Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 355

Математика. Всі запитання починаючи з 355

356357358359360361362363364365366367368369370 ▶

Завдання 356 з 2199

Висота конуса вдвічі менша за діаметр його основи. Знайдіть градусну міру кута між твірною конуса та площиною його основи.

А\(15^\circ\)

Б\(30^\circ\)

В\(45^\circ\)

Г\(60^\circ\)

Д\(75^\circ\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники, тіла та поверхні обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей конуса.

\(AC\), \(AB\) – твірна, \(AO\) – висота конуса, \(OB\) – радіус основи.

\begin{gather*} AO = \frac 12BC = OC. \end{gather*}

\(\Delta AOC\) – рівнобедрений прямокутний.

Кут між \(AC\) та площиною основи – \(\angle ACO = 45^\circ\) (кут між похилою \(AC\) та проекцією \(CO\)).

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6367

Завдання 357 з 2199

Обчисліть \(\operatorname{\arccos}\! \left(-\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)\).

А\(-\dfrac{\pi}{3}\)

Б\(-\dfrac{\pi}{6}\)

В\(\dfrac{\pi}{6}\)

Г\(\dfrac{2\pi}{3}\)

Д\(\dfrac{5\pi}{6}\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} \mathrm{arccos}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \mathrm{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}. \end{gather*}

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6368

Завдання 358 з 2199

Господарю потрібно зорати город, що має форму прямокутної трапеції. Розміри городу вказано на рисунку. Оранка трактором ділянки площею \(100\) м\(^2\) коштує \(8\) грн. Скільки грошей (у грн) повинен заплатити господар трактористу за оранку всього городу?

А\(144\) грн

Б\(450\) грн

В\(576\) грн

Г\(288\) грн

Д\(360\) грн

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей трапеції, формули площі трапеції.

\(AB = 120\) м, \(BC = 27\) м, \(AD = 33\) м.

Знайдемо площу трапеції за формулою:

\begin{gather*} S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CK;\\[6pt] CK = AB = 120\ \text{м};\\[6pt] S = \frac{27 + 33}{2} \cdot 120 = 30 \cdot 120 = 3600\ \text{м}^2. \end{gather*}

Оранка ділянки площею \(100\) м\(^2\) коштує \(8\) грн. Отже, за оранку всього городу господар повинен заплатити:

\begin{gather*} 3600 : 100 \cdot 8 = 36 \cdot 8 = 288\ \text{грн}. \end{gather*}

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6369

Завдання 359 з 2199

На рисунку зображено графіки функцій \(f(x)=x+3\) і \(g(x)=\sqrt{9-x^2}\). Розв’яжіть нерівність \(f(x)\ge g(x)\).

А\(\{-3\}\cup[0;3]\)

Б\((-\infty;-3]\cup[0;+\infty)\)

В\([-3;0]\)

Г\(\{-3\}\cup[0;+\infty)\)

Д\([0;3]\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функцій, заданих графіками.

На рисунку зображено пряму \(f(x) = x + 3\) та півколо \(g(x) = \sqrt{9 - x^2}.\)

Розв'язком нерівності \(f(x) \ge g(x)\) буде значення \(x\), при якому пряма вище півкола та точки їх перетину.

Отже, \(x \in [0; 3] \cup \{-3\}.\)

Відповідь: A.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6370

Завдання 360 з 2199

Установіть відповідність між функціями (1–4) та їхніми графіками (А – Д).

1\(y=\sin x\)

2\(y=-\cos x\)

3\(y=\cos\left(x+\dfrac\pi2\right)\)

4\(y=\cos|x|\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості функції, заданої формулою або графіком, виконувати елементарні перетворення графіків функцій.

1. \(y = \sin x.\) Отже, 1 – Б.

2. \(y = -\cos x\) графік симетричний \(y = \cos x\) відносно осі \(Ox.\) Отже, 2 – Д.

