Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 35

Математика. Всі запитання починаючи з 35

363738394041424344454647484950 ▶

Завдання 36 з 2199

Остача від ділення натурального числа \(k\) на \(5\) дорівнює \(2.\) Укажіть остачу від ділення на \(5\) числа \(k+21.\)

А\(0\)

Б\(1\)

В\(2\)

Г\(3\)

Д\(4\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Дійсні числа (натуральні, цілі, раціональні та ірраціональні), їх порівняння та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними.

Це завдання перевіряє вміння знаходити неповну частку та остачу від ділення одного натурального числа на інше.

Нехай \(k = 5p + 2.\) Число

\begin{gather*}k + 21 = 5p + 2 + 21 = 5p + 23 = 5(p + 4) + 3. \end{gather*}

Отже, остача від ділення на \(5\) становить \(3.\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5317

Завдання 37 з 2199

У геометричній прогресії \((b_n)\) задано \(b_3=0{,}2\); \(b_4=\dfrac 34.\) Знайдіть знаменник цієї прогресії.

А\(\dfrac{15}{4}\)

Б\(\dfrac{3}{20}\)

В\(\dfrac{3}{8}\)

Г\(\dfrac{4}{15}\)

Д\(\dfrac{11}{20}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності. Означення арифметичної та геометричної прогресії. Формула \(n\text{-го}\) члена геометричної прогресії.

Це завдання перевіряє знання означення геометричної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена.

\((b_n)\) – геометрична прогресія. За властивістю геометричної прогресії:

\begin{gather*} b_{n+1} = b_n \cdot q,\\[7pt] b_4 = b_3 \cdot q,\\[6pt] q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{3}{4} : 0{,}2 = \frac{3}{4} : \frac{2}{10} = \frac{3 \cdot 10}{4 \cdot 2} = \frac{15}{4}. \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5318

Завдання 38 з 2199

На рисунку зображено графік неперервної функції \(y=f(x)\), визначеної на відрізку \([-3; 7].\) Скільки всього точок екстремуму має ця функція на відрізку \([-3; 7]\)?

А\(1\)

Б\(2\)

В\(3\)

Г\(5\)

Д\(6\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Означення функції, область визначення, область значень функції, графік функції. Екстремуми функції.

Це завдання перевіряє вміння знаходити екстремуми функції, досліджувати функції за допомогою похідної.

На відрізку \([-3; 7]\) \(3\) точки екстремуму. \begin{gather*} x_{max} = 1;\\[7pt] x_{min} = 3{,}5;\\[7pt] x_{max} = 6. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5319

Завдання 39 з 2199

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину.

II. Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.

III. Якщо дві різні площини паралельні одній і тій самій прямій, то вони паралельні між собою.

Алише І

Блише І i II

Влише І i ІІI

Глише ІІ і ІІІ

ДI, II i III

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Аксіоми і теореми стереометрії. Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі. Ознаки паралельності прямих, прямої і площини, площин.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі, ознак паралельності прямої та площини, площин у просторі.

Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину (аксіома). Отже, твердження I правильне.

Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.

Отже, твердження II правильне.

Якщо дві різні площини паралельні одній прямій, то вони необов'язково паралельні між собою. Якщо пряма перетину площин паралельна прямій, то ці площини паралельні прямій.

Наприклад, \(\alpha \cap \beta = a\), \(a\ ||\ b.\)

Отже, \(\alpha\ ||\ b\), \(\beta\ ||\ b.\) Отже, твердження III неправильне.

