ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння з параметрами, а також досліджувати їхні властивості за допомогою теореми Вієта.

Щоб корені існували, дискримінант \((D)\) має бути невід’ємним:

Оскільки \((3a-1)^2\ge 0\) для будь-якого значення \(a\), то корені існують за будь-якого \(a.\)

Обидва корені додатні, якщо одночасно виконано дві умови: їхня сума та їхній добуток більші за нуль.

Для зведеного квадратного рівняння \(x^2+px+q=0\) за теоремою Вієта сума коренів дорівнює \(x_1+x_2=-p\), а добуток \(x_1\cdot x_2=q.\)

У цьому рівнянні:

1) аналізування суми коренів:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2\gt 0,\\ x_1+x_2=9-a; \end{array}\right.\\[7pt] 9-a\gt 0;\\[7pt] 9\gt a;\\[7pt] a\lt 9; \end{gather*}

2) аналізування добутку коренів:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x_1\cdot x_2\gt 0,\\ x_1\cdot x_2=20-3a-2a^2; \end{array}\right.\\[7pt] 20-3a-2a^2\gt 0. \end{gather*}

Помножмо на \(-1\) (змінивши знак нерівності):

\begin{gather*} 2a^2+3a-20\lt 0;\\[7pt] 2a^2+3a-20=0;\\[7pt] D=3^2-4\cdot 2\cdot (-20)=9+160=169;\\[7pt] D=\sqrt{169}=13;\\[6pt] a_1=\frac{-3-13}{2\cdot 2}=\frac{-16}{4}=-4;\\[6pt] a_2=\frac{-3+13}{2\cdot 2}=\frac{10}{4}=2{,}5. \end{gather*}

Отже, \(a\in (-4; 2{,}5).\)

Визначмо перетин отриманих умов:
1) \(a\lt 9;\)
2) \(a\in (-4; 2{,}5).\)

Спільний розв’язок – проміжок \(a\in (-4; 2{,}5).\)

Випишімо всі цілі числа, що входять у цей проміжок:

\begin{gather*} \{-3; -2; -1; 0; 1; 2\}. \end{gather*}

Усього таких значень шість.

Відповідь: \(6.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Завдання перевіряє знання формул для обчислення об'єму конуса.

Осьовий переріз конуса – рівнобедрений трикутник \(ABC.\) Оскільки за умовою він прямокутний \((\angle A=90^\circ){:}\)
– гіпотенуза збігається з діаметром основи конуса: \(d=12.\)
– радіус основи \((R){:}\ R=\dfrac d2=\dfrac{12}{2}=6.\)

У прямокутному рівнобедреному трикутнику висота \(H\), проведена до гіпотенузи, є медіаною. За властивістю прямокутного трикутника, така медіана дорівнює половині гіпотенузи:

Важливо: Якщо осьовий переріз конуса – прямокутний трикутник, то його висота завжди дорівнює радіусу основи \((H=R).\)

Об'єм конуса:

\begin{gather*} V=\frac 13\pi R^2H. \end{gather*}

Підставмо значення \(R=6\) та \(H=6{:}\)

Відповідь: \(72.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики.

Завдання перевіряє знання визначення комбінації, уміння розв’язувати комбінаторні задачі.

Вибір двох різних сендвічів.

Оскільки порядок вибору двох різних сендвічів не має значення, скористаймося формулою комбінацій вибору \(k\) варіантів з \(n\) можливих:

Вибір салату та напою.

Вибираємо по одній страві:

• Салат: \(8\) варіантів.
• Напій: \(6\) варіантів.

Загальна кількість варіантів.

За правилом добутку (оскільки ми вибираємо сендвічі, салат і напій одночасно) перемножмо результати:

Правило добутку: якщо об’єкт \(A\) можна вибрати \(n\) способами, а об’єкт \(B\) – \(m\) способами, то пару \(A\) і \(B\) можна вибрати \(n\cdot m\) способами.

Відповідь: \(2160.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Первісна.

Завдання перевіряє знання правил знаходження первісної, визначеного інтеграла.

За формулою Ньютона – Лейбніца:

де \(f(x)\) – це неперервна функція на проміжку \([a; b]\), а \(F(x)\) – її первісна.

