ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Покупець хоче якнайдешевше придбати \(80\) ручок. Має два варіанти:

• \(1\) ручка – \(5\) грн;
• набір із \(3\) ручок – \(10\) грн.

Що вигідніше?

Якщо купити \(3\) ручки окремо:

А набір із \(3\) ручок коштує \(10\) грн, тобто дешевше на \(5\) грн.

Отже, вигідніше максимально купувати наборами, а не по одній ручці.

Обчислімо кількість повних наборів, які можна придбати в межах потрібної кількості ручок:

\begin{gather*} 80:3=26\ (\text{остача}\ 2). \end{gather*}

Отже, покупець може купити \(26\) наборів, а ще \(2\) ручки йому доведеться докупити окремо.

Обчислімо вартість:

\(26\) наборів: \(26\cdot 10=260\) грн.

\(2\) ручки окремо: \(2\cdot 5=10\) грн.

\begin{gather*} 260+10=270\ \text{грн}. \end{gather*}

Чому невигідно купувати всі ручки по \(5\) грн?

Бо вартість покупки буде більшою:

\begin{gather*} 80\cdot 5=400\ \text{грн}. \end{gather*}

А купівля наборами коштуватиме покупцеві \(270\) грн, що значно дешевше.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей степеня та вміння виконувати множення одночленів.

Для розв’язання завдання скористаймося властивістю множення степенів з однаковими основами. Основу залишмо без змін, а показники додамо:

де \(a\) – будь-яке число, \(n\) і \(m\) – натуральні числа.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння з параметрами, а також досліджувати їхні властивості за допомогою теореми Вієта.

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У завданні:

\begin{gather*} x_1+x_2=2m-2;\\[7pt] x_1\cdot x_2=4m-3. \end{gather*}

За теоремою Вієта та умовою завдання:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=2m-2,\\ x_1=x_2+4,\\ x_1\cdot x_2=4m-3. \end{array}\right. \end{gather*}

Підставмо \(x_1=x_2+4\) у перше рівняння системи:

\begin{gather*} x_2+4+x_2=2m-2;\\[7pt] 2x_2=2m-2-4;\\[7pt] 2x_2=2m-6;\\[6pt] x_2=\frac{2m-6}{2}=\frac{2(m-3)}{2};\\[6pt] x_2=m-3. \end{gather*}

Тепер визначмо \(x_1{:}\)

\begin{gather*} x_1=x_2+4=m-3+4=m+1. \end{gather*}

Підставмо ці значення в рівняння \(x_1\cdot x_2=4m-3{:}\)

\begin{gather*} (m+1)\cdot (m-3)=4m-3;\\[7pt] m^2-3m+1m-3-4m+3=0;\\[7pt] m^2-6m=0;\\[7pt] m(m-6)=0. \end{gather*}

Корені рівняння:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} m=0,\\ m=6. \end{array}\right. \end{gather*}

Оскільки за умовою потрібне додатне значення, вибираємо \(6.\)

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння знати властивості піраміди та вміння розв’язувати стереометричні задачі.

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. Діагональний переріз піраміди – трикутник, що проходить через вершину піраміди та діагональ її основи \((d).\) За умовою трикутник рівносторонній.

Площу рівностороннього трикутника зі стороною \(d\) обчислімо за формулою:

Підставмо значення:

Основа піраміди – квадрат. Діагональ \(d\) ділить його на два прямокутні рівнобедрені трикутники. За теоремою Піфагора:

Площа основи (квадрата):

Відповідь: \(144.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє знання означення розміщення, уміння розв’язувати комбінаторні задачі, використовуючи правила суми та добутку.

Оскільки порядок книг у комплекті не має значення, для розрахунків застосуймо формулу комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Кількість способів вибрати \(2\) збірники з \(8{:}\)

Кількість способів вибрати \(3\) науково-популярні книжки з \(10{:}\)

Оскільки треба вибрати і збірники, і науково-популярні книжки одночасно, застосуймо правило добутку:

\begin{gather*} 28\cdot 120=3360. \end{gather*}

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(3360.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\) перших членів послідовності.

З умови задачі маємо такі значення:
\(a_1=6\) (кількість ієрогліфів у перший день);
\(d=2\) (на стільки більше він вивчає кожного наступного дня);
\(n=25\) (кількість днів).

Для обчислення загальної кількості ієрогліфів за \(n\) днів використаймо формулу суми перших \(n\) членів і формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: \(750.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Це завдання перевіряє знання про коло та його елементи, центральні кути, дуги.

