ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання про коло, круг та їхні елементи, а також властивості ромба.

1. \(OA\) (Радіус кола).

Формула довжини кола: \(L=2\pi R.\) За умовою \(L=12\pi\) см, отже:

\begin{gather*} 2\pi \cdot OA=12\pi\Rightarrow OA=6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – A.

2. Довжина діагоналі \(BD\) ромба.

Розгляньмо \(\Delta AKO.\) \(OA=OK=R=6\) см (як радіуси). За умовою \(AK=OA.\) Отже, \(\Delta AKO\) – рівносторонній (\(AK=KO=OA=6\) см). Отже, гострий кут ромба \(\angle A=60^\circ.\)

Оскільки \(AD\) – діаметр, то сторона ромба

\begin{gather*} AB=AD=2R=2\cdot 6=12\ \text{см}. \end{gather*}

У ромбі сума сусідніх кутів дорівнює \(180^\circ\), тому тупий кут

\begin{gather*} \angle B=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \end{gather*}

За властивістю ромба діагональ \(BD\) є бісектрисою кута \(B\), тобто в трикутнику \(ABD\) кути при основі \(\angle ABD=\angle ADB=60^\circ.\) Тобто \(\Delta ABD\) – рівносторонній, і \(BD=AB=12\) см.

Отже, правильна відповідь – B.

3. Довжина висоти ромба.

Трикутник \(ABD\) рівносторонній, тож висота ромба, проведена з вершини \(B\) до сторони \(AD\), є водночас і висотою цього трикутника.

Формула для обчислення висоти рівностороннього трикутника: \begin{gather*} h=\frac{a\sqrt{3}}{2}, \end{gather*} де \(a\) – його сторона.

Підставмо значення довжини сторони \(a=12\) см:

\begin{gather*} BO=\frac{12\cdot \sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Б.

Відповідь: 1 – A, 2 – B, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання означення арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена, суми \(n\) перших членів послідовності.

З умови задачі маємо такі значення:

• кількість запрошень за 1-й тиждень: \(a_1=7\);
• різниця прогресії: \(d=3\);
• кількість тижнів (елементів): \(n=10\).

Для обчислення загальної кількості запрошень, які отримала Оленка за перші \(10\) тижнів, використаймо формулу суми перших \(n\) членів і формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: \(205.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє знання визначення комбінації, уміння розв’язувати комбінаторні задачі.

І спосіб.

Перший автомобіль (Peugeot): заїжджає на повністю порожній майданчик, тому має вибір з усіх \(10\) паркомісць.

Другий автомобіль (Ford): заїжджає наступним. Одне місце вже зайняте автомобілем Peugeot, тому для Ford залишається \(9\) варіантів.

Третій автомобіль (Volkswagen): заїжджає останнім. Два місця вже зайняті попередніми машинами, тому для нього залишається \(8\) варіантів.

За комбінаторним правилом добутку, щоб обчислити загальну кількість способів розмістити всі три автомобілі, треба перемножити кількості варіантів вибору для кожного з них:

\begin{gather*} N=10\cdot 9\cdot 8=720\ \text{способів}. \end{gather*}

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

II спосіб.

Оскільки важливо і вибрати місця, і зважити на те, який автомобіль куди стане (порядок має значення), скористаймося формулою розміщень без повторень \(A_n^k\) вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Відповідь: \(720.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

Обчислімо довжину сторони квадрата – перерізу правильної чотирикутної призми, площа якої 64:

\begin{gather*} BD=BB_1=\sqrt{64}=8. \end{gather*}

Обчислімо висоту призми:

\begin{gather*} H=BB_1=8. \end{gather*}

В основі призми лежить квадрат \(ABCD\) з діагоналлю \(BD=8.\) Обчислімо його площу:

Підставмо обчислені значення площі основи та висоти у формулу для обчислення об'єму:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H=32\cdot 8=256. \end{gather*}

Відповідь: \(256.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

\begin{gather*} ax^2+bx+c=0, \end{gather*}

де \(a\), \(b\), \(c\) – коефіцієнти квадратного рівняння.

\(D=b^2-4ac\) – дискримінант.

Якщо \(D\gt 0\), то

\begin{gather*} x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\\[6pt] x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}. \end{gather*}

У заданому рівнянні \(2x^2-(4a-3)x-6a=0\) маємо коефіцієнти:

\begin{gather*} a_\text{коеф.}=2;\\[7pt] b_\text{коеф.}=-(4a-3);\\[7pt] c_\text{коеф.}=-6a. \end{gather*}

Обчислімо дискримінант заданого рівняння:

\begin{gather*} D=(-(4a-3))^2-4\cdot 2\cdot (-6a);\\[7pt] D=16a^2-24a+9+48a;\\[7pt] D=16a^2+24a+9;\\[7pt] 16a^2+24a+9=(4a+3)^2;\\[7pt] \sqrt{D}=|4a+3|. \end{gather*}

Тобто

\(x_1=-1{,}5\) належить проміжку \([-5; 8].\)

\(x_2=2a\) корінь, що залежить від параметра. За умовою він також має належати проміжку \([-5; 8].\)

Складімо нерівність:

\begin{gather*} -5\le 2a\le 8;\\[6pt] \frac{-5}{2}\le a\le \frac 82;\\[6pt] -2{,}5\le a\le 4. \end{gather*}

Тобто, \(a\in [-2{,}5; 4].\)

Цілі числа, які належать цьому проміжку:

\begin{gather*} \{-2; -1; 0; 1; 2; 3, 4\}. \end{gather*}

Порахуємо їхню кількість: усього \(7\) цілих чисел.

Відповідь: \(7.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Ірраціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів, знання формул скороченого множення.

Для розв’язання завдання використаймо властивість арифметичного квадратного кореня:

\begin{gather*} (\sqrt{a})^2=a. \end{gather*}

А також формулу скороченого множення «різниця квадратів»:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Коло та круг.

Завдання перевіряє знання властивостей кола та хорд.

Відрізок, що сполучає дві точки кола, називають хордою. Найбільша за довжиною хорда кола – його діаметр.

Отже, \(AB=16\), тому що радіус кола дорівнює \(8\ (d=2R).\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені в графічній і/або текстовій формі.

Треба знайти залу, кількість глядачів у якій відповідає подвійній нерівності:

\begin{gather*} 40\lt\ \text{кількість глядачів}\ \lt 48. \end{gather*}

Це означає, що стовпчик на діаграмі має бути вищим за позначку \(40\), але нижчим за позначку \(48.\)

Розгляньмо кількість глядачів у залах:

Біла зала: стовпчик сягає позначки \(55.\) (\(55\gt 48\) – не підходить).

Блакитна зала: стовпчик точно на рівні \(40.\) (За умовою глядачів має бути більше, тому не підходить).

Жовта зала: стовпчик на позначці \(35.\) (\(35\lt 40\) – не підходить).

Зелена зала: стовпчик точно на рівні \(20.\) (\(20\lt 40\) – не підходить).

Фіолетова зала: стовпчик на позначці \(45.\) (Число \(45\) більше за \(40\) і менше за \(48\) \((40\lt 45\lt 48).\) Цей варіант відповідає умові завдання.

Єдина зала, кількість глядачів у якій перебуває в межах від \(40\) до \(48\), – фіолетова.

Відповідь: Д.