Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 50

Математика. Всі запитання починаючи з 50

515253545556575859606162636465 ▶

Завдання 51 з 2199

Знайдіть похідну функції \(y=e^{-2x}.\)

А\(y'=e^{-2x}\)

Б\(y'=-2e^{-2x}\)

В\(y'=-2xe^{-2x-1}\)

Г\(y'=2e^{-2x}\)

Д\(y'=-\frac 12e^{-2x}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідну складеної функції, знання правил диференціювання.

За правилом знаходження похідної складеної функції, знаходимо похідну функції:

\begin{gather*} y' = (e^{-2x})' = e^{-2x} \cdot (-2x)' = -2 \cdot e^{-2x}. \end{gather*}

Відповідь: Б.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5332

Завдання 52 з 2199

Розв'яжіть нерівність \(\log_{0{,}4}x\ge \log_{0{,}4}2.\)

А\((-\infty; 2]\)

Б\((0{,}4; 2]\)

В\((0; +\infty)\)

Г\([2; +\infty)\)

Д\((0; 2]\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні нерівності.

\(\log_{0{,}4} x \ge \log_{0{,}4} 2.\)

Функція \(y = \log_{0{,}4} x\) спадна, отже \(x \ge 2.\)

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x \le 2,\\ x \gt 0. \end{array}\right. \end{gather*}

Аргумент \(x \lt 0\), \(x\in (0; 2].\)

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5333

Завдання 53 з 2199

Для розігрівання в мікрохвильовій печі рідких страв використовують посудину у формі циліндра, радіус основи якого дорівнює \(9\) см. Посудина ставиться на горизонтальний диск у формі круга і накривається кришкою, що має форму півсфери (див. рисунок). Радіус півсфери дорівнює \(12\) см і є меншим за радіус круга. Укажіть найбільше з наведених значень, якому може дорівнювати висота посудини, якщо посудина не торкається кришки.

А\(3\) cм

Б\(5\) cм

В\(6\) cм

Г\(7\) cм

Д\(8\) cм

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання. Тіла і поверхні обертання та їх елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, куля, сфера. Планіметрія. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості тіл та поверхонь обертання до розв’язування стереометричних задач практичного змісту.

\(OA = 12\) см, \(O_1A = 9\) см.

Розглянемо випадок, коли циліндр дотикається до півсфери:
\(\Delta OO_1A\ (\angle O_1 = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2,\\[7pt] OO_1^2 = 12^2 - 9^2 = 144 - 81 = 63,\\[7pt] OO_1 = \sqrt{63}\ \text{см},\\[7pt] \sqrt{49} \lt \sqrt{63} \lt \sqrt{64},\\[7pt] 7 \lt \sqrt{63} \lt 8,\\[7pt] 7\lt OO_1 \lt 8. \end{gather*}

Найбільше з наведених значень, якому може дорівнювати висота посудини, – \(7\) см.

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5334

Завдання 54 з 2199

З пунктів \(A\) i \(B\) одночасно по шосе назустріч один одному виїхали два велосипедисти. Вони їхали без зупинок зі сталими швидкостями: перший – зі швидкістю \(x\) км/год, другий – зі швидкістю \(y\) км/год \((x\gt y).\) Через \(t\) годин \((t\gt 1)\) вони зустрілися в точці \(C\) і, не зупиняючись, продовжили рух без зміни напрямків. До кожного запитання (1–4) доберіть правильну відповідь (А – Д).

Запитання

1На скільки кілометрів зменшилася відстань по шосе між велосипедистами через \(1\) годину після початку руху?

2Чому дорівнює відстань по шосе між пунктами \(A\) i \(B\) (у км)?

3На скільки кілометрів більше проїхав перший велосипедист, ніж другий, за час від початку руху до моменту зустрічі?

4За скільки годин перший велосипедист подолає відстань по шосе від точки \(C\) до пункту \(B\)?

Відповідь

А\((x+y)t\)

Б\((x-y)t\)

В\(\dfrac{yt}{x}\)

Г\(\dfrac{(x-y)t}{y}\)

Д\(x+y\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв’язування текстових задач.

1. За \(1\) годину велосипедисти пройдуть \((x + y) \cdot 1 = x + y\) км. На \((x + y)\) зменшилась відстань по шосе між велосипедистами. Отже, 1 – Д.

