ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Лінійні, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості та графіки.

Це завдання перевіряє знання елементарних перетворень графіків функцій.

Використаємо елементарні перетворення графіків функцій.

1. \(y = \cos(x + 2).\) Отже, 1 – Г.

2. \(y = \cos x - 2.\) Отже, 2 – Д.

3. \(y = \dfrac 12\cos x.\) Отже, 3 – Б.

4. \(y = \cos(2x).\) Отже, 4 – A.

Відповідь: 1 – Г, 2 – Д, 3 – Б, 4 – A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі.

Це завдання перевіряє знання взаємного розміщення прямих та площин у просторі.

Відповідь: 1 – B, 2 – Д, 3 – Г, 4 – A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Відповідь: \(4.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні, квадратні нерівності.

Розкладаємо на множники
1)

2)

Отримали

\begin{gather*} x \in (-6; -5) \cup (-5; 2). \end{gather*}

Найменше ціле число, що задовольняє нерівність \((-4).\)

Відповідь: \(-4.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Це завдання перевіряє знання формул площ трикутника та прямокутника.

\(ABCD\) – прямокутник, \(AB = 6\) см, \(CL = LD = 3\) см, \(BC = 8\) см, \(BK = KC = 4\) см.

Відповідь: \(18.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідні елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння знаходити похідні елементарних функцій, найменшого значення функції на відрізку.

Найменше значення функції на відрізку знаходимо за допомогою похідної:

Відрізку \([0; 3]\) належить значення \(x = 2.\)

Знаходимо значення функції на кінцях відрізку та у критичній точці \(x = 2.\)

Відповідь: \(-16.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати формулу Ньютона – Лейбніца для знаходження площі криволінійної трапеції.

Зобразимо схематично фігуру.

\(x^3 = 8\), \(x = 2\) – точка перетину графіків. Площу фігури знаходимо за допомогою визначеного інтегралу.

Відповідь: \(12.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв'язувати системи рівнянь графічним методом, рівняння з параметром.

Розв'яжемо рівняння графічно. Розв'язок системи рівнянь – точки перетину графіків.

1) \(x^2+y^2=81\) коло з центром \((0; 0)\) та радіусом \(9.\)

2) \((x+2)^2+y^2=a^2\) коло з центром \((-2; 0)\) та радіусом \(a.\)

Система має єдиний розв'язок за умови внутрішнього або зовнішнього дотику двох кіл.

Найбільше значення параметра \(a\), за якого система має єдиний розв'язок \(a=11.\)

Відповідь: \(11.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати логарифмічні рівняння з модулем.

\(|3\lg x + 1| - |\lg x - 3| = 2.\) ОДЗ: \(x\gt 0.\)

Розкриємо модуль:
1)

2)

Розкриємо модуль на кожному проміжку:

1)

Рівняння має два корені, тому у відповідь запишемо суму коренів:

Відповідь: \(10{,}001.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє знання формули для площі бічної поверхні піраміди, уміння знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі.

\(KABCD\) – правильна піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(AB = 6\) см.

Усі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом \(60^\circ\), отже, основа висоти – центр квадрата (точка перетину діагоналей) точка \(O.\)

Сфера описана навколо піраміди. Центр сфери належить висоті \(KO.\) Нехай точка \(M\) – центр сфери.
\(MA = MB = MC = MD = MK\) – радіуси,
\(BO = AO = OC = OD.\) Це доводить, що центр сфери належить висоті \(KO.\)

Розглянемо \(\Delta BKD.\) \(KB = KD\), \(\angle B = \angle D = 60^\circ.\) Отже, \(\angle K = 60^\circ.\) \(\Delta BKD\) – рівносторонній. Точка \(M\) рівновіддалена від вершин трикутника. Отже, точка \(M\) – центр кола, описаного навколо трикутника.

де \(a\) – сторона трикутника, \(R\) – радіус описаного кола. \(AB = 6\) см.

У \(\Delta ABC\ (\angle B = 90^\circ)\) за теоремою Піфагора

У відповідь запишемо

Відповідь: \(96.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Арифметичні дії.

Це завдання перевіряє вміння виконувати арифметичні дії з буквениими виразами.

Під час виконання завдання важливо правильно розкрити дужки, перед якими стоїть знак «–». Якщо перед дужками стоїть знак «–», то дужки можна прибрати, змінивши знак всіх доданків, що стоять у дужках, на протилежні. Підставимо у вираз \(7-m\) замість \(m\) вираз \(n-1{:}\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графіки елементарних функцій.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати графік функції, заданої формулою.

