки до прямої, знання теореми про три перпендикуляри.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб, ребро якого \(1\) см.

Відстань від точки \(A\) до прямої \(B_1C_1\) – довжина перпендикуляра з точки \(A\) до прямої \(B_1C_1.\)

\(AB\ \perp\ (BB_1C_1)\), \(AB_1\) – похила на \((BB_1C_1)\), \(BB_1\) – проекція \(AB_1\) на \((BB_1C_1).\)

За теоремою про три перпендикуляри: якщо проекція \(BB_1\ \perp\ B_1C_1\), то й похила \(AB_1\ \perp\ B_1C_1\), а отже, \(AB_1\) – відстань від \(A\) до \(B_1C_1.\)

У \(\triangle ABB_1\) (\(\angle B=90^\circ\)) \(AB=BB_1=1\) см.

За теоремою Піфагора

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа та вирази. Тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння знаходити числове значення тригонометричних виразів.

\(a=\sin 120^\circ\gt 0\),
\(b=\cos 120^\circ\lt 0\), отже \(b\lt 0\lt a.\)

Кут \(120^\circ\) належить II координатній чверті. У даній координатній чверті функція \(y=\sin x\) має додатний знак, а \(y=\cos x\) – від’ємний.

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання властивостей кола та круга, їхніх елементів; формули для обчислення відстані між двома точками, рівняння кола.

Коло задано рівнянням \(x^2+y^2=9\). Точки, які належать кругу, обмеженого цим колом, розташовані на відстані, не більшій, ніж радіус від центра кола. \((0; 0)\) – центр кола, \(R=3.\)

Отже, умова виконується, якщо координати точки \((x_0, y_0)\) задовольняють умові $$ x_0^2+y_0^2\le 9. $$

А) \((\sqrt{2})^2+5^2\gt 9.\)

Б) \(1^2+3^2\gt 9.\)

В) \(4^2+5^2\gt 9.\)

Г) \(3^2+2^2\gt 9.\)

Д) \(2^2+(\sqrt{3})^2\le 9,\ 7\le 9.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання колінеарних векторів.

Колінеарні вектори – це вектори, які лежать на паралельних прямих або на одній прямій. Напрямок та довжина для визначення їх колінеарності не важливі.

\(\overrightarrow{BO}\parallel\overrightarrow{BD}\).

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння та знання властивостей степенів.

Корінь рівняння належить проміжку \([-5; -1).\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Квадратичні, тригонометричні функції, їхні основні властивості.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

Розглянемо графік кожної з запропонованих функцій та перевіримо чи належить зоборажений фрагмент йому.

A. \(y=-x^2\)

Б. \(y=\sin x\)

В. \(y=\mathrm{tg}\ x\)

Г. \(y=\cos x\)

Д. \(y=x^2\)

Проаналізувавши всі графіки запропонованих функцій бачимо, що на рисунку зображено фрагмент графіка \(y=\cos x.\) Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Основні задачі на відсотки.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на відсоткові розрахунки та пропорції.

Якщо \(b\) становить \(47\ \%\) від числа \(a\), то $$ b=a\cdot\frac{47}{100}=\frac{a}{100}\cdot 47. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати графічну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації.

На круговій діаграмі показано розподіл кількості столів, які продано протягом місяця.

Круг поділено на \(12\) рівних секторів. Загальна кількість проданих столів – \(108.\) Отже, кожний сектор відповідає \(108:12=9\) столам.

Журнальних столів було продано \(9\cdot 3=27\) штук.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Це завдання перевіряє знання означення та властивостей геометричної прогресії.

За означенням геометричної прогресії: \begin{gather*} b_{n+1}=b_n\cdot q,\\[7pt] q=\frac{b_{n+1}}{b_n}. \end{gather*}

А) $$ q=\frac{20}{-25}\ne\frac{-15}{20}. $$

Б) $$ q=\frac{-40}{-80}=\frac{-20}{-40}=\frac{-10}{-20}=\frac{1}{2} $$ геометрична прогресія, але \(q\gt 0.\)

В) $$ q=\frac{10}{30}\ne\frac{-10}{10}. $$

Г) $$ q=\frac{-20}{10}=\frac{40}{-20}=\frac{-80}{40}=-2 $$ геометрична прогресія, \(q\lt 0\).

д) $$ q=\frac{-30}{-15}\ne \frac{-45}{-30}. $$

Відповідь: Г.