ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Квадратні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння.

\begin{gather*} x^2-12=4x-12;\\[7pt] x^2-12-4x+12=0;\\[7pt] x^2-4x=0;\\[7pt] x(x-4)=0;\\[7pt] x_1=0\ \text{або}\ x-4=0;\\[7pt] x_2=4. \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Завдання перевіряє знання властивостей призми та вміння розв'язувати стереометричні задачі.

Площу бічної поверхні призми визначмо за формулою:

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною \(\sqrt{a}\), тож його периметр:

За умовою задачі висота \(H=3\sqrt{a}.\)

Отже,

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння пов'язувати аналітичні властивості функції з її графіком на координатній площині.

За умовою завдання значення \(y\) завжди від'ємні, тож графік функції може перебувати лише там, де \(y\lt 0.\) Це нижня частина координатної площини (під віссю \(Ox\)).

Функція визначена на \(x\in (0; +\infty)\), тому графік обов'язково буде в тій зоні, де \(x\gt 0\) (у IV чверті).

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Числа і вирази. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Оскільки Іван на байдарці плив за течією, додамо швидкість течії до власної швидкості байдарки:

Щоб обчислити загальний шлях, швидкість, з якою рухався Іван, помножмо на час, який він витратив на подорож:

\begin{gather*} S=v\cdot t;\\[7pt] S=6{,}8\cdot 2{,}5=17\ \text{км}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямокутна система координат у просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати координати точки, зображеної на рисунку.

Оскільки точка \(N\) належить осі \(Oy\) прямокутної системи координат у просторі й розташована вище від початку координат – точки \(O(0; 0; 0)\), її координати \(x\) і \(z\) дорівнюють нулю, а координата \(y\) додатна: \(N(0; y_N; 0).\)

З-поміж наведених цю умову задовольняє лише варіант відповіді Д.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

Розв'яжімо логарифмічну нерівність \(\log_{0{,}2} (x+4)\gt \log_{0{,}2} 5.\)

Функція є спадною, бо основа логарифма \(0{,}2\lt 1.\) Отже, \(x+4\lt 5\) та за ОДЗ \(x+4\gt 0.\)

Розв'язком нерівності є розв'язок системи лінійних нерівностей:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x+4\lt 5,\\ x+4\gt 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x\lt 5-4,\\ x\gt -4, \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} x\lt 1,\\ x\gt -4. \end{array}\right. \end{gather*}

\begin{gather*} x\in (-4; 1). \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення «квадрат суми»:

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії, уміння розв’язувати текстові задачі.

Арифметична прогресія – це послідовність чисел, де кожне наступне утворюється додаванням (або відніманням) того самого числа, яке називають різницею прогресії \((d).\)

Будь-який інший член прогресії \(a_k\) відрізняється від відомого \((a_n)\) на цілу кількість кроків \(d{:}\)

\begin{gather*} a_k-a_n=m\cdot d, \end{gather*}

де \(m\) – це ціле число (кількість кроків).

Різниця між невідомим числом і числом \(27\) має націло ділитися на \(5.\)
А) \(49{:}\
49 - 27 = 22\) (число \(22\) не ділиться на \(5\) без остачі).
Б) \(50{:}\
50 - 27 = 23\) (не ділиться на \(5\)).
В) \(51{:}\
51 - 27 = 24\) (не ділиться на \(5\)).
Г) \(52{:}\
52 - 27 = 25\) (число \(25\) ділиться на \(5\) націло: \(25 : 5 = 5\)).
Д) \(53{:}\
53 - 27 = 26\) (не ділиться на \(5\)).

Оскільки різниця ділиться на \(5\) лише для числа \(52\), воно єдиний можливий правильний варіант із запропонованих.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, прямокутного трикутника, уміння визначати площу паралелограма.

Розгляньмо прямокутний трикутник \(ABH\ (\angle H=90^\circ).\)

За умовою, \(\angle A=30^\circ\), а гіпотенуза \(AB=12\) см. Катет, що лежить навпроти кута \(30^\circ\), дорівнює половині гіпотенузи.

\begin{gather*} BH=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою, сторона \(AD\) втричі більша за висоту, проведену до неї:

\begin{gather*} AD=3\cdot BH=3\cdot 6=18\ \text{см}. \end{gather*}

Площу паралелограма обчислімо як добуток його сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

\begin{gather*} S=AD\cdot BH=18\cdot 6=108\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.