ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми та вміння розв'язувати стереометричні задачі.

Площу бічної поверхні призми визначмо за формулою:

\begin{gather*} S_\text{біч}=P_\text{осн}\cdot H. \end{gather*}

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною \(a\), тож його периметр:

\begin{gather*} P=4a. \end{gather*}

У правильній призмі бічне ребро – її висота, отже \(H=b.\)

\begin{gather*} S_\text{біч}=4a\cdot b=4ab. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних та ірраціональних рівнянь.

Піднесімо обидві частини першого рівняння до квадрата:

\begin{gather*} ((\sqrt{a})^2=a,\ \text{якщо}\ a\ge 0){:}\\[7pt] 2x=6;\\[7pt] x=6:2. \end{gather*}

Підставмо \(x=3\) у рівняння \(x-4y=7{:}\)

\begin{gather*} 3-4y=7;\\[7pt] -4y=7-3;\\[7pt] -4y=4;\\[7pt] y=4:(-4);\\[7pt] y=-1. \end{gather*}

Отже, \(y_0=-1.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули її \(n\text{-го}\) члена.

За формулою \(n\text{-го}\) члена:

\begin{gather*} a_n=a_1+d(n-1).\\[7pt] a_5=a_1+4d;\\[7pt] a_3=a_1+2d. \end{gather*}

Спростімо вираз:

Отже, \(a_5-a_3=2\cdot 4=8.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей чотирикутників, зокрема квадрата, прямокутного трикутника, уміння застосовувати теорему Піфагора.

\(ABCD\) – квадрат, \(BC=12\) см. Точка \(K\) ділить сторону \(BC\) у відношенні \(BK:KC=3:1.\) Нехай \(BK=3x\) см, \(KC=x\) см.

\begin{gather*} BC=BK+KC;\\[7pt] 3x+x=12\ \text{см};\\[7pt] 4x=12\ \text{см};\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Отже, \(BK=9\) см, \(KC=3\) см.

Розгляньмо \(\Delta ABC\ (\angle B=90^\circ).\) Катети \(AB=12\) см і \(BK=9\) см. За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AK^2=AB^2+BK^2. \end{gather*}

Визначмо довжину гіпотенузи:

\begin{gather*} AK^2=12^2+9^2=144+81=225;\\[7pt] AK=\sqrt{225}=15\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних, ірраціональних, логарифмічних виразів.

1. Якщо \(n\cos 8\pi=a\), то…

Функція \(\cos x\) має період \(2\pi.\)

\begin{gather*} \cos 8\pi =\cos(4\cdot 2\pi)=\cos 0=1. \end{gather*}

Тоді \(a=n\cdot 1=n.\)

Отже, правильна відповідь – Г.

2. Якщо \(\log_2 8+\log_2 n=\log_2 a\), то...

\begin{gather*} \log_2 (8n)=\log_2 a. \end{gather*}

Якщо логарифмічні вирази мають однакові основи \((2)\), можна прирівняти їхні підлогарифмічні вирази (аргументи).

Отже, \(8n=a.\)

Застосували властивість логарифмів:

\begin{gather*} \log_a b+\log_a c=\log_a (b\cdot c). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Якщо \(\sqrt{\sqrt[\scriptstyle n]{8}}=\sqrt[\scriptstyle a]{8}\), то…

Квадратний корінь \(\sqrt{\vphantom{X}\ldots}\) має показник \(2.\) Скористаймося властивістю \(\sqrt[\scriptstyle m]{\sqrt[\scriptstyle n]{x}}=\sqrt[\scriptstyle {mn}]{x}\ \ {:}\)

\begin{gather*} \sqrt{\sqrt[\scriptstyle n]{8}}=\sqrt[\scriptstyle 2n]{8}\ ;\\[7pt] \sqrt[\scriptstyle 2n]{8}=\sqrt[\scriptstyle a]{8}. \end{gather*}

Звідси \(a=2\cdot n=2n.\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Функціональна залежність.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою.

1. Функція \(y=(x+2)^2\) квадратична, її графік – парабола.