Функція \(y=\frac{5}{x}\) визначена для всіх дійсних значень аргументу, крім значення \(x=0\) (на \(0\) ділити не можна), на проміжку \((0; +\infty)\) набуває лише додатних значень, а на проміжку \((-\infty; 0)\) – лише від'ємних. Отже, графік шуканої функції розміщений у першій та третій координатних чвертях і не перетинає вісь ординат. Серед наведених на рисунках графіків ці умови виконуються лише для графіка на рисунку Г. Отже, відповідь – Г.

Охарактеризуємо детальніше функцію \(y=\frac{5}{x}\). Ця функція є окремим випадком оберненої пропорційності \(y=\frac{k}{x}\), де \(k\ne 0\), число \(k=5\) – коефіцієнт оберненої пропорційності. Графік оберненої пропорційності називають гіперболою.

Зазначимо, що графік функції \(y=\frac{5}{x}\) можна отримати з графіка функції \(y=\frac{1}{x}\) (див. рисунок) за допомогою його розтягнення в \(5\) разів уздовж осі \(y.\)

Проаналізуємо решту наведених на рисунках ескізів графіків.

А. Зображена на рисунку лінія може бути ескізом графіка показникової функції \(y=5^x\), адже цій функції притаманні такі властивості: вона є зростаючою та \(R\), набуває лише додатних значень, графік проходить через точки \((0; 1)\) та \((1; 5)\) (\(5^0=1\) та \(5^1=5\)).

Б. Є всі підстави вважати, що на рисунку зображено ескіз графіка логарифмічної функції \(y=\log_5 x\), яка визначена лише для додатних значень аргументу, є зростаючою, графік проходить через точки \((1; 0)\) та \((5; 1)\), оскільки \(\log_5 1=0\) та \(\log_5 5=1.\)

В. На рисунку зображено пряму, яка проходить через точки \((0; 0)\) та \((1; 5)\), її рівняння \(y=5x.\)

Д. На рисунку зображено ескіз графіка функції \(y=\frac{5}{|x|}\). Графік цієї функції симетричний відносно осі ординат і збігається з графіком функції \(y=\frac{5}{x}\) на проміжку \((0; +\infty).\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Система координат у просторі. Вектори.

Це завдання перевіряє вміння визначати координати вектора, зображеного на рисунку.

Нехай точки \(A(x_1; y_1; z_1)\) та \(B(x_2; y_2; z_2)\) є відповідно початком та кінцем вектора \(\overrightarrow{AB}.\) Тоді вектор \(\overrightarrow{AB}\) має координати \((x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1).\) З рисунка видно, що вектор \(\overrightarrow{OA}\) лежить на осі аплікат, його початком є точка \(O(0; 0; 0)\), а кінцем – точка \(A(0; 0; 3).\) Отже, вектор \(\overrightarrow{OA}\) має координати \((0-0; 0-0; 3-0)=(0; 0; 3).\)

Зауважимо, що коли точка \(O\) є початком координат, то координати вектора \(\overrightarrow{OA}\) збігаються з координатами точки \(A.\) Отже, правильна відповідь В.

Також важливо пам’ятати, що якщо вектор паралельний одній з осей координат, то у нього відмінна від нуля лише одна координата, наприклад, якщо у просторі вектор \(\overrightarrow{a}\) паралельний осі ординат, то він має координати \((0; y; 0)\), де \(y\ne 0.\)

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Корінь рівняння.

Це завдання перевіряє знання та розуміння означення кореня рівняння.

Число \(a\) є коренем рівняння \(f(x)=g(x)\), якщо при його підстановці у рівняння замість змінної \(x\) отримаємо числову тотожність: \(f(a)=g(a)\), тобто ліва і права частини рівняння набувають однакових значень. Щоб отримати відповідь на запитання завдання, можна розв’язувати окремо кожне з наведених рівнянь, або ж скористатися означенням кореня рівняння. Підставимо число \(2\) у кожне з наведених рівнянь.

А. Дріб \(\frac{a}{b}\) дорівнює нулю лише тоді, коли чисельник \(a=0\) і знаменник \(b\ne 0.\) Чисельник рівняння \(\frac{1}{x-2}=0\) дорівнює \(1\) незалежно від значення \(x.\) Отже, це рівняння коренів не має.

Б. \(2^2+4=4+4=8\ne 0.\) Це означає, що число \(2\) не є коренем рівняння \(x^2+4=0.\) Окрім цього зазначимо, що вираз \(x^2+4\) за будь-яких \(x\) набуває лише додатних значень, точніше, дорівнює \(4\), якщо \(x=0\), та більше \(4\), якщо \(x\ne 0.\)

В. \(5\cdot 2+12=10+12=22\ne 2\) – число \(2\) не є коренем рівняння.

Г. \(\frac{3\cdot 2-6}{2}=\frac{6-6}{2}=0=0\) – число \(2\) є коренем рівняння.

Д. \(2+2=4\ne 2\) – число \(2\) не є коренем рівняння.

Відповідь: Г.