3. \(y = \cos\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\) паралельно перенесений \(y = \cos x\) на \(\dfrac{\pi}{2}\) вліво. Отже, 3 – Г.

4. \(y = \cos|x|\) графік симетричний відносно осі \(Oy.\) Графіки \(y = \cos x\) та \(y = \cos|x|\) збігаються. Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Б, 2 – Д, 3 – Г, 4 – А.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6371

Завдання 361 з 2199

Установіть відповідність між числовими виразами (1–4) та їхніми значеннями (А – Д).

Числовий вираз

1\((\sqrt3+\sqrt2)^2-2\sqrt6\)

2\((\sqrt5-2)(\sqrt5+2)\)

3\((3\sqrt3-\sqrt{12})^2\)

4\(\sqrt2(\sqrt{50}-\sqrt8)\)

Значення виразу

А\(15\)

Б\(6\)

В\(5\)

Г\(3\)

Д\(1\)

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення ірраціональних виразів.

1. \((\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{6} = 3 + 2\sqrt{6} + 2 - 2\sqrt{6} = 5.\) Отже, 1 – B.

2. \((\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1.\) Отже, 2 – Д.

3. \((3\sqrt{3} - \sqrt{12})^2 = (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} + (\sqrt{12})^2 = 9 \cdot 3-6\cdot \sqrt{36}+12=27-36+12=3.\) Отже, 3 – Г.

4. \(\sqrt{2}(\sqrt{50}-\sqrt{8})=\sqrt{100}-\sqrt{16}=10-4=6.\) Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – Г, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6372

Завдання 362 з 2199

На рисунку зображено рівнобедрену трапецію \(ABCD\), у якій \(AD = 8\) см, \(BC = 4\) см, \(AC = 10\) см. Установіть відповідність між проекцією відрізка на пряму (1–4) та довжиною проекції (А – Д).

Проекція відрізка на пряму

1проекція відрізка \(BC\) на пряму \(AD\)

2проекція відрізка \(CD\) на пряму \(AD\)

3проекція відрізка \(AC\) на пряму \(AD\)

4проекція відрізка \(AD\) на пряму \(AC\)

Довжина проекції

А\(2\) см

Б\(4\) см

В\(4{,}8\) см

Г\(5{,}6\) см

Д\(6\) см

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання властивостей трапеції, трикутника.

\(ABCD\) – рівнобедрена трапеція. \(AD = 8\) см, \(BC = 4\) см, \(AC = 10\) см.

1. Проекція \(BC\) на \(AD\) – відрізок \(KM\). \((BK\), \(CM\) – висоти). \(BC = KM = 4\) см. Отже, 1 – Б.

2. Проекція \(CD\) на \(AD\) – відрізок \(MD.\)

\begin{gather*} MD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 2 – А.

3. Проекція \(AC\) на \(AD\) – відрізок \(AM.\)

\begin{gather*} AM = AK + KM = 2 + 4 = 6\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 3 – Д.

4. Проекція \(AD\) на \(AC\) – відрізок \(AO.\) \((DO\!\perp\!AC).\)

\(\Delta ACM\ (\angle M = 90^\circ)\), \(AM = 6\) см, \(AC = 10\) см єгипетський, отже, \(CM = 8\) см.

\begin{gather*} S_{ACD} = \frac 12 \cdot AD \cdot CM = \frac 12 \cdot 8 \cdot 8 = 32\ \text{см}^2;\\[6pt] S_{ACD} = \frac 12 AC \cdot OD = \frac 12 \cdot 10 \cdot OD = 32;\\[6pt] OD = 6{,}4\ \text{см}. \end{gather*}

У \(\Delta AOD\ (\angle O = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора:

\begin{gather*} AD^2 = AO^2 + OD^2;\\[7pt] AO = \sqrt{8^2 - 6{,}4^2} = \sqrt{(8 - 6{,}4)(8 + 6{,}4)} = \sqrt{1{,}6 \cdot 14{,}4} = \\[7pt] =\sqrt{16 \cdot 144 \cdot 0{,}01} = 4 \cdot 12 \cdot 0{,}1 = 4{,}8\ \text{см}. \end{gather*}

Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – Б, 2 – А, 3 – Д, 4 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6373

Завдання 363 з 2199

Знайдіть найбільше значення функції \(y=-x^2+3x-4\).

