Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 195

Математика. Всі запитання починаючи з 195

196197198199200201202203204205206207208209210 ▶

Завдання 196 з 2199

Розв'яжіть систему рівнянь \(\begin{cases}y-x=9,\\ \dfrac{x+8}{2y-5}=2.\end{cases}\)
Запишіть у відповідь добуток \(x_0\cdot y_0\), якщо пара \((x_0; y_0)\) є розв'язком цієї системи рівнянь.

Впишіть відповідь:

-18

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь.

ОДЗ: \begin{gather*} 2y - 5 \ne 0,\\[7pt] 2y \ne 5,\\[7pt] y \ne 2{,}5. \end{gather*}

Розв'яжемо методом підстановки:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x = y - 9,\\ \dfrac{y - 9 + 8}{2y - 5} = 2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x = y - 9,\\ \dfrac{y - 1}{2y - 5} = 2, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x = y - 9,\\ 4y - 10 = y - 1, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x = y - 9,\\ 3y = 9, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x = -6,\\ y = 3. \end{array}\right. \end{gather*}

\((-6; 3)\) – розв'язок системи.

Добуток \(x_0\cdot y_0 = -6\cdot 3 = -18.\)

Відповідь: \(-18.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6204

Завдання 197 з 2199

Обчисліть значення виразу \(\log_a 500-\log_a 4\), якщо \(\log_5 a=\dfrac 14.\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Застосуємо властивості логарифма, спростимо вираз:

\begin{gather*} \log_a 500 - \log_a 4 = \log_a \frac{500}{4} = \log_a 125 = \log_a 5^3 =\\[6pt] =3\log_a 5 = \frac{3}{\log_5 a} = \frac{3}{\frac{1}{4}} = 3 \cdot 4 = 12. \end{gather*}

Відповідь: \(12.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6205

Завдання 198 з 2199

У трикутнику \(ABC\) основа висоти \(AK\) лежить на продовженні сторони \(BC\) (див. рисунок). \(AK=6\), \(KB=2\sqrt{3}.\) Радіус описаного навколо трикутника \(ABC\) кола дорівнює \(15\sqrt{3}.\) Визначте довжину \(AC.\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання теореми синусів та наслідку з неї, співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника.

1. У \(\Delta AKB\ (\angle K = 90^\circ)\) \begin{gather*} \mathrm{tg}\ B = \frac{AK}{KB} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}. \end{gather*} Отже, \(\angle B = 60^\circ\).

2. \(\angle KBA + \angle ABC = 180^\circ\) (суміжні), \(\angle ABC = 120^\circ\).

3. За наслідком з теореми синусів:

\begin{gather*} \frac{AC}{\sin B} = 2R,\\[6pt] AC = 2R\sin B = 2\cdot 15\sqrt{3}\cdot \sin 120^\circ = \\[6pt] =30\sqrt{3}\cdot \sin 60^\circ = 30\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 45. \end{gather*}

Відповідь: \(45.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6206

Завдання 199 з 2199

Обчисліть \(\dfrac{1}{\pi}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{-5}^0 \sqrt{25-x^2}\ dx\), використовуючи рівняння кола \(x^2+y^2=25\), зображеного на рисунку.

Впишіть відповідь:

6.25

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати геометричний зміст визначеного інтеграла.

\(\displaystyle \mathop{\int}\limits_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}\ dx\) – площа фігури, обмеженої графіком функції \(y=\sqrt{25-x^2}\),
\(y \ge 0\), \(x \in [-5; 0].\)

\begin{gather*} S_{\text{фігури}}=\frac{1}{4}S_{\text{кола}}=\frac{1}{4}\mathrm{\pi}R^2=\frac{1}{4}\mathrm{\pi}\cdot 25=\frac{25}{4}\mathrm{\pi},\\[6pt] \frac{1}{\mathrm{\pi}}\mathop{\int}\limits_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}\ dx=\frac{1}{\mathrm{\pi}}\cdot \frac{25\mathrm{\pi}}{4}=\frac{25}{4}=6\frac{1}{4}=6{,}25. \end{gather*}

Відповідь: \(6{,}25.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6207

Завдання 200 з 2199

Основою прямої призми \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) є рівнобічна трапеція \(ABCD\). Основа \(AD\) трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу \(BC.\) Через бічне ребро \(CC_1\) призми проведено площину паралельно ребру \(AB.\) Знайдіть площу утвореного перерізу (у см\(^2\)), якщо об'єм призми дорівнює \(672\) см\(^3\), а її висота – \(8\) см.