Відповідь: \(-3.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Прямокутник.Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати означення та властивості прямокутних трикутників до розв'язування планіметричних задач.

Оскільки прямокутники рівні, їхні відповідні сторони однакові. З рисунка видно, що

1. \(\sin \angle MDL.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta DML\ (\angle M=90^\circ){:}\)

За теоремою Піфагора:

Отже, правильна відповідь – A.
 

2. \(\mathrm{tg}\ \angle ABD.\)

Розгляньмо прямокутний трикутник \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ){:}\)

Отже, правильна відповідь – Б.
 

3. \(\cos \angle BDL.\)

Оскільки прямокутники рівні, то \(\Delta ABD=\Delta LDM.\)

У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути. Отже, \(\angle ADB=\angle DLM\) та \(\angle ABD=\angle LDM.\)

У прямокутному \(\Delta ABD{:}\)

Замінивши \(\angle ABD\) на рівний йому \(\angle LDM\), маємо:

\begin{gather*} \angle ADB+\angle LDM=90^\circ. \end{gather*}

Оскільки \(\angle ADM=180^\circ\) – розгорнутий:

Отже, правильна відповідь – Г.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком та формулою.

A Функція \(y=-\cos x\).

Область значень цією функції \(E(y)=[-1; 1].\) Точка екстремуму є, але графік проходить через точку \((0; -1).\)

Б Функція \(y=4^x\).

Графік функції проходить через точку \((0; 1).\) Якщо \(x=0\), \(y=4^0=1.\)

Отже, 2 – Б.

B Функція \(y=2\sqrt{x+1}.\)

За властивістю арифметичного квадратного кореня \(\sqrt{a}\ge 0.\)

Дізнаймося область визначення:

\begin{gather*} x+1\ge 0;\\[7pt] x\ge -1. \end{gather*}

Оскільки область визначення \(x\in [-1; +\infty)\), то значення \(y\) змінюється від \(2\sqrt{-1+1}=0\) до \(+\infty.\)

Областю значень функції є проміжок \(E(y)=[0; +\infty).\)

Отже, 1 – B.

Г Функція \(y=x^2-4x+3.\)

Це квадратична функція (парабола, гілки вгору). Точка екстремуму (тут – мінімуму) – вершина параболи.

Визначмо абсцису вершини \(x_0\) за формулою:

\begin{gather*} x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2. \end{gather*}

Оскільки число \(2\) належить проміжку \([1; 3]\), умова виконується. Функція має точку локального екстремуму на проміжку \([1; 3].\)

Отже, 3 – Г.

Д Функція \(y=x\).

Це лінійна функція (пряма), вона не має точок екстремуму та проходить через початок координат \((0; 0).\)

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Дійсні числа та дії з ними.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних, логарифмічних і степеневих виразів.

1. \(\sqrt{4a}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{a}=2\sqrt{a}.\)

Використали властивість кореня \(n\text{-го}\) степеня:

\begin{gather*} \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},\ \text{де}\ a\ge 0,\ b\ge 0. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – B.
 

2. \begin{gather*} 2^{\textstyle \log_4 a}=2^{\textstyle \log_{2^2} a}=2^{\textstyle \frac 12\cdot \log_2 a}=2^{\textstyle \log_2 a^{\textstyle \frac 12}}=a^{\textstyle \frac 12}=\sqrt{a}. \end{gather*}

Використали властивості логарифма:

\begin{gather*} a\gt 0,\ a\ne 1,\ b\gt 0,\ k\ne 0;\\[7pt] a^{\textstyle \log_a b}=b;\\[6pt] \log_{\textstyle a^k} b=\frac 1k\cdot \log_a b;\\[6pt] \log_a b^k=k\log_a b. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Г.
 

3. \(\left(\dfrac 2a\right)^{-1}=\dfrac a2.\)

Використали властивість степеня із цілим показником:

\begin{gather*} \left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n,\ a\ne 0,\ b\ne 0,\ n\in N. \end{gather*}

Отже, правильна відповідь – Д.

Відповідь: 1 – B, 2 – Г, 3 – Д.

ТЕМА: Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей паралелограма, уміння визначати площу паралелограма.

Оскільки в паралелограмі протилежні сторони рівні, то \(AD=BC.\)

Отже, \(AD=14\) см.