Графік отримано паралельним перенесенням параболи \(y=x^2\) на \(2\) одиниці ліворуч уздовж осі \(Ox.\) Вершина параболи має координати \((-2; 0).\) Гілки напрямлені вгору. Отже, на проміжку \((-\infty; -2]\) функція спадає, а на проміжку \([-2; +\infty)\) – зростає.

Отже, правильна відповідь – Г.

2. \(y=2\sqrt{x}\) – ірраціональна функція.

Графік \(y=2\sqrt{x}\) – вітка параболи, що виходить із точки \((0; 0)\) і лежить у першій чверті.

Пряма \(y=x-2\) проходить через точки \((2; 0)\) і \((0; -2).\)

Графік функції \(y=2\sqrt{x}\) має одну спільну точку з графіком функції \(y=x-2.\)

Отже, правильна відповідь – Б.

3. Функція \(y=2^x\) показникова з основою \(a=2.\)

Вона зростає \((a\gt 1)\) на всій області визначення, тобто на проміжку \((-\infty; +\infty).\)

Отже, правильна відповідь – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Б, 3 – A.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, прямокутних трикутників.

1. \(AO.\)

За умовою точка \(O\) – середина діагоналі \(AC\), тому маємо:

\begin{gather*} AO=AC:2=80:2=40\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(AD.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(ACD\ (\angle A=90^\circ).\) За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – A.

3. \(AB.\)

Проведімо висоту \(BK\) з вершини \(B\) до основи \(AD.\) Трапеція прямокутна, тому \(BK=CD=48\) см.

Нехай \(AB=BC=x.\) Тоді чотирикутник \(KBCD\) – прямокутник, отже \(KD=BC=x.\) Тоді відрізок \(AK=AD-KD=64-x.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(ABK.\) За теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AB^2=AK^2+KB^2;\\[7pt] (64-x)^2+48^2=x^2;\\[7pt] 4096-128x+x^2+2304=x^2;\\[7pt] -128x+6400=0;\\[7pt] 128x=6400;\\[7pt] x=6400:128;\\[7pt] x=50. \end{gather*}

Тож \(AB=50\) см.

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – Г.

ТЕМА: Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє знання таблиці первісних, уміння застосовувати правила визначення первісних у точці.

Будь-які дві первісні \(F(x)\) і \(G(x)\) для тієї самої функції \(f(x)\) різняться лише деякою сталою величиною \(C\):

\begin{gather*} G(x)=F(x)+C. \end{gather*}

За умовою маємо первісну

\begin{gather*} F(x)=4x^3-3x^2+9. \end{gather*}

Отже,

\begin{gather*} G(x)=4x^3-3x^2+9+C. \end{gather*}

Відомо, що графік функції \(G(x)\) проходить через точку з координатами \((-1; 0).\) Це означає, що за \(x=-1\) значення функції \(G(-1)=0.\) Підставмо ці значення в рівняння:

\begin{gather*} 0=4\cdot (-1)^3-3\cdot (-1)^2+9+C;\\[7pt] 0=4\cdot (-1)-3\cdot (1)+9+C;\\[7pt] 0=-4-3+9+C;\\[7pt] 0=2+C;\\[7pt] C=-2. \end{gather*}

Отже, функція \(G(x)\) має вигляд:

Обчислімо значення функції в точці \(x=1.\)

\begin{gather*} G(1)=4\cdot (1)^3-3\cdot (1)^2+7;\\[7pt] G(1)=4-3+7;\\[7pt] G(1)=8. \end{gather*}

Відповідь: \(8.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє вміння використовувати комбінації та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

І. Для виконання замовлення автобуса виконавець має \(8\) різних автобусів. Оскільки треба вибрати лише один, то кількість способів зробити це дорівнює кількості автобусів: \begin{gather*} N_1=8. \end{gather*}

II. Для виконання замовлення на два мікроавтобуси виконавець має \(6\) різних мікроавтобусів. Треба вибрати два з них. Оскільки порядок вибору не має значення (просто потрібні дві машини), скористаймося формулою для комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Отже, виконавець замовлення може \(15\) способами вибрати два мікроавтобуси.

Оскільки треба вибрати і автобус, i мікроавтобуси одночасно, застосуймо правило добутку:

\begin{gather*} 8\cdot 15=120\ \text{варіантів}. \end{gather*}

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(120.\)