2. Через \(t\) годин велосипедисти зустрілись. Отже, відстань між пунктами \(A\) і \(B\) \((x + y)t.\) Отже, 2 – А.

3. За умовою \(x \gt y.\) За \(1\) годину перший велосипедист проїхав більше ніж другий на \((x - y)\) км. За \(t\) години різниця відстаней, які проїхали велосипедисти, становить: \((x - y)t\). Отже, 3 – Б.

4. Відстань \(CB = yt\) км. Час, за який перший подолає відстань \(CB\): \((yt/x)\) год. Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Д, 2 – А, 3 – Б, 4 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5335

Завдання 55 з 2199

Установіть відповідність між твердженням (1–4) та функцією (А – Д), для якої це твердження є правильним.

Твердження

1графік функції не перетинає жодну з осей координат

2областю значень функції є проміжок \((0; +\infty)\)

3функція спадає на всій області визначення

4на відрізку \([-1{,}5; 1{,}5]\) функція має два нулі

Функція

А\(y=-x+2\)

Б\(y=x^2-2\)

В\(y=-\dfrac 1x\)

Г\(y=3^x\)

Д\(y=\cos x\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.

1. Графік функції не перетинає жодну з осей координат.

Отже, 1 – В.

2. Областю значення функції є проміжок \((0; +\infty).\)

Отже, 2 – Г.

3. Функція спадає на всій області визначення.

Отже, 3 – А.

4. На відрізку \([-1{,}5; 1{,}5]\) функція має два нулі.

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – A, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5336

Завдання 56 з 2199

У прямокутній системі координат на площині дано вектори \(\overrightarrow{a}\ (3; 4)\) i \(\overrightarrow{b}\ (-2; 2).\) До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина вектора \(\overrightarrow{a}\)

2Сумою векторів \(\overrightarrow{a}\) i \(\overrightarrow{c}\ (-3; k)\) є нульовий вектор, якщо \(k\)

3Вектори \(\overrightarrow{b}\) i \(\overrightarrow{d}\ (-4; m)\) колінеарні, якщо \(m\)

4Скалярний добуток векторів \(\overrightarrow{a}\) i \(\overrightarrow{b}\)

Закінчення речення

Адорівнює \(7.\)

Бдорівнює \(2.\)

Вдорівнює \(-4.\)

Гдорівнює \(5.\)

Ддорівнює \(4.\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Це завдання перевіряє знання поняття вектора, довжини вектора, колінеарних векторів, рівних векторів, координати вектора, скалярного добутку векторів та його властивостей.

1. Довжина вектора \(\overrightarrow{a}{:}\)

\begin{gather*} \overrightarrow{a} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. \end{gather*}

Отже, 1 – Г.

\begin{gather*} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{(3 + (-3);\ 4 + k)} = \overrightarrow{(0;\ 4 + k)} = \overrightarrow{(0;\ 0)} \end{gather*}

рівні вектори мають рівні координати: \(4 + k = 0\), \(k = -4.\) Отже, 2 – В.

3. Вектори \(\overrightarrow{b}\) і \(\overrightarrow{d}\) колінеарні \(\overrightarrow{b}(-2;\ 2)\), \(\overrightarrow{d}(-4;\ m).\) Отже, \begin{gather*} \frac{-2}{-4} = \frac{2}{m},\\[6pt] m = 4. \end{gather*} Отже, 3 – Д.

4. Скалярний добуток векторів:

\begin{gather*} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 2 = -6 + 8 = 2. \end{gather*}

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – B, 3 – Д, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5337

Завдання 57 з 2199

Установіть відповідність між тілом обертання (1–4) та формулою (А – Д) для обчислення його об'єму \(V.\)

А\(V=\dfrac{1}{3}\pi a^3\)

Б\(V=\dfrac{9}{16}\pi a^3\)

В\(V=\dfrac{2}{3}\pi a^3\)

Г\(V=\pi a^3\)

Д\(V=2\pi a^3\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла і поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площ поверхонь, об'ємів многогранників і тіл обертання.

1. Квадрат зі стороною \(a\) обертається навколо прямої. Отримаємо циліндр з радіусом основи \(a\) та висотою \(a.\)

\begin{gather*} V = \pi R^2H = \pi a^2 \cdot a = \pi a^3. \end{gather*}

Отже, 1 – Г.

