ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Аксіоми і теореми стереометрії. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі. Ознаки паралельності прямих, прямої і площини, площин.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі, ознак паралельності прямої та площини, площин у просторі.

Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину (аксіома). Отже, твердження I правильне.

Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.

Отже, твердження II правильне.

Якщо дві різні площини паралельні одній прямій, то вони необов'язково паралельні між собою. Якщо пряма перетину площин паралельна прямій, то ці площини паралельні прямій.

Наприклад, \(\alpha \cap \beta = a\), \(a\ ||\ b.\)

Отже, \(\alpha\ ||\ b\), \(\beta\ ||\ b.\) Отже, твердження III неправильне.

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Означення функції, область визначення, область значень функції, графік функції. Екстремуми функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити екстремуми функції, досліджувати функції за допомогою похідної.

На відрізку \([-3; 7]\) \(3\) точки екстремуму. \begin{gather*} x_{max} = 1;\\[7pt] x_{min} = 3{,}5;\\[7pt] x_{max} = 6. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення арифметичної та геометричної прогресії. Формула \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена.

\((b_n)\) – геометрична прогресія. За властивістю геометричної прогресії:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє вміння знаходити неповну частку та остачу від ділення одного натурального числа на інше.

Нехай \(k = 5p + 2.\) Число

Отже, остача від ділення на \(5\) становить \(3.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичної інформації.

Це завдання перевіряє вміння аналізувати статистичну інформацію, подану у вигляді діаграми.

У грудні спожито \(220\ \text{кВт}\cdot\text{год}\), у липні – \(80\ \text{кВт}\cdot\text{год}.\) \begin{gather*} 220 : 80 = 2{,}75. \end{gather*} Отже, I твердження правильне.

За літні місяці спожито: \begin{gather*} 100 + 80 + 100 = 280\ \text{кВт}\cdot\text{год}. \end{gather*} За весняні місяці спожито: \begin{gather*} 160 + 150 + 130 = 440\ \text{кВт}\cdot\text{год}. \end{gather*} За весняні місяці спожито більше, ніж у літні на: \begin{gather*} 440 - 280 = 160\ \text{кВт}\cdot\text{год}. \end{gather*} Отже, II твердження правильне.

Середньомісячне споживання електроенергії:

Отже, III твердження правильне.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Найпростіші геометричні фігури на площині та їх властивості. Геометричні величини та їх вимірювання. Величини кута, вимірювання кутів.

Це завдання перевіряє вміння вимірювати кути, знання аксіом планіметрії.

Градусна міра повного кута \(360^\circ.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи. Логарифмічні, тригонометричні та ірраціональні рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати логарифмічні рівняння з параметром, нерівності; знання властивостей логарифмічної, тригонометричної та степеневої функцій.

ОДЗ:

Розглянемо функцію \(y=\lg(\sin 5\pi x).\) Якщо аргумент зростаючої функції належить проміжку \((0; 1)\), тоді \(\lg(\sin 5\pi x)\le 0.\)

Функція $$ g(x)=\sqrt{16+a-x} $$ приймає значення \([0; +\infty).\)

Отже, рівність досягається за умови:

Корінь рівняння належить проміжку \(\left[\dfrac{3}{2}; 2\right].\)

при \(n\in Z\) нерівності задовольняє значення \(n=4.\)

Отже,

При \(a=-14{,}3\) корінь рівняння належить проміжку \(\left[\dfrac{3}{2}; 2\right].\)

Відповідь: \(-14{,}3.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей піраміди, ознак паралельності та перпендикулярності прямих та площин у просторі, властивостей подібних фігур; уміння знаходити відстані у просторі.

Нехай \(SABCD\) – піраміда. \(ABCD\) – трапеція \((AD\ ||\ BC)\), \(MN\) – середня лінія.

\(SB\!\perp\!(ABC)\rightarrow SB\) – висота піраміди.

\(MN=5\) см, \(SB=2MN=2\cdot5=10\) см.

Точка \(D_1\) – середина \(SD\).

У

за ознакою паралельності площин.

Відстань від точки \(D_1\) до площини \((SBC)\) – висота трапеції \(A_1D_1C_1D_1\), \((D_1E_1\!\perp\!B_1C_1).\)

\(D_1\) – середина \(SD.\) \(ABCD\) подібна \(A_1B_1C_1D_1\) (за пропорційними сторонами)

\(k=\dfrac{1}{2}\) – коефіцієнт подібності.

$$ D_1E_1=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\cdot 12{,}6=6{,}3\ \text{см}. $$

Відповідь: \(6{,}3.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Квадратична функція. Похідна функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої графіком, знаходити похідну функції та значення похідної функції в точці.

\(a=1\), \(c=13.\) Bершина параболи

Відповідь: \(-22.\)