Всі запитання НМТ/ЗНО з математики онлайн із відповідями, починаючи з 520

Завдання 521 з 2199

Розв'яжіть нерівність $x^3\ge x^2.$

А$(-\infty; 0]\cup [1; +\infty)$

Б$[0; 1]$

В$[1; +\infty)$

Г$\{0\}\cup [1; +\infty)$

Д$[-1; +\infty)$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Метод інтервалів.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні нерівності.

Перший спосіб. Розв’яжемо нерівність методом інтервалів. Для цього перенесемо всі доданки у ліву частину нерівності: $$ x^3-x^2\ge 0 $$ і винесемо за дужки спільний множник: $$ x^2(x-1)\ge 0. $$

Визначимо нулі функції $$ y=x^2(x-1), $$ тобто корені рівняння $$ x^2(x-1)=0, $$ $x_1=0$ і $x_2=1$. Зазначимо, що корінь $x_1=0$ має кратність $2.$

Позначимо на числовій осі $x$ нулі $x_1=0$ і $x_2=1$ та визначимо знаки виразу $$ x^2(x-1) $$ на кожному з отриманих проміжків (див. діаграму).

Отже, $x\in\{0\}\cup [1; +\infty)$ – множина розв’язків заданої нерівності.

Другий спосіб. При $x=0$ нерівність $x^3\ge x^2$ є правильною: $0\ge 0.$ Отже, $x=0$ – один з розв’язків нерівності. Нехай $x\ne 0$. Тоді $x^2\gt 0$, тому, поділивши обидві частини нерівності $x^3\ge x^2$ на $x^2$, отримаємо нерівність $x\ge 1$, рівносильну заданій. Об’єднавши множини $x\in\{0\}$ та $x\in [1; +\infty)$, отримаємо відповідь: $x\in\{0\}\cup [1; +\infty).$

Відповідь: Г.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 522 з 2199

На рисунку зображено графік неперервної функції $y=f(x).$ Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А$\mathop{\int}\limits_{-1}^1 f(x)dx$

Б$2\mathop{\int}\limits_{0}^1 f(x)dx$

В$\mathop{\int}\limits_{0}^1 f(x)dx - \mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx$

Г$2\mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx$

Д$\mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx - \mathop{\int}\limits_{0}^1 f(x)dx$

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Визначений інтеграл. Геометричний зміст визначеного інтеграла.

Це завдання перевіряє вміння використовувати геометричний зміст визначеного інтеграла у задачах на обчислення площ плоских фігур.

Нагадаємо, що плоску фігуру, обмежену графіком неперервної та невід’ємної функції $y=f(x)$, віссю $x$ і прямими $x=a$ та $x=b$, де $a\lt b$, називають криволінійною трапецією. Площу цієї трапеції можна обчислити за формулою $$ S=\mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx. $$

Якщо для всіх $x\in [a; b]$ виконується нерівність $f(x)\le 0$, то площа $S$ фігури, обмеженої графіком функції $y=f(x)$, відрізком $[a; b]$ осі $x$ і прямими $x=a$ та $x=b$, обчислюється за формулою

$$ S=\mathop{\int}\limits_a^b (-f(x))dx=-\mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx. $$

Якщо відрізок $[a; b]$ розбити точкою $c$ на два відрізки, то

$$ \mathop{\int}\limits_a^b f(x)dx=\mathop{\int}\limits_a^c f(x)dx+\mathop{\int}\limits_c^b f(x)dx. $$

З рисунка видно, що графік функції $y=f(x)$ на проміжку $[-1; 0]$ розміщений над віссю абсцис, а на проміжку $[0; 1]$ – під віссю абсцис.

Зображена фігура на проміжку $[-1; 0]$ обмежена зверху графіком функції $y=f(x)$, а знизу – графіком функції $y=0$, тому площу цієї криволінійної трапеції обчислюємо за формулою $$ S_1=\mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx. $$ На проміжку $[0; 1]$ зверху фігура обмежена графіком функції $y=0$, а знизу – графіком функції $y=f(x)$, тому площу цієї фігури (зазначимо, що згідно означення ця фігура не є криволінійною трапецією) обчислюємо за формулою $$ S_2=-\mathop{\int}\limits_0^1 f(x)dx. $$ Отже, площу зафарбованої фігури обчислюємо як суму двох площ (інтегралів):

$$ S=S_1+S_2=\mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx-\mathop{\int}\limits_0^1 f(x)dx. $$

Відповідь: Д.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 523 з 2199

Автомобіль рухався по дорозі паралельно паркану $NP$ і зупинився біля закритих воріт $KL$ так, як зображено на рисунку. Відомо, що розмах стулки воріт $LM$ становить $2$ м, $OQ=1$ м. Укажіть найменшу з наведених довжину відрізка $LO$, при якій стулка $LM$ не зачепить автомобіль за умови повного відкривання воріт. Уважайте, що ворота перпеникулярні до площини дороги і мають прямокутну форму. Товщиною стулок знехтуйте.