Якщо функція не має найбільшого значення, то у відповідь запишіть число \(100\).

Впишіть відповідь:

-1.75

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра та початки аналізу. Функції. Дослідження функцій за допомогою похідної.

Це завдання перевіряє вміння знаходити найбільше значення функції за допомогою похідної.

\(y = -x^2 + 3x - 4\) – квадратична функція, графік – парабола з гілками вниз. Отже, найбільше значення функції – у вершині параболи.

\begin{gather*} x_\text{вершини} = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{-2} = 1{,}5;\\[6pt] y_\text{вершини} = -(1{,}5)^2 + 3 \cdot 1{,}5 - 4 = -2{,}25 + 4{,}5 - 4 = -2{,}25 + 0{,}5 = -1{,}75. \end{gather*}

Відповідь: \(-1{,}75.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6374

Завдання 364 з 2199

Скільки літрів \(5\)-відсоткового розчину солі потрібно додати до \(30\) літрів \(12\)-відсоткового розчину солі, щоб одержати \(9\)-відсотковий розчин солі?

Впишіть відповідь:

22.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Рівняння та нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі на відсотки.

Нехай \(5\)-відсоткового розчину потрібно додати \(x\) л.

	\(5\ \%\)	\(12\ \%\)	\(9\ \%\)
\(V,\) л розчину	\(x\)	\(30\)	\(30+x\)
\(V,\) л солі	\(0{,}05x\)	\(0{,}12 \cdot 30 = 3{,}6\)	\(0{,}09(30 + x)\)

Складемо рівняння

\begin{gather*} 0{,}05x + 3{,}6 = 0{,}09(30 + x);\\[7pt] 0{,}05x + 3{,}6 = 2{,}7 + 0{,}09x;\\[7pt] 0{,}04x = 0{,}9;\\[7pt] x = 0{,}9 : 0{,}04;\\[7pt] x = 22{,}5. \end{gather*}

Отже, \(5\)-відсоткового розчину потрібно \(22{,}5\) л.

Відповідь: \(22{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6375

Завдання 365 з 2199

Заступник директора школи складає розклад уроків для \(10\)-го класу. Він запланував на понеділок шість уроків з таких предметів: геометрія, біологія, англійська мова, хімія, фізична культура, географія. Скільки всього існує різних варіантів розкладу уроків на цей день, якщо урок фізичної культури має бути останнім у розкладі?

Впишіть відповідь:

120

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

У розкладі має бути шість уроків, але фізична культура – остання.

Отже, \(5\) предметів можуть переставлятись між собою. Використаємо формулу перестановок: \(P_n = n!\)

\begin{gather*} P_5 = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120. \end{gather*}

Відповідь: \(120.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6376

Завдання 366 з 2199

Знайдіть значення виразу \(\operatorname{tg}^2\alpha+\operatorname{ctg}^2\alpha\), якщо \(\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{ctg}\alpha=4\).

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

\begin{gather*} \mathrm{tg}^2 \alpha + \mathrm{ctg}^2 \alpha = \mathrm{tg}^2 \alpha - 2\mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg} \alpha + \mathrm{ctg}^2 \alpha + 2\mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg} \alpha =\\[7pt] =(\mathrm{tg} \alpha - \mathrm{ctg} \alpha)^2 + 2\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg} \alpha = 4^2 + 2 \cdot 1 = 16 + 2 = 18.\\[7pt] \mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha = 1.\\[7pt] \mathrm{tg}\alpha - \mathrm{ctg}\alpha = 4\ \text{(за умовою)}. \end{gather*}

Відповідь: \(18.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6377

Завдання 367 з 2199

Розв’яжіть нерівність \(3\cdot9^x-2\cdot15^x-5^{2x+1}\gt0\).