При перетині паралельних прямих \(BC\) і \(AD\) січною \(AK\) внутрішні різносторонні кути рівні: \(\angle KAD=\angle BKA.\) Оскільки \(AK\) – бісектриса, то \(\angle BAK=\angle KAD.\) Звідси \(\angle BAK=\angle BKA.\)

У трикутнику \(ABK\) два кути рівні, отже, він рівнобедрений з основою \(AK.\) Тому бічні сторони рівні: \(AB=BK=8\) см.

Площу паралелограма визначмо за формулою:

Відповідь: A.

ТЕМА: Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Розв'яжімо систему рівнянь методом підстановки:

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 2x=\dfrac y5,\\ 4x-y=3. \end{array}\right. \end{gather*}

Помножмо перше рівняння на \(5{:}\)

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} 10x=y,\\ 4x-y=3. \end{array}\right. \end{gather*}

Підставмо \(y=10x\) в друге рівняння:

\begin{gather*} 4x-10x=3;\\[7pt] -6x=3;\\[7pt] x=3:(-6);\\[7pt] x=-0{,}5. \end{gather*}

Обчислімо \(y{:}\)

\begin{gather*} y=10\cdot (-0{,}5)=-5. \end{gather*}

Отже, розв'язок системи – пара чисел \((-0{,}5; -5){:}\)

\begin{gather*} x_0+y_0=-0{,}5+(-5)=-5{,}5. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Трикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трикутників, зокрема прямокутних і рівнобедрених.

I. Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює \(180^\circ.\) Якщо припустити, що в трикутнику лише один гострий кут (менший за \(90^\circ\)), то два інші кути мають бути прямими або тупими (дорівнювати \(90^\circ\) або бути більшими за \(90^\circ\)). Наприклад, якщо два кути прямі, то \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\), що не залишає місця для третього кута. У будь-якому трикутнику щонайменш два гострі кути.

Отже, твердження неправильне.
 

II. За властивістю рівнобедреного трикутника висота, медіана та бісектриса, проведені до основи, збігаються. Серединний перпендикуляр за означенням проходить через середину сторони \(AC\) як медіана та перпендикулярний до неї як висота. Отже, ця лінія обов'язково проходить через протилежну вершину \(B.\)

Отже, твердження правильне.
 

III. Сума всіх кутів будь-якого трикутника завжди \(180^\circ.\) Оскільки в прямокутному трикутнику один кут за означенням дорівнює \(90^\circ\), обчислімо суму двох інших (гострих) кутів: \begin{gather*} 180^\circ-90^\circ=90^\circ. \end{gather*}

Сума гострих кутів прямокутного трикутника завжди дорівнює \(90^\circ.\)

Отже, твердження правильне.

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Рівняння \(\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) має загальний розв’язок:

\begin{gather*} x=\pm\mathrm{arccos}\ \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi k,\ \text{де}\ k\in Z;\\[6pt] x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k, \ \text{де}\ k\in Z. \end{gather*}

Розгляньмо значення \(k\), за яких \(x\) потрапляє в проміжок \([0; \pi].\)

Якщо \(k=0\), то

\(x_1=-\dfrac{\pi}{4}.\) Число \(-\dfrac{\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

\(x_2=\dfrac{\pi}{4}.\) Число \(\dfrac{\pi}{4}\) належить проміжку \([0; \pi].\)

Якщо \(k=1\), то

\(x_1=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{7\pi}{4}.\) Число \(\dfrac{7\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

\(x_2=\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\frac{9\pi}{4}.\) Число \(\dfrac{9\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

Якщо \(k=-1\), то

\(x_1=-\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{9\pi}{4}.\) Число \(-\dfrac{9\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

\(x_2=\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\frac{7\pi}{4}.\) Число \(-\dfrac{7\pi}{4}\) не належить проміжку \([0; \pi].\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє знання прямокутної системи координат у просторі, координати точки.

Точка, яка лежить у площині \(yz\), має нульову координату \(x.\) Тобто з-поміж наведених точок лише одна \((0; 2; -5)\) лежить у площині \(yz.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє вміння розкладати многочлен на множники, виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

У виразі \(a^2+ab\) винесімо спільний множник \((a)\) за дужки:

Відповідь: Г.