ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання ознак подільності чисел, уміння розв'язувати задачі на відношення та пропорції.

Відношення кількості столів до стільців становить \(3 : 4.\)

Якщо столів \(3x\), а стільців \(4x\), то разом їх:

\begin{gather*} 3x+4x=7x. \end{gather*}

Загальна кількість столів і стільців – число, кратне \(7.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника.

Периметр прямокутника – це сума всіх його сторін:

\begin{gather*} P=(AB+CD)+(BC+AD). \end{gather*}

За умовою \(P=46\) см, а сума \(AB+CD=18\) см. Підставмо ці значення:

\begin{gather*} 46=18+(BC+AD);\\[7pt] BC+AD=46-18=28\ \text{см}. \end{gather*}

У прямокутнику протилежні сторони рівні: \(BC=AD\). Тому

\begin{gather*} BC=28:2=14\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа.

Завдання перевіряє знання означення та властивостей степеня з натуральним показником.

Для розв'язання використаймо властивості:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей піраміди й уміння розв’язувати стереометричні задачі.

\begin{gather*} S_\text{бічн}=\frac 12P_\text{осн}\cdot m, \end{gather*}

де \(P_\text{осн}\) – периметр основи, а \(m\) – апофема (висота бічної грані).

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. За умовою сторона квадрата дорівнює \(a\). Тоді периметр основи:

\begin{gather*} P_\text{осн}=4a. \end{gather*}

Апофема піраміди дорівнює \(a\) за умовою: \(m=a.\)

Отже,

\begin{gather*} S_\text{бічн}=\frac 12\cdot 4a\cdot a=2a^2. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо знаменник на множники й винесімо спільний множник за дужки:

Розв'язуючи завдання, застосували формулу різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра. Лінійні рівняння.

Завдання перевіряє знання основної властивості пропорції та вміння розв’язувати лінійні рівняння.

\begin{gather*} \frac{x}{18-2x}=\frac 14. \end{gather*}

Застосуймо основну властивість пропорції:

\begin{gather*} \frac ab=\frac cd;\\[6pt] a\cdot d=b\cdot c.\\[7pt] 4\cdot x=1\cdot (18-2x);\\[7pt] 4x=18-2x;\\[7pt] 4x+2x=18;\\[7pt] 6x=18;\\[7pt] x=18:6;\\[7pt] x=3. \end{gather*}

Корінь рівняння \(x=3\) належить проміжку \([0; 4).\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, знання її основних властивостей і правил обчислення визначеного інтеграла.

За правилами інтегрування:

та формулою Ньютона – Лейбніца:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції та прямокутного трикутника, уміння визначати площу трапеції.

За умовою висота \(CK\) ділить основу \(AD\) на два відрізки: \(AK=16\) см і \(KD=9\) см.

У рівнобічній трапеції висота, опущена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки, один із яких дорівнює півсумі основ (середній лінії), а інший – половині різниці основ.

Отже, середня лінія відома:

\begin{gather*} L=\frac{AD+BC}{2}=16\ \text{см}. \end{gather*}

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ACD\) \((\angle ACD=90^\circ\) за умовою). Відрізок \(CK\) – це висота, проведена з вершини прямого кута до гіпотенузи \(AD.\)

За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику, квадрат висоти дорівнює добутку проєкцій катетів на гіпотенузу:

\begin{gather*} CK^2=AK\cdot KD;\\[7pt] CK^2=16\cdot 9=144;\\[7pt] CK=\sqrt{144}=12\ \text{см}. \end{gather*}

Формула площі трапеції:

\begin{gather*} S=\frac{AD+BC}{2}\cdot CK;\\[6pt] S=16\cdot 12=192\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних, логарифмічних і степеневих виразів.

Скористаймося формулою скороченого множення для різниці квадратів:

\begin{gather*} a^2-b^2=(a-b)(a+b). \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

2. \(2^{3a}=(2^3)^a=8^a.\)

Застосуймо властивість степенів:

\begin{gather*} (a^x)^y=a^{x\cdot y}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

Використаймо властивості логарифма:

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0,\ k\ne 0;\\[7pt] \log_{\textstyle a}a=1;\\[6pt] \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\cdot \log_{\textstyle a} b;\\[6pt] \log_{\textstyle a} b^k=k\cdot\log_{\textstyle a} b. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.

Відповідь: 1 – Б, 2 – A, 3 – B.