2. Прямокутний рівнобедрений трикутник з катетом \(a\) обертається навколо прямої. Отримаємо конус з радіусом основи \(a\) та висотою \(a.\)

\begin{gather*} V = \frac{1}{3}\pi R^2H = \frac{1}{3}\pi a^3. \end{gather*}

Отже, 2 – А.

3. Отримаємо циліндр, в якому вирізано конус з радіусом основи \(a\), висотою \(a.\)

\begin{gather*} V_\text{ф} = V_\text{ц} - V_\text{к},\\[7pt] V_\text{ц} = \pi R^2H = \pi a^2 \cdot a = \pi a^3,\\[6pt] V_\text{к} = \frac{1}{3}\pi R^2H = \frac{1}{3}\pi a^3,\\[6pt] V_\text{ф} = \pi a^3 - \frac{1}{3}\pi a^3 = \frac{2}{3}\pi a^3. \end{gather*}

Отже, 3 – В.

4. \(OA = \dfrac{3}{4}a\)

Отримаємо кулю з радіусом \(OA.\)

\begin{gather*} V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi\cdot \left(\frac{3}{4}a\right)^3 = \pi\cdot \frac{4 \cdot 3^3}{3 \cdot 4^3}a^3= \frac{9}{16}\pi a^3. \end{gather*}

Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – A, 3 – B, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5338

Завдання 58 з 2199

У магазині молодіжного одягу діє акція: при покупці будь-яких двох однакових футболок за одну з них платять на \(40\ \%\) менше, ніж за іншу. За дві однакові футболки, придбані в цьому магазині під час акції, Микола заплатив \(200\) гривень. Скільки гривень заплатить Микола, якщо він купить лише одну таку футболку?

Впишіть відповідь:

125

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції.

Це завдання перевіряє знання відсотків, уміння розв’язувати основні задачі на відсотки.

Нехай одна футболка коштує \(x\) грн. Тоді друга футболка зі знижкою \(40\,\%\) коштує \(0{,}6x\) грн. За дві футболки Микола заплатив \(200\) грн. Складемо рівняння:

\begin{gather*} x + 0{,}6x = 200,\\[7pt] 1{,}6x = 200,\\[7pt] x = 200 : 1{,}6,\\[7pt] x = 125. \end{gather*}

Отже, одна футболка коштує \(125\) грн.

Відповідь: \(125.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5339

Завдання 59 з 2199

Розв'яжіть рівняння \(3^x\cdot 4^x=(12^{x+1})^5\).

Впишіть відповідь:

-1.25

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє знання методів розв’язування показникових рівнянь.

Використаємо властивості степенів:

\begin{gather*} (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\ \text{та}\ (a^n)^m = a^{nm},\\[7pt] 3^x \cdot 4^x = (12^{x+1})^{5},\\[7pt] (3 \cdot 4)^x = 12^{5x+5},\\[7pt] 12^x = 12^{5x+5},\\[7pt] x = 5x + 5,\\[7pt] 4x = -5,\\[7pt] x = -5 : 4,\\[7pt] x = -1{,}25. \end{gather*}

Відповідь: \(-1{,}25.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5340

Завдання 60 з 2199

Знайдіть значення виразу \(|y-2x|\), якщо \(4x^2-4xy+y^2=\dfrac 94.\)

Впишіть відповідь:

1.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє знання формул скороченого множення, модуля дійсного числа та його властивостей.

\begin{gather*} 4x^2 - 4xy + y^2 = \frac{9}{4},\\[6pt] (2x - y)^2 = \frac{9}{4},\\[6pt] |2x - y| = \frac{3}{2} = 1{,}5,\\[6pt] |2x - y| = |y - 2x|. \end{gather*}

Отже, \(|y - 2x| = 1{,}5.\)

Відповідь: \(1{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5341

Завдання 61 з 2199

Знайдіть найбільше значення функції \(y=\dfrac{(1-2\cos x)^4}{2}.\)

Впишіть відповідь:

40.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості.

Це завдання перевіряє знання означення найбільшого і найменшого значень функції, вміння застосовувати похідну до дослідження функції.