Впишіть відповідь:

104

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення об'ємів многогранників, уміння будувати перерізи многогранників, ознак паралельності прямої та площини у просторі.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – пряма призма, тому \(CC_1 \perp (ABC)\), \(ABCD\) – трапеція, \(AB=CD.\)

Додаткова побудова: \(CK\ ||\ AB.\)

\(CC_1\ ||\ BB_1\), \(CK\ ||\ AB\), \(CK\cap CC_1\), \(AB\cap BB_1\), звідси, за ознакою паралельності площин \((CKC_1)\ ||\ (ABB_1).\)

Січна площина \((CC_1K)\) перетинає паралельні площини по паралельних прямих. Отже, \(KK_1\ ||\ AA_1\), \(C_1K_1\ ||\ CK.\)

\(AB\ ||\ CK\), \(CK\in (CC_1K)\Rightarrow AB\ ||\ (CC_1K).\)

Прямокутник \(KCC_1K_1\) – шуканий переріз.

\begin{gather*} V=S_\text{основи}\cdot H=S_{ABCD}\cdot CC_1;\\[7pt] CC_1=8\ \text{см};\\[7pt] V=672\ \text{см}^3. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} S_\text{основи}=\frac{672}{8}=84\ \text{см}^2. \end{gather*}

Нехай \(BC=x\) см, тоді \(AD=CE=6x\) см.

\begin{gather*} S_\text{основи}=S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CE, \end{gather*}

де \(CE \perp AD\) – висота трапеції.

\begin{gather*} \frac{x+6x}{2}\cdot 6x=84;\\[6pt] 21x^2=84;\\[7pt] x^2=4;\\[7pt] x=2;\\[7pt] BC=2\ \text{см};\\[7pt] AD=CE=12\ \text{см}. \end{gather*}

\begin{gather*} DE=\frac{AD-BC}{2}=\frac{12-2}{2}=5\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta CED\ (\angle E=90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} CD^2=CE^2+ED^2;\\[7pt] CD^2=12^2+5^2=144+25=169;\\[7pt] CD=13\ \text{см}. \end{gather*}

\(AB=CD\) (за умовою), \(AB=CK\) (протилежні сторони паралелограма).

Отже, \(CK=13\) см.

\begin{gather*} S_{CC_1K_1K}=CC_1\cdot CK=8\cdot 13=104\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: \(104.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6208

Завдання 201 з 2199

При якому найменшому цілому значенні параметра \(a\) рівняння
\( \sqrt{2x+15}\cdot (\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25})=a\sqrt{2x+15} \)
має лише два різні корені?

Впишіть відповідь:

-10

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

\begin{gather*} \sqrt{2x+15}\left(\sqrt{(x+9)^2}-\sqrt{(x-5)^2}\right)-a\sqrt{2x+15}=0,\\[7pt] \sqrt{2x+15}(|x+9|-|x-5|-a)=0. \end{gather*}

ОДЗ:

\begin{gather*} 2x+15 \ge 0,\\[7pt] x \ge -7{,}5,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} 2x+15=0,\\ |x+9|-|x-5|-a=0, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x=-7{,}5,\\ |x+9|-|x-5|=a. \end{array}\right. \end{gather*}

Початкове рівняння має корінь \(x=-7{,}5\) незалежно від параметра \(a.\)

Отже, для того, щоб рівняння мало лише два різних кореня, друге рівняння повинно мати один корінь, який не дорівнює \(-7{,}5.\)

Розв'яжемо графічно рівняння \(|x+9|-|x-5|=a.\)

Розглянемо функції \(y=|x+9|-|x-5|\) та \(g(x)=a.\)

на області допустимих значень
при \(x \in [-7{,}5; 5]\) \begin{gather*} y=x+9+x-5,\\[7pt] y=2x+4. \end{gather*}
при \(x \in (5; +\infty)\) \begin{gather*} y=x+9-x+5,\\[7pt] y=14. \end{gather*}

Функції перетинаються в одній точці при \(a \in (-11; 14)\), але при \(a=-11\) корені двох рівнянь співпадуть та рівняння буде мати один корінь.

Отже, правильна відповідь \(a \in (-11; 14).\)
Найменше ціле значення \(a=-10.\)

Відповідь: \(-10.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 3. Запитання: 6210

Завдання 202 з 2199

Обчисліть \(1001^2-999^2\).

А\(2\)

Б\(4\)

В\(2000\)

Г\(3980\)

Д\(4000\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами, знання формул скороченого множення.

\begin{gather*} 1001^{2} - 999^{2} = (1001 - 999)(1001 + 999) = 2 \cdot 2000 = 4000. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6211

Завдання 203 з 2199

На рисунку зображено ромб \(ABCD\). Знайдіть градусну міру кута \(ABC\), якщо \(\angle CAD=25^\circ\).