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5320

Завдання 40 з 2199

Розв'яжіть рівняння \(2x(x+2)=5(x+2).\)

А\(-2{,}5; 2\)

Б\(-2\)

В\(2{,}5\)

Г\(-2; 0{,}4\)

Д\(-2; 2{,}5\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння з однією змінною, означення кореня (розв'язку) рівняння з однією змінною. Методи розв'язування раціональних, ірраціональних, показникових, логарифмічних, тригонометричних рівнянь.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати квадратні рівняння, розкладати многочлен на множники.

\begin{gather*} 2x(x + 2) = 5(x + 2),\\[7pt] 2x(x + 2) - 5(x + 2) = 0,\\[7pt] (x + 2)(2x - 5) = 0,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x + 2 = 0,\\ 2x - 5 = 0, \end{array}\right.\ \ \left[\begin{array}{l} x = -2,\\ 2x = 5, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x = -2,\\ x = 2{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5321

Завдання 41 з 2199

Розв'яжіть нерівність \(\dfrac{1}{x-5}\lt 0.\)

А\((-\infty; 5)\)

Б\((-\infty; -5)\)

В\((-\infty; 5)\cup (5; +\infty)\)

Г\((-5; +\infty)\)

Д\((5; +\infty)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання методів розв'язування раціональних нерівностей, властивостей нерівностей.

Дріб менше за нуль, якщо \(x - 5 \lt 0\), \(x\lt 5.\)

\begin{gather*} x \in (-\infty; 5). \end{gather*}

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5322

Завдання 42 з 2199

Якщо \(x+2y-6z=-1\) i \(-y+3z=5\), то \(x=\)

А\(9\)

Б\(11\)

В\(4\)

Г\(-9\)

Д\(-11\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв'язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв'язань.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи лінійних рівнянь.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x + 2y - 6z = -1, \\ -y + 3z = 5\ |\ \cdot 2, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x + 2y - 6z = -1, \\ -2y + 6z = 10. \end{array}\right. \end{gather*}

Складемо рівняння почленно: \(x = 9.\)

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5323

Завдання 43 з 2199

На рисунку зображено графік функції \(y=x^2-2x.\) Укажіть графік функції \(y=|x^2-2x|.\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння виконувати елементарні перетворення графіків функцій.

Графік функції \(y = x^2 - 2x\), використовуючи елементарні перетворення, перетворимо в графік функції \(y = |x^2 - 2x|.\)

Частина графіка, яка знаходилась нижче від осі абсцис, симетрично відображається відносно осі \(Ox\), решта – залишається без змін.

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5324

Завдання 44 з 2199

\(\dfrac{\lg 25}{\lg 5}=\)

А\(\lg 5\)

Б\(5\)

В\(\lg 20\)

Г\(2\)

Д\(0{,}5\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення. Означення та властивості логарифма.

Це завдання перевіряє знання властивостей логарифма, вміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Використавши формулу переходу до нової основи, отримаємо: \begin{gather*} \frac{\lg 25}{\lg5} = \log_5 25 = 2. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5325

Завдання 45 з 2199

Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює \(3\) см, а периметр її бічної грані – \(22\) см. Знайдіть площу бічної поверхні цієї призми.

А\(66\) см\(^2\)

Б\(72\) см\(^2\)

В\(96\) см\(^2\)

Г\(114\) см\(^2\)

Д\(264\) см\(^2\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Формули для обчислення площ поверхонь, об'ємів многогранників і тіл обертання.

Це завдання перевіряє знання формули бічної поверхні призми.

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – правильна призма. \(ABCD\) – квадрат. \(AB = 3\) см.

\begin{gather*} P(AA_1D_1D) = 22\ \text{см}=2(AD + AA_1)=2(3 + AA_1),\\[7pt] 6 + 2AA_1 = 22,\\[7pt] 2AA_1 = 16,\\[7pt] AA_1 = 8\ \text{см},\\[7pt] S_{бічна} = P_{основи} \cdot H = P_{ABCD} \cdot AA_1 = 3 \cdot 4 \cdot 8 = 96\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5326

Завдання 46 з 2199

Знайдіть значення виразу \(\dfrac 1b-\dfrac 1a\), якщо \(\dfrac{\sqrt{3}a-\sqrt{3}b}{ab}=\sqrt{12}.\)

А\(-2\)

Б\(0{,}5\)

В\(2\)

Г\(3\)

Д\(6\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних та ірраціональних виразів, знання властивостей кореня \(n\text{-го}\) степеня.

