ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння порівнювати дійсні числа.

Запишімо подвійною нерівністю: \begin{gather*} -2{,}07\lt x\lt 15{,}9. \end{gather*}

Першим цілим числом, яке більше за \(-2{,}07\), є \(-2.\) Останнім цілим числом, яке менше за \(15{,}9\), є \(15.\)

Кількість цілих чисел:

• від \(1\) до \(15\) – це п`ятнадцять чисел;
• число \(0\) – це ще одне число;
• числа \(-1\) та \(-2\) – це ще два числа.

Всього: \(15 + 1 + 2 = 18.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння, зокрема з параметрами, а також аналізувати та досліджувати їхні властивості.

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У цьому завданні \(x_1+x_2=8\) та \(x_1\cdot x_2=4a-1.\)

Треба визначити \(x_1^2+x_2^2.\) Використаймо формулу квадрата суми:

Звідси:

За умовою сума квадратів дорівнює \(38{:}\)

Перевірка існування коренів:

Щоб корені взагалі існували, дискримінант має бути \(D\ge 0.\)

Якщо \(a=3{,}5\), то

Оскільки \(D\gt 0\), корені існують.

Відповідь: \(3{,}5.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини в просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати стереометричні задачі, обчислювати об’єм призми.

У паралелограмі менша діагональ лежить навпроти гострого кута. Використаймо теорему косинусів:

Менший діагональний переріз прямої призми – це прямокутник зі сторонами \(BB_1D_1D.\) Сторона \(BD=13\) см, а висота \(DD_1=H.\) Його площа за умовою дорівнює \(260\) см\(^2{:}\)

Обчислімо площу основи призми (паралелограма \(ABCD\)) за формулою \(S=ab\sin \gamma{:}\)

Обчислімо об’єм призми:

\begin{gather*} V=S_\text{осн}\cdot H;\\[7pt] V=60\sqrt{3}\cdot 20=1200\sqrt{3}\ \text{см}^3. \end{gather*}

За умовою треба обчислити \(\frac{V}{\sqrt{3}}{:}\)

\begin{gather*} \frac{1200\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1200\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(1200.\)

ТЕМА: Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку.

Завдання скеровано на перевірку знання означення розміщення, вміння розв’язувати комбінаторні задачі використовуючи правило добутку.

Софія має \(10\) різних листівок, їй потрібно вибрати по одній для \(4\) різних адресатів. 

Оскільки адресати різні, порядок вибору має значення. Кількість способів вибрати \(4\) листівки з \(10\) листівок та розподілити їх між \(4\) різними адресатам обчислюємо за формулою розміщення \(m\) елементів з \(n\) можливих:

Всі листівки надсилаються в конвертах одного кольору: або всі жовті або всі сині. Тобто всього є два варіанти.

Загальну кількість варіантів обчислюємо за комбінаторним правилом добутку:

\begin{gather*} 5040\cdot 2=10080. \end{gather*}

Відповідь: \(10080.\)

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Первісна та визначений інтеграл.

Завдання перевіряє вміння обчислювати первісну, використовуючи її основні властивості, застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла.

За властивістю логарифма:

Відповідь: \(0{,}5.\)

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, середньої лінії трапеції, прямокутного трикутника.

1. У рівнобічній трапеції трикутники \(AOD\) та \(BOC\), утворені діагоналями, є рівнобедреними прямокутними трикутниками (оскільки \(AC=BD\), діагоналі перпендикулярні та діляться точкою перетину на рівні частини: \(AO=OD\) та \(BO=OC\)). Отже, \(BO=OC=6\sqrt{2}\ \text{см}.\)

У прямокутному трикутнику \(BOC\) за теоремою Піфагора:

Отже, 1 – А.

2. За умовою, \(KM\) – середня лінія трикутника \(AOD\), \(KM=12\) см.

Середня лінія трикутника паралельна основі та дорівнює її половині.

Отже,

Отже, 2 – Д.

3. Висота \(h\) трапеції з перпендикулярними діагоналями дорівнює середній лінії всієї трапеції (або сумі проведених до основ висот трикутників \(AOD\) та \(BOC\)).