Найбільше значення функції знайдемо за допомогою похідної функції (складеної):

\begin{gather*} y = \frac{(1 - 2\cos x)^4}{2},\\[6pt] y = \frac{1}{2}(1 - 2\cos x)^4,\\[6pt] y' = \frac{1}{2}((1 - 2\cos x)^4)' = \frac{1}{2} \cdot 4(1 - 2\cos x)^3 \cdot (1 - 2\cos x)' =\\[6pt] = 2(1 - 2\cos x)^3 \cdot (2\sin x) = 4\sin x \cdot (1 - 2\cos x)^3. \end{gather*}

Знаходимо критичні точки: \(y' = 0.\)

\begin{gather*} 4\sin x \cdot (1 - 2\cos x)^3 = 0,\\[7pt] \left[\begin{array}{l} \sin x = 0, \\ 1 - 2\cos x = 0, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x = \pi n,\ \ n \in Z \\ \cos x = \dfrac{1}{2}, \end{array}\right.\\[7pt] \left[\begin{array}{l} x = \pi n,\ \ n \in Z \\ x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ \ k \in Z. \end{array}\right. \end{gather*}

На проміжку довжиною \(2\pi\) знайдемо знаки похідної:

\(x = 0;\ \ \pi\) – точка максимуму.

\begin{gather*} y(0) = \frac{(1 - 2\cos 0)^4}{2} = \frac{(1 - 2 \cdot 1)^4}{2} = \frac{1}{2},\\[6pt] y(\pi) = \frac{(1 - 2\cos \pi)^4}{2} = \frac{(1 - 2 \cdot (-1))^4}{2} = \frac{(1 + 2)^4}{2} = \frac{81}{2} = 40{,}5. \end{gather*}

Найбільше значення функції \(y = 40{,}5.\)

Відповідь: \(40{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5342

Завдання 62 з 2199

У прямокутний трикутник \(ABC\) вписано коло, яке дотикається катетів \(AC\) та \(BC\) у точках \(K\) i \(M\) відповідно. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника \(ABC\) (у см), якщо \(AK=4{,}5\) см, \(MB=6\) см.

Впишіть відповідь:

5.25

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Геометричні величини та їх вимірювання.

Це завдання перевіряє знання про коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник, дотичних до кола та їхніх властивостей.

\(\Delta ABC\) – прямокутний, \(\angle C = 90^\circ.\) \(AK = 4{,}5\) см, \(MB = 6\) см.
Точка \(O\) – центр вписаного кола. \(OK\), \(OM\), \(OE\) – радіуси вписаного кола. За властивістю радіуса кола, проведеного в точку дотику \(OK\!\perp\!AC\), \(OE\!\perp\!AB\), \(OM\!\perp\!CB.\)
\(KOMC\) – квадрат. За властивістю дотичних до кола \begin{gather*} AK = AE = 4{,}5\ \text{см},\\[7pt] MB = BE = 6\ \text{см}. \end{gather*} Отже,

\begin{gather*} AB = AE + EB = 4{,}5 + 6 = 10{,}5\ \text{см}. \end{gather*}

Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи:

\begin{gather*} R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 10{,}5 = 5{,}25\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: \(5{,}25.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5343

Завдання 63 з 2199

Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції \(y=\dfrac{22}{3}-(x+1)^2\) і прямими \(y=\dfrac x3\), \(x=-1\) та \(x=1.\)

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ криволінійних трапецій.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Ляйбніца для обчислення визначеного інтеграла, обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла.

Площа фігури, обмеженої лініями

\begin{gather*} y = -(x + 1)^2 + \frac{22}{3},\\[6pt] y = \frac{1}{3}x,\\[6pt] x = -1,\\[7pt] x = 1. \end{gather*}

Побудуємо графіки параболу та пряму:

\(y = x^2\) перетворимо \(y{:}\) \(y = -(x + 1)^2 + \dfrac{22}{3}\) за допомогою елементарних перетворень: перенесемо вліво на \(1\) одиницю вздовж осі \(Ox\), симетрично відобразимо відносно осі \(Ox\) та піднімемо вгору на \(\dfrac{22}{3}\) одиниці.