А$1{,}6$ м

Б$1{,}7$ м

В$1{,}8$ м

Г$1{,}9$ м

Д$2$ м

Позначте відповіді:

А	Б	В	Г	Д

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Прямокутний трикутник. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння використовувати теорему Піфагора для розв’язування задач із практичним змістом.

Спочатку знайдемо довжину відрізка $LO$, при якій стулка $LM$ під час відкривання воріт доторкнеться до автомобіля (зробить невеликий подряпину на бампері). Це станеться тоді, коли довжина відрізка $LQ$ дорівнюватиме довжині стулки $LM$, тобто $2$ м. Розглянемо прямокутний трикутник $LOQ$ (див. рисунок). За теоремою Піфагора:

$$ LO=\sqrt{LQ^2-OQ^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\ \text{м}. $$

Запишемо дані альтернативи у вигляді

А $1{,}6=\sqrt{2{,}56}$ м.

Б $1{,}7=\sqrt{2{,}89}$ м.

В $1{,}8=\sqrt{3{,}24}$ м.

Г $1{,}9=\sqrt{3{,}61}$ м.

Д $2=\sqrt{4}$ м.

Далі міркуємо так. Щоб стулка $LM$ під час відкривання воріт НЕ торкнулася автомобіля, потрібно, щоб довжина відрізка $LQ$ (гіпотенузи прямокутного трикутника $LOQ$) була більша за розмах стулки, що дорівнює $2$ м. Це виконуватиметься тоді, коли довжина катета $LO$ буде більша за $\sqrt{3}$ м. Найменшою із наведених у відповідях відстаней, що задовольняють цю умову, є $1{,}8$ м.

Відповідь: B.

Вид завдання: Завдання з вибором однієї правильної відповіді
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 524 з 2199

До кожного початку речення (1–4), де $a\gt 0$, $b\gt 0$, доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Якщо $\log_2 a=2\log_2 b$, то

2Якщо $a^3=8b^3$, то

3Якщо $\sqrt{a}=2\sqrt{b}$, то

4Якщо $2^a=4\cdot 2^b$, то

Закінчення речення

А$a=2b$

Б$a=2+b$

В$a=4b$

Г$a=b^2$

Д$a=4+b$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні, ірраціональні, степеневі, логарифмічні вирази та їхні перетворення.

Це завдання перевіряє вміння виконувати перетворення ірраціональних, степеневих, показникових та логарифмічних виразів. Перетворимо кожен вираз.

1. Використаємо властивість логарифма: $$ k\cdot \log_c b=\log_c b^k, $$ тоді $$ 2\log_2 b=\log_2 b^2 $$ і рівність $$ \log_2 a=2\log_2 b $$ набуває вигляду $$ \log_2 a=\log_2 b^2. $$ Оскільки логарифми виразів рівні лише тоді, коли рівні самі вирази, то $a=b^2.$ Отже, 1 – Г.

2. Запишемо рівність $a^3=8b^3$ у вигляді \begin{gather*} a^3=2^3\cdot b^3,\\[7pt] a^3=(2b)^3. \end{gather*} Куби двох виразів рівні, якщо рівні самі вирази, тому $a=2b.$ Отже, 2 – А.

3. Піднесемо обидві частини рівності $\sqrt{a}=2\sqrt{b}$ до квадрата: $$ (\sqrt{a})^2=(2\sqrt{b})^2. $$ За означенням арифметичного квадратного кореня \begin{gather*} (\sqrt{a})^2=a,\\[7pt] (2\sqrt{b})^2=2^2\cdot(\sqrt{b})^2=4b. \end{gather*} Отримаємо рівність $a=4b$. Отже, 3 – В.