А\(155^\circ\)

Б\(130^\circ\)

В\(120^\circ\)

Г\(100^\circ\)

Д\(50^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей ромба.

За властивістю ромба (діагоналі є бісектрисами кутів) \(\angle BAD = 50^\circ\)

\begin{gather*} \angle A + \angle B = 180^\circ;\\[7pt] \angle B = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6212

Завдання 204 з 2199

Перед Новим роком у магазині побутової техніки на всі товари було знижено ціни на \(15\ \%\). Скільки коштуватиме після знижки телевізор вартістю \(1800\) грн?

А\(1200\) грн

Б\(1350\) грн

В\(1430\) грн

Г\(1530\) грн

Д\(1785\) грн

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі, зокрема на відсотки.

Після зниження ціни на \(15\ \%\) вартість товару становить \begin{gather*} 100\ \%-15\ \%=85\ \%. \end{gather*}

Знайдемо \(85\ \%\) від \(1800\) грн:

\begin{gather*} 1800\cdot 0{,}85=18\cdot 85=1530\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6213

Завдання 205 з 2199

Обчисліть \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{5}{8}\).

А\(\dfrac{3}{4}\)

Б\(\dfrac{2}{5}\)

В\(\dfrac{11}{27}\)

Г\(\dfrac{3}{5}\)

Д\(\dfrac{5}{8}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними.

Це завдання перевіряє вміння виконувати дії з раціональними числами.

\begin{gather*} \frac 13 + \frac 23 \cdot \frac 58 = \frac 13 + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 8} = \frac 13 + \frac{5}{12} = \frac{4 + 5}{12} = \frac{9}{12} = \frac 34. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6214

Завдання 206 з 2199

Спростіть вираз \(\left(a^6\right)^4\colon a^2\), де \(a\neq0\).

А\(a^5\)

Б\(a^8\)

В\(a^{10}\)

Г\(a^{12}\)

Д\(a^{22}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Степеневі вирази.

Це завдання перевіряє знання властивостей степенів з цілими показниками, уміння виконувати тотожні перетворення з ними.

\begin{gather*} (a^{6})^{4} : a^{2} = a^{24} : a^{2} = a^{24-2}=a^{22}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6215

Завдання 207 з 2199

На рисунку зображено розгортку многогранника. Визначте кількість його ребер.

А\(6\)

Б\(8\)

В\(12\)

Г\(16\)

Д\(19\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати властивості многогранників за їх розгорткою.

На рисунку зображено розгортку прямокутного паралелепіпеда.

Отже, кількість ребер – \(12.\)

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6216

Завдання 208 з 2199

Обчисліть \(\sin210^\circ\).

А\(-\dfrac{1}{2}\)

Б\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)

В\(-\dfrac{\sqrt2}{2}\)

Г\(-\dfrac{\sqrt3}{2}\)

Д\(\dfrac{1}{2}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} \sin 210^\circ = \sin (180^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac 12. \end{gather*}

Використовуємо формулу

\begin{gather*} \sin (180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6217

Завдання 209 з 2199

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник, діагональ якого дорівнює \(10\) см. Знайдіть радіус основи циліндра, якщо його висота дорівнює \(8\) см.

А\(1\) см

Б\(2\) см

В\(3\) см

Г\(6\) см

Д\(12\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей циліндра.

Висота циліндра \(OO_{1}=BA=CD=8\) см. \(ABCD\) – прямокутник \(AC=10\) см.

У \(\Delta ACD\ (\angle D = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AC^{2} = AD^{2} + DC^{2};\\[7pt] AD = \sqrt{100 - 64} = 6\ \text{см}. \end{gather*}

\(AD = 2 \cdot AO\), \(AO = 3\) см – радіус основи.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6218

Завдання 210 з 2199

Розв’яжіть систему \(\begin{cases}3x-2y=9, \\ x+2y=-5.\end{cases}\)

Для одержаного розв’язку \((x_0;y_0)\) обчисліть суму \(x_0+y_0\).

А\(-2\)

Б\(-1\)

В\(1\)

Г\(2\)

Д\(-4\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні нерівності.

Додамо почленно рівняння

\begin{gather*} +\begin{cases} 3x - 2y = 9, \\ \underline{x + 2y = -5,} \end{cases}\\[7pt] 4x = 4;\\[7pt] x = 1. \end{gather*}

Підставимо значення \(x = 1\) у друге рівняння:

\begin{gather*} 1 + 2y = -5;\\[7pt] 2y = -6;\\[7pt] y = -3;\\[7pt] (1; -3). \end{gather*}

У відповідь запишемо

\begin{gather*} x_{0} + y_{0} = 1 + (-3) = -2. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 124. Запитання: 6219