За формулою Ньютона – Ляйбніца

\begin{gather*} S_\text{ф} = \mathop{\int}\limits_{-1}^{1}\left(\frac{22}{3} - (x + 1)^2 - \frac{x}{3}\right)\ dx = \mathop{\int}\limits_{-1}^{1}\left(\frac{22}{3} - x^2 - 2x - 1 - \frac{x}{3}\right)\ dx =\\[6pt] = \mathop{\int}\limits_{-1}^{1}\left(\frac{19}{3} - x^2 - \frac{7}{3}x\right)\ dx = \left(\frac{19}{3}x - \frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{6}\right)\Big|_{-1}^{1} =\\[6pt] = \left(\frac{19}{3} - \frac{1}{3} - \frac{7}{6}\right) - \left(-\frac{19}{3} + \frac{1}{3} - \frac{7}{6}\right) = 12\ \text{кв.од.} \end{gather*}

Відповідь: \(12.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5344

Завдання 64 з 2199

У фестивалі беруть участь \(25\) гуртів, серед яких є по одному гурту з України і Чехії. Порядок виступу гуртів визначається жеребкуванням, за яким кожен із гуртів має однакові шанси отримати будь-який порядковий номер від \(1\) до \(25.\) Знайдіть імовірність того, що на цьому фестивалі гурт з України виступатиме першим, а порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним.

Впишіть відповідь:

0.02

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє знання класичного означення ймовірності події, уміння обчислювати ймовірність випадкових подій.

У фестивалі беруть участь \(25\) гуртів. Гурт з України може бути першим з імовірністю \(\dfrac{1}{25}.\)

Імовірність того, що порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним, дорівнює \(\dfrac{12}{24}\) (парних номерів \(12\) з \(24\) можливих).

За правилом добутку ймовірностей, ця подія \((A)\) відбудеться з імовірністю

\begin{gather*} P(A) = \frac{1}{25} \cdot \frac{12}{24} = \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{50} = 0{,}02. \end{gather*}

Відповідь: \(0{,}02.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5345

Завдання 65 з 2199

Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює \(120^\circ.\) Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом \(30^\circ.\) Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см\(^2\)), якщо її висота дорівнює \(4\) см.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання формули для обчислення площ поверхонь, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

Нехай \(SABCD\) – піраміда, \(ABCD\) – ромб, \(\angle B = 120^\circ.\)

\begin{gather*} \left.\begin{array}{l} (SBA)\!\perp\!(ABC),\\ (SBC)\!\perp\!(ABC),\\ (SBC) \cap (SBA) = SB, \end{array}\right| \Rightarrow\ SB\ –\ \text{висота піраміди}=4\ \text{см}. \end{gather*}

Побудуємо \(BK\!\perp\!AD\), \(BM\!\perp\!CD\) (висоти ромба). За теоремою про три перпендикуляри \(SK\!\perp\!AD\), \(SM\!\perp\!CD.\)

\((SKB)\!\perp\!AD \Rightarrow \angle SKB = 30^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного між площинами \((SAD)\) і \((ABC).\)

\((SMB)\!\perp\!CD\ \Rightarrow \angle SMB = 30^\circ\) – лінійний кут відповідного двогранного між площинами \((SDC)\) і \((ABC).\)

У \(\Delta SBK\) \((\angle B = 90^\circ)\), \(\angle K = 30^\circ\),

\begin{gather*} SB = 4\ \text{см},\\[7pt] KB = SB\mathrm{ctg}\ \angle K = 4\mathrm{ctg}\ 30^\circ = 4\sqrt{3}\ \text{см},\\[6pt] SK = \frac{SB}{\sin K} = \frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{4}{0{,}5} = 8\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta ABK\) \((\angle K = 90^\circ)\), \(\angle A = 60^\circ\) (за властивістю кутів ромба \(\angle A + \angle B = 180^\circ\))

\begin{gather*} AB = \frac{BK}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 8\ \text{см}. \end{gather*}

\(\Delta ASD = \Delta CSD\) (за трьома сторонами: \(AD = DC\) – сторони ромба, \(SD\) – спільна, \(SA = SC\) як рівні похилі).

\begin{gather*} S_{ASD} = S_{CSD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32\ \text{см}^2. \end{gather*}

\(\Delta SBA = \Delta SBC\) (за трьома сторонами),

\begin{gather*} S_{SBA} = S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16\ \text{см}^2,\\[6pt] S_{бічна} = 2(S_{ABS} + S_{ASD}) = 2 \cdot (32 + 16) = 2 \cdot 48 = 96\ \text{см}^2. \end{gather*}

Відповідь: \(96.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 2. Запитання: 5346