4. Подамо число $4$ у вигляді степеня з основою два: $4=2^2$, тоді $$ 2^a=2^2\cdot 2^b. $$ Використовуючи формулу $$ a^x\cdot a^y=a^{x+y}, $$ отримаємо рівність $$ 2^a=2^{2+b}. $$ Степені $a^x$ і $a^y$, де $a\gt 0$ і $a\ne 1$, з однаковими основами рівні тоді і тільки тоді, коли рівні показники $x$ і $y$ цих степенів. Тому рівність $$ 2^a=2^{2+b} $$ рівносильна рівності $a=2+b$. Отже, 4 – Б.

Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – B, 4 – Б.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 525 з 2199

На сторонах квадрата $ABCD$ задано точки $K$, $L$, $M$ i $N$ так, що $KM\ ||\ AD$, $LN\ ||\ CD$ (див. рисунок). Відрізки $KM$ i $LN$ перетинаються в точці $O.$ $OL=8$, $OM=6$, $ON=2.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1Довжина відрізка $OK$ дорівнює

2Радіус кола, описаного навколо прямокутника $OLCM$, дорівнює

3Довжина середньої лінії трапеції $OBCM$ дорівнює

4Довжина відрізка $AP$, де $P$ – точка перетину бісектриси кута $NOM$ зі стороною $AD$, дорівнює

Закінчення речення

А$4$

Б$5$

В$6$

Г$8$

Д$3$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

22

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат та його властивості. Прямокутник та його властивості. Середня лінія трапеції. Коло, описане навколо чотирикутника.

Це завдання перевіряє вміння знаходити довжини відрізків геометричних фігур. Щоб розв’язати завдання, потрібно знати означення й властивості квадрата, прямокутника, прямокутного рівнобедреного трикутника, теорему про середню лінію трапеції, означення бісектриси кута, теорему Піфагора.

Оскільки точка $O$ належить відрізку $LN$, то $$ LN=LO+ON=8+2=10. $$ За умовою $LN\ ||\ CD$, тому $\angle BLN=\angle LCD=90^\circ$, отже, чотирикутник $DCLN$ – прямокутник. Тоді $$ CD=LN=10. $$ Оскільки $ABCD$ – квадрат, то $$ BC=CD=10. $$

1. За умовою $KM\ ||\ AD$, тому $\angle KMD=\angle MDA=90^\circ$, отже, чотирикутник $KMDA$ – прямокутник. Тоді $$ KM=AD=10. $$ Оскільки точка $O$ належить відрізку $KM$, то $$ OK=KM-OM=10-6=4. $$ Отже, 1 – А.

2. За теоремою Піфагора, діагональ прямокутника $OLCM$ дорівнює

$$ \sqrt{OL^2+OM^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10. $$

Оскільки радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині його діагоналі, то радіус кола, описаного навколо прямокутника $OLCM$, дорівнює $$ 10:2=5. $$ Отже, 2 – Б.

3. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює півсумі її основ. У трапеції $OBCM$ основи $BC$ і $OM$ дорівнюють відповідно $10$ і $6$, отже, довжина середньої лінії трапеції дорівнює $$ \frac{BC+OM}{2}=\frac{10+6}{2}=8. $$ Отже, 3 – Г.

4. Оскільки $OP$ – бісектриса кута $NOM$, то вона ділить цей кут навпіл, тому $$ \angle NOP=\angle POM=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ. $$ Оскільки $\angle ONP=90^\circ$, то

$$ \angle NPO=180^\circ-(90^\circ+45^\circ)=45^\circ\ \text{(див. рисунок)}. $$

Тоді трикутник $NOP$ є рівнобедреним і $$ NP=ON=2. $$ Довжина відрізка $AP$ дорівнює $$ AN+NP=OK+NP=4+2=6. $$ Отже, 4 – В.

Відповідь: 1 – A, 2 – Б, 3 – Г, 4 – В.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 526 з 2199

Установіть відповідність між твердженням (1–4) та функцією (А – Д), для якої це твердження є правильним.

Твердження

1графік функції проходить через точку $(0; 1)$

2найменшого значення функція набуває в точці $x=-2$

3областю визначення функції є множина $(-\infty; 2)\cup (2; +\infty)$

4графік функції симетричний відносно осі $y$

Функція

А$y=\frac{2}{x-2}$

Б$y=(x+2)^2$

В$y=3^x$

Г$y=|x|$

Д$y=x^3$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції. Основні властивості функції: парність, періодичність, монотонність. Область визначення функції.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою, зокрема, визначати належність точки графіку заданої функції, знаходити область визначення функції, визначати найменше значення функції. Для розв’язання завдання потрібно також знати властивості симетрії графіків парних та непарних функцій.