Якщо нерівність має цілі розв’язки, то вкажіть найбільший з них. Якщо нерівність має розв’язки, але вказати найбільший цілий розв’язок неможливо, то у відповідь запишіть число \(50\). Якщо нерівність не має розв’язків, то у відповідь запишіть число \(100\).

Впишіть відповідь:

-2

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та системи. Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, нерівності та їх системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові нерівності.

\begin{gather*} 3 \cdot 9^x - 2 \cdot 15^x - 5^{2x+1} \gt 0;\\[7pt] 3 \cdot 9^x - 2 \cdot 15^x - 5^{2x} \cdot 5 \gt 0;\\[7pt] 3 \cdot 3^{2x} - 2 \cdot 15^x - 5 \cdot 5^{2x} \gt 0. \end{gather*}

\(15^x \gt 0\) при будь-якому значенні \(x.\) Поділимо на \(15^x\) нерівність:

\begin{gather*} 3 \cdot \frac{3^{2x}}{3^x \cdot 5^x} - 2 - 5 \cdot \frac{5^{2x}}{3^x \cdot 5^x} \gt 0;\\[6pt] 3 \cdot \left(\frac 35\right)^x - 2 - 5 \cdot \left(\frac 53\right)^x \gt 0. \end{gather*}

Нехай \(\left(\dfrac 35\right)^x = t \gt 0.\)

\begin{gather*} 3t - 2 - \frac 5t \gt 0\ \Big | \cdot t;\\[6pt] 3t^2 - 2t - 5 \gt 0;\\[7pt] 3t^2 - 2t - 5 = 0\\[7pt] D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 64;\\[6pt] t_1 = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac 53;\\[6pt] t_2 = \frac{2 - 8}{6} = -1\ (\text{не задовольняє умові}\ t\gt 0) \end{gather*}

Отже, \(t\gt \dfrac 53.\)

Повертаємось до заміни

\begin{gather*} \left(\frac 35\right)^x\gt \frac 53;\\[6pt] \left(\frac 35\right)^x\gt \left(\frac 35\right)^{-1}. \end{gather*}

Функція \(y=\left(\dfrac 35\right)^x\) – спадна, тому \(x\lt -1.\)

Найбільший цілий розв'язок \(x = -2.\)

Відповідь: \(-2.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6378

Завдання 368 з 2199

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник із кутом \(15^\circ\). Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом \(60^\circ\). Радіус кулі, описаної навколо піраміди, дорівнює \(6\) см. Обчисліть об’єм піраміди (у см\(^3\)).

Впишіть відповідь:

40.5

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання властивостей піраміди та кулі, формули об’єму піраміди, вміння застосовувати властивості геометричних фігур до розв’язування стереометричних задач.

Дано: піраміда \(DABC\), в основі якої лежить \(\Delta ABC\ (\angle C = 90^\circ)\), \(\angle A = 15^\circ.\)

Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом \(60^\circ\), отже, основа висоти (точка \(O\)) – центр описаного навколо \(\Delta ABC\) кола. У прямокутному трикутнику – це середина гіпотенузи \(AB\).

Куля описана навколо піраміди – центр кулі точка \(O_1\) належить висоті \(DO.\)

\begin{gather*} DO_1 = O_1A = O_1B = O_1C = 6\ \text{см}. \end{gather*}

\(DB\), \(DC\), \(DA\) – похилі; \(OB\), \(OC\), \(OA\) – їхні проекції. Отже,

\begin{gather*} \angle(DB, (ABC)) = \angle(DC, (ABC)) = \angle(DA, (ABC)) = 60^\circ.\\[7pt] \angle DBO = \angle DCO = \angle DAO = 60^\circ. \end{gather*}

У \(\Delta ADB\ (\angle A = \angle B = 60^\circ).\) Отже, \(\angle D = 60^\circ.\) \(\Delta ADB\) – рівносторонній, точка \(O_1\) – центр описаного кола (\(O_1D = O_1B = O_1A = 6\) см). \(AB = O_1D\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) см.