Оскільки ці трикутники прямокутні та рівнобедрені, їхні висоти до основ дорівнюють половині самих основ:

Висота \(\Delta BOC{:}\)

Висота \(\Delta AOD{:}\)

Висота трапеції:

Отже, 3 – В.

Відповідь: 1 – А, 2 – Д, 3 – В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння визначати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. \(y=x-2\)

За \(x=1\) маємо \(y=1-2=-1.\)

Оскільки \(-1\lt 0\), функція дійсно набуває від'ємного значення.

Отже, 1 – В.

2. \(y=x^3\)

Обчислімо значення в точці \(x=0.\)

Для \(y=x^3{:}\) \begin{gather*} y(0)=0^3=0. \end{gather*}

Для \(y=\log_{0{,}5}(x+1){:}\)

Значення збігаються, тобто графіки функцій мають спільну точку \((0; 0).\)

Отже, 2 – Б.

3. \(\cos x\)

Функція є парною \(\cos(-x)=\cos x\), тому її графік симетричний відносно осі \(Oy.\)

Отже, 3 – А.

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – А.

ТЕМА: Числа і вирази. Дійсні числа. Логарифмічні та степеневі вирази.

Завдання перевіряє вміння обчислювати значення (модуль, степінь, логарифм) математичних виразів і визначати положення отриманих чисел на координатній прямій.

1. За властивістю модуля:

Числу \(2\) на прямій відповідає точка \(P.\)

Отже, 1 – Д.

2. \(0{,}5^0=1.\) Числу \(1\) на прямій відповідає точка \(N.\)

Отже, 2 – Г.

3. За властивістю логарифма:

Числу \(-1\) на прямій відповідає точка \(L.\)

Отже, 3 – Б.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв'язувати текстові задачі арифметичним способом.

Набір із двох ручок коштує \(9\) гривень. На \(61\) гривню можна купити \(6\) наборів. На це буде витрачено \(54\) гривні. На \(7\) гривень, що залишаться, можна купити ще одну ручку за \(5\) гривень. Отже, найбільша кількість ручок, які можна купити – \(13.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Координати і вектори в просторі.

Завдання перевіряє вміння визначати відстань між точками за відомими координатами.

Відстань \(d\) від точки з координатами \((x; y; z)\) до початку координат \((0; 0; 0)\) обчислюють за формулою:

A \((0; 4; 0){:}\)

Б \((0; 3; -4){:}\)

B \((-5; 0; 0){:}\)

Г \((1; 3; 0){:}\)

Д \((3; 0; -3){:}\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Системи рівнянь. Показникові та лінійні рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати системи лінійних і показникових рівнянь.

Оскільки в першому рівнянні основи однакові, то можемо прирівняти показники степенів:

Маємо систему рівнянь:

Розв'яжімо систему лінійних рівнянь способом додавання:

Підставмо значення \(x=2\) у друге рівняння системи й визначмо \(y{:}\)

Тобто \((2; -1)\) – розв'язок системи, а

Відповідь: Б.

ТЕМА: Раціональні вирази та їхні перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Для скорочення дробу розкладімо чисельник і знаменник на множники за формулою різниці квадратів:

У виразі \(3a+6b=3(a+2b)\) винесімо спільний множник за дужки:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості прямокутника та прямокутного трикутника.

Сторона \(BC=18\) см, точка \(M\) поділила її у відношенні \(4:5.\) Тому загальна кількість частин дорівнює \(9{:}\)

Отже,

Оскільки \(AM\) – бісектриса прямого кута \(A\), то

У прямокутнику сторони \(BC\) та \(AD\) паралельні, тому \begin{gather*} \angle BMA=\angle MAD=45^\circ \end{gather*} (як внутрішні різносторонні кути).

Розгляньмо трикутник \(ABM{:}\) у ньому два кути по \(45^\circ{:}\) \begin{gather*} \angle BAM=\angle BMA=45^\circ, \end{gather*} отже цей трикутник – рівнобедрений.

Це означає, що бічні сторони \(AB\) та \(BM\) рівні:

Обчислімо площу прямокутника:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє вміння застосовувати основну властивість арифметичної прогресії.

В арифметичній прогресії будь-який член (починаючи з другого) є середнім арифметичним попереднього та наступного членів:

Підставмо значення:

Відповідь: Б.