1. \(\overset{\smile}{CB}.\) Оскільки \(AB\) — це діаметр, він ділить коло навпіл. Отже, вся дуга \(ACB\) (півколо) дорівнює \(180^\circ.\)

Отже, правильна відповідь — B.

2. \(\angle CKA.\)

Радіус \(OC\), проведений у точку дотику \(C\), завжди перпендикулярний до дотичної \(CK.\)

Тобто \(\angle OCK=90^\circ.\) Кут \(\angle COB\) є центральним кутом, що спирається на дугу \(\overset{\smile}{CB}.\)

Його величина дорівнює градусній мірі дуги: \(\angle COB=\overset{\smile}{CB}=50^\circ.\) У прямокутному трикутнику \(\Delta OCK\) сума гострих кутів дорівнює \(90^\circ.\)

Отже, правильна відповідь — Б.

3. \(\angle ABC.\)

Кут \(\angle ABC\) є вписаним кутом, що спирається на дугу \(\overset{\smile}{AC}.\) Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку спирається.

Отже, правильна відповідь — Г.

Відповідь: 1 – В, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функціональна залежність. Степеневі, тригонометричні функції.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки функцій, заданих формулою.

Побудуймо задані графіки функцій.

1.

Оскільки графіком функції \(y=x^2-2\) є парабола з вершиною в точці \((0; -2)\), вітки якої напрямлені вгору, то вона двічі перетинає графік прямої \(y=3.\) Отже, правильна відповідь – Г.

2.

\(y=3^x.\) Показникова функція вигляду \(a^x\) завжди набуває лише додатних значень \((y\gt 0)\) за будь-яких \(x.\) Отже, правильна відповідь – Б.

3.

\(y=x^3\) – це кубічна парабола. Якщо \(x=0\), \(y=0^3=0\), то графік проходить через початок координат – точку \((0; 0).\) Отже, правильна відповідь – А.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, логарифмічними виразами, порівнювати числа.

1. \(\pi\approx 3{,}14\)

Число \(1{,}57\) належить проміжку \([1; 2).\) Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(\sin \pi=0\)

Число \(0\) належить проміжку \([0; 1).\) Отже, правильна відповідь – В.

3. За властивістю степеня:

\begin{gather*} a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ \text{для}\ a\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

За властивістю логарифма:

Число \(-1\) належить проміжку \([-1; 0).\) Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – В, 3 – Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні та діляться точкою \(O\) навпіл, трикутник \(\Delta AOB\) – рівнобедрений. Оскільки кут при вершині \(\angle AOB=60^\circ\), то кути при основі також по \(60^\circ\ ((180^\circ-60^\circ):2=60^\circ).\) Отже, трикутник \(ABO\) – рівносторонній.

Оскільки \(AO\) — це половина діагоналі, то вся діагональ

\begin{gather*} AC=4\cdot 2=8\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ).\) Гіпотенуза \(AC=8\) см і катет \(AB=4\) см. За теоремою Піфагора визначмо довжину сторони \(BC{:}\)

Обчислімо площу прямокутника \(ABCD{:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння \(\mathrm{tg}\ x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) має загальний розв’язок:

Розгляньмо значення \(n\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; \pi].\)

Якщо \(n=0\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6}\in [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо \(n=1\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Якщо \(n=-1\), то

\begin{gather*} x=\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{5\pi}{6}\notin [0; \pi]. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна.

Завдання перевіряє вміння визначати загальний вигляд первісних функцій.

Перепишімо перший доданок:

Тепер функція має вигляд:

\begin{gather*} f(x)=4\cdot x-3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}. \end{gather*}

Визначмо загальний вигляд первісних для цієї функції:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Різницею векторів \(\overrightarrow{a}\ (x_1; y_1; z_1)\) i \(\overrightarrow{b}\ (x_2; y_2; z_2)\) є вектор \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}{:}\)

Щоб знайти координати різниці двох векторів, потрібно від координат першого вектора (зменшуваного) відняти відповідні координати другого вектора (від'ємника).

\begin{gather*} \overrightarrow{a}\ (3; 1; -4);\\[7pt] \overrightarrow{b}\ (-8; 0; 2);\\[7pt] \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-8-3; 0-1; 2-(-4));\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-11; -1; 2+4);\\[7pt] \overrightarrow{c}\ (-11; -1; 6). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Тригонометричні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Розв'язання:

$$\frac{\sin 2\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}.$$

Під час розв'язання застосовано:

• формулу подвійного аргумента: \(\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha;\)

• означення тангенса та котангенса: \(\mathrm{tg}\ \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.\)

Відповідь: A.