У \(\Delta ABC\ (\angle C = 90^\circ)\), \(AC = AB\cos 15^\circ = 6\sqrt{3}\cos 15^\circ.\)

\begin{gather*} S_{ABC} = \frac 12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 15^\circ = \frac 12 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3}\cos 15^\circ\sin 15^\circ =\\[6pt] =3 \cdot 9 \cdot 2\sin 15^\circ\cos 15^\circ= 27\sin 30^\circ = \frac{27}{2}\ \text{см}^2;\\[6pt] DO = \frac 32 \cdot DO_1 = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9\ \text{см};\\[6pt] \frac{DO_1}{O_1O} = \frac 21;\\[6pt] V_\text{піраміди} = \frac 13 S_{ABC} \cdot DO = \frac 13 \cdot \frac{27}{2} \cdot 9 = \frac{81}{2} = 40{,}5\ \text{см}^3. \end{gather*}

Відповідь: \(40{,}5.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6379

Завдання 369 з 2199

Укажіть найменше значення \(a\), при якому рівняння \(\dfrac{x^2-x+a}{2x+3}=0\) має рівно один корінь.

Впишіть відповідь:

-3.75

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати раціональні рівняння з параметрами.

\begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} x^2-x+a=0,\\ 2x+3\ne 0, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x^2-x+a=0,\\ x\ne -1{,}5. \end{array}\right. \end{gather*}

Рівняння буде мати один корінь у двох випадках:

1) рівняння \(x^2-x+a=0\) має один корінь \((D=0)\) та він не дорівнює \(-1{,}5.\)

2) рівняння \(x^2-x+a=0\) має два корені \((D\gt 0)\), але один з коренів дорівнює \(-1{,}5.\)

Розглянемо кожний випадок: \begin{gather*} \text{1)}\ x^2-x+a=0;\\[7pt] D=1-4a=0;\\[7pt] a=\frac 14;\\[7pt] x=\frac 12. \end{gather*}

Отже, при \(a=\frac 14\) рівняння має один корінь.

\begin{gather*} \text{2)}\ x^2-x+a=0;\\[7pt] D=1-4a\gt 0;\\[6pt] x_1=\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2};\\[6pt] x_2=\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}. \end{gather*}

\(x_1\gt 0\), отже, не може дорівнювати \(-1{,}5.\)

Знайдемо значення \(a\), при якому \(x_2=-1{,}5.\)

\begin{gather*} \frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}=-\frac 32;\\[6pt] 1-\sqrt{1-4a}=-3;\\[6pt] \sqrt{1-4a}=4;\\[7pt] 1-4a=16;\\[7pt] -4a=15;\\[6pt] a=-\frac{15}{4};\\[6pt] a=-3{,}75. \end{gather*}

Отже, при \(a=-3{,}75\) рівняння має один корінь.

У відповідь запишем найменше значення \(a.\)

Відповідь: \(-3{,}75.\)

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 128. Запитання: 6380

Завдання 370 з 2199

У саду в окремі ящики зібрали груші та яблука. Кількість ящиків з яблуками відноситься до кількості ящиків з грушами, як \(7:3\). Серед наведених чисел укажіть число, яке може виражати загальну кількість ящиків з яблуками та грушами, зібраними в саду.

А\(37\)

Б\(73\)

В\(75\)

Г\(80\)

Д\(84\)

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє знання ознак подільності.

Кількість ящиків з яблуками відноситься до кількості ящиків з грушами як \(7 : 3.\) Отже, серед наведених чисел умові відповідає число \(80\) (кратне \(7 + 3 = 10\)).

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Тест 129. Запитання: 6381