ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання перевіряє вміння використовувати перестановки та комбінаторні правила добутку для розв’язання комбінаторних задач.

Для розв'язання використаймо формулу переміщення \(n\) елементів:

\begin{gather*} P_n=n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{...}\cdot n. \end{gather*}

Розмістімо седани. Маємо \(2\) седани на \(2\) фіксовані місця (попереду і позаду). Кількість способів їх розставити – це кількість перестановок із \(2\) елементів, обчислімо за формулою:

\begin{gather*} P_2=2!=1\cdot 2=2. \end{gather*}

Розмістімо джипи. Маємо \(3\) джипи на \(3\) місця в центрі колони. Кількість способів їх розставити – це кількість перестановок із \(3\) елементів:

\begin{gather*} P_3=3!=1\cdot 2\cdot 3=6. \end{gather*}

Оскільки вибір седанів і вибір джипів – це незалежні події, які мають відбутися одночасно, використаймо правило добутку:

\begin{gather*} N=P_2\cdot P_3=2\cdot 6=12. \end{gather*}

Існує \(12\) варіантів сформувати таку колону.

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники. Піраміда.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди та її елементів, розв’язування задач на трикутники.

Маємо правильну трикутну піраміду, тому основа – правильний трикутник, основа висоти – центр трикутника.

За умовою, бічна грань (наприклад, \(\Delta DBC\)) – рівносторонній трикутник зі стороною \(a=4\sqrt{6}\) см. Це означає, що всі ребра піраміди рівні. Сторона основи \(AB=BC=AC=a=4\sqrt{6}\) см. Бічне ребро \(DA=DB=DC=4\sqrt{6}\) см.

Оскільки піраміда правильна, її висота \(DO\) падає в центр основи – точку перетину медіан, бісектрис і висот трикутника \(ABC.\) Відрізок \(OB\) – радіус описаного кола \((R)\) навколо основи.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta DOB\ (\angle DOB=90^\circ)\), \(DO\) – висота \((H)\) піраміди. За теоремою Піфагора:

Відповідь: \(8.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння з параметром.

Розв'яжімо лінійне рівняння:

\begin{gather*} 3x-4a=\frac{2ax+3}{5}. \end{gather*}

Позбудьмося знаменника, помноживши обидві частини на \(5{:}\)

\begin{gather*} 5(3x-4a)=2ax+3;\\[7pt] 15x-20a=2ax+3;\\[7pt] 15x-2ax=3+20a;\\[7pt] x(15-2a)=3+20a;\\[6pt] x=\frac{3+20a}{15-2a}. \end{gather*}

Корінь рівняння додатний, якщо

\begin{gather*} \frac{3+20a}{15-2a}\gt 0. \end{gather*}

Розв'яжімо нерівність методом інтервалів:

\begin{gather*} 3+20a=0;\\[7pt] 20a=-3;\\[6pt] a=-\frac{3}{20}=-0{,}15;\\[6pt] 15-2a\ne 0;\\[7pt] -2a\ne -15;\\[7pt] a\ne 7{,}5. \end{gather*}

Отже, \(a\in (-0{,}15; 7{,}5).\)

Цілі значення \(a\) в цьому проміжку:

\begin{gather*} \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}. \end{gather*}

Найбільше ціле значення: \(7.\)

Відповідь: \(7.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з дійсними числами, знання властивостей модуля числа.

За властивістю модуля числа:

\begin{gather*} |a|=\left\{\begin{array}{l} a,\ \text{якщо}\ a\ge 0, \\ -a,\ \text{якщо}\ a\lt 0. \end{array}\right.\\[7pt] |2-5\cdot 3|=|2-15|=|-13|=13. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє знання властивостей нерівностей і вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} 3-3x\lt -1;\\[7pt] -3x\lt -1-3;\\[7pt] -3x\lt -4. \end{gather*}

Помножмо обидві частини нерівності на \(-1{:}\)

\begin{gather*} 3x\gt 4. \end{gather*}

Важливо: унаслідок множення на від'ємне число знак нерівності змінюється на протилежний!

\begin{gather*} x\gt \frac 43. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in \left(\frac 43; +\infty\right). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє розуміння означення конуса як тіла обертання.

Конус – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

Катет, навколо якого обертається прямокутний трикутник, – висота конуса.

Катет, перпендикулярний до осі обертання, – радіус основи конуса. Гіпотенуза трикутника – твірна конуса.

Отже, утвориться конус із радіусом основи 10 см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії імовірностей та елементи статистики. Графічні, табличні, текстові та інші форми подання статистичної інформації.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, відображену на діаграмі.

На круговій діаграмі показано розподіл занять. Сектор Zoom (найсвітліший на діаграмі) займає половину круга. Тобто кількість відвіданих занять у Zoom становить половину від загальної кількості: \(600:2=300\). Сектор Google Meet (світло-сірий) і сектор Teams (темно-сірий) разом становлять іншу половину – \(300\) занять.

З діаграми видно, що сектор Google Meet (світло-сірий) більший за сектор Teams, але він обов'язково менший за половину круга \((300)\) і більший за чверть круга \((150).\)

Запишімо це у вигляді нерівності для кількості занять у Google Meet \((x){:}\)

\begin{gather*} 150\lt x\lt 300. \end{gather*}

Отже, лише число \(200\) задовольняє умову, оскільки \(150\lt 200\lt 300.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма.

І. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Це одна з основних властивостей паралелограма. У довільному паралелограмі \(ABCD\) проведімо діагональ \(AC.\) За ознакою рівності трикутників за трьома сторонами: \(AB=CD\), \(BC=AD\) як протилежні сторони паралелограма, \(AC\) – спільна, \(\Delta ABC=\Delta CDA.\) Твердження правильне.

II. Діагоналі паралелограма є бісектрисами його кутів.

Ця властивість притаманна лише ромбу (а також квадрату як окремому виду ромба). У довільному паралелограмі діагоналі не ділять кути навпіл. Твердження неправильне.

III. Менша діагональ паралелограма ділить його на два гострокутні трикутники.

Трикутники можуть бути прямокутними або тупокутними. Ця властивість не є загальною для паралелограмів. Твердження неправильне.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності та системи нерівностей.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних нерівностей.

Розв'яжімо систему нерівностей:

За властивістю нерівностей, під час ділення нерівності на від'ємне число знак нерівності треба замінити на протилежний.

Зобразімо розв'язок на числовій прямій:

Спільний розв'язок \(x\in (-3; 8).\)

Відповідь: Б.