Спростимо вираз:

\begin{gather*} \frac{\sqrt{3}a - \sqrt{3}b}{ab} = \sqrt{12},\\[6pt] \frac{\sqrt{3}(a - b)}{ab} = 2\sqrt{3},\\[6pt] \frac{a - b}{ab} = 2,\\[6pt] \frac{a}{ab} - \frac{b}{ab} = 2,\\[6pt] \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = 2. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5327

Завдання 47 з 2199

У трикутнику \(ABC\) задано \(AC=2\) см, \(\angle A=50^\circ\), \(\angle B=70^\circ\) (див. рисунок). Визначте \(BC\) (у см) за теоремою синусів.

А\(BC=\frac{2\sin 70^\circ}{\sin 50^\circ}\)

Б\(BC=\frac{\sin 50^\circ}{2\sin 70^\circ}\)

В\(BC=\frac{2}{\sin 50^\circ\sin 70^\circ}\)

Г\(BC=\frac{\sin 70^\circ}{2\sin 50^\circ}\)

Д\(BC=\frac{2\sin 50^\circ}{\sin 70^\circ}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Теорема синусів.

Це завдання перевіряє знання теореми синусів.

За теоремою синусів:

\begin{gather*} \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B},\\[6pt] BC = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{2 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 70^\circ}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5328

Завдання 48 з 2199

На координатній площині \(xy\) зображено коло, центр якого збігається з початком координат (див. рисунок). Точки \(K(8; 6)\) i \(M(x; y)\) належать цьому колу. Визначте координати точки \(M.\)

А\((-10; 0)\)

Б\((10; 0)\)

В\((0; -14)\)

Г\((0; -10)\)

Д\((0; 10)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Прямокутна система координат на площині, координати точки. Формула для обчислення відстані між двома точками.

Це завдання перевіряє знання декартової системи координат на площині, формули відстані між двома точками на площині.

\begin{gather*} \Delta KOA\ (\angle A = 90^\circ),\\[7pt] OK = R = \sqrt{KA^2 + OA^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10,\\[7pt] OA = 8,\\[7pt] KA = 6. \end{gather*}

Радіус кола \(R = 10.\) Отже, \(M(0; -10).\)

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5329

Завдання 49 з 2199

У трикутнику \(ABC\) точка \(M\) – середина сторони \(BC\), \(AC=24\) см (див. рисунок). Знайдіть відстань \(d\) від точки \(M\) до сторони \(AC\), якщо площа трикутника \(ABC\) дорівнює \(96\) см\(^2.\)

А\(2\) см

Б\(3\) см

В\(4\) см

Г\(6\) см

Д\(8\) см

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площі трикутника, теореми Фалеса, ознаки паралельності прямих на площині.

\begin{gather*} S_{ABC} = 96\ \text{см}^2,\\[7pt] BB_1\!\perp\!AC,\\[6pt] S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot BB_1 = 12 \cdot BB_1 = 96,\\[6pt] BB_1 = 96 : 12 = 8\ \text{см},\\[7pt] \left.\begin{array}{l} BB_1\!\perp\!AC,\\ MM_1\!\perp\!AC, \end{array}\right| \Rightarrow BB_1\ ||\ MM_1. \end{gather*}

За теоремою Фалеса: якщо \(MC = MB,\) то \(CM_1 = M_1B_1.\)

\(MM_1\) – середня лінія \(\Delta BB_1C.\) За властивістю середньої лінії трикутника

\begin{gather*} MM_1 = d = \frac{1}{2} BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5330

Завдання 50 з 2199

Спростіть вираз \(\sin^2 \alpha(1-\mathrm{ctg}^2\ \alpha).\)

А\(\cos(2\alpha)\)

Б\(\mathrm{tg}^2\ \alpha\)

В\(1\)

Г\(\mathrm{ctg}^2\ \alpha\)

Д\(-\cos(2\alpha)\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} \sin^2\alpha(1 - \mathrm{ctg}^2\alpha) = \sin^2\alpha - \sin^2\alpha \cdot \mathrm{ctg}^2\alpha = \sin^2\alpha - \frac{\sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} =\\[6pt] = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = -\cos 2\alpha. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5331