Розглянемо кожну з функцій A – Д окремо.

А. Функція $$ y=\frac{2}{x-2} $$ визначена для всіх значень $x$, при яких знаменник $x-2$ відмінний від нуля, тобто при $x\ne 2.$ Тому областю визначення цієї функції є об’єднання інтервалів $(-\infty; 2)\cup (2; +\infty).$
Отже, 3 – А.

Б. Графіком квадратичної функції $y=(x+2)^2$, або $$ y=x^2+4x+4 $$ є парабола, яку можна отримати перенесенням параболи, заданої рівнянням $y=x^2$, на $2$ одиниці ліворуч (див. рисунок).

З рисунка видно, що графік функції $y=(x+2)^2$ не є симетричним відносно осі $y$, а найменшого значення ця функція набуває в точці $x=-2$, яка є абсцисою вершини параболи. Можна міркувати інакше. Оскільки вираз $(x+2)^2$, який є повним квадратом, набуває лише невід’ємних значень, точніше, $(x+2)^2=0$, якщо $x=-2$, і $(x+2)^2\gt 0$, якщо $x\ne -2$, то він набуває найменшого значення, якщо $x=-2.$ Отже, 2 – Б.

В. Графік показникової функції $y=3^x$ проходить через точку $(0; 1)$, оскільки $3^0=1.$ Ця функція є зростаючою на всій області визначення – проміжку $(-\infty; +\infty).$ Отже, більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Тому графік функції $y=3^x$ не є симетричним відносно осі $y.$ Можна також скористатися твердженням про те, що симетрією відносно осі ординат володіє лише графік парної функції. Функція $y=3^x$ не є парною, оскільки умова $y(-x)=y(x)$, тобто $3^{-x}=3^x$ виконується лише в одній точці $x=0.$ Для всіх $x\ne 0$ ця рівність не виконується. Отже, 1 – В.

Г. Функція $y=|x|$ є парною, оскільки для всіх $x\in (-\infty; +\infty)$ виконується умова $$ y(x)=y(-x):|-x|=|x|. $$ Тому її графік симетричний відносно осі $y.$ Отже, 4 – Г.

Д. Функція $y=x^3$ визначена на всій дійсній осі, зростає на всій області визначення, тому не існує жодної точки, у якій вона набуває найменшого значення. Точка $(0; 1)$ не належить графіку функції, оскільки її координати не задовольняють рівняння функції: $1\ne 0^3.$ Функція $y=x^3$ для будь-якого дійсного значення $x$ задовольняє умову $$ y(-x)=-y(x):(-x)^3=-x^3, $$ тобто є непарною, тому її графік симетричний відносно початку координат, а не відносно осі $y.$ Отже, жодне з наведених тверджень не є правильним для функції $y=x^3.$

Відповідь: 1 – B, 2 – Б, 3 – А, 4 – Г.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 527 з 2199

У шкільній олімпіаді з географії взяли участь $20$ учнів десятих класів. Бали, набрані учасниками олімпіади, утворили певний ряд даних, на основі якого склали його статистичний розподіл частот:

Бал	$5$	$7$	$9$	$10$	$12$	$15$	$16$	$18$
Частота бала	$3$	$4$	$2$	$1$	$5$	$3$	$1$	$1$

За цим статистичним розподілом частот установіть відповідність між характеристикою ряду даних (1–4) та її числовим значенням (А – Д).

Характеристика ряду даних

1розмах

2мода

3медіана

4середнє значення

Числове значення характеристики

А$10{,}5$

Б$11$

В$11{,}5$

Г$12$

Д$13$

Позначте відповіді:

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Мода, медіана, розмах ряду даних.

Це завдання перевіряє вміння визначати характеристики ряду даних (моду, медіану, середнє значення і розмах) за наданою таблицею частот.

Визначимо об’єм ряду даних $(n)$ – кількість усіх його елементів: елемент $5$ зустрічається тричі, елемент $7$ – $4$ рази, елемент $9$ – двічі, елемент $10$ – один раз, елемент $12$ – $5$ разів, елемент $15$ – тричі, елемент $16$ – один раз, елемент $18$ – один раз, тому

$$ n=3+4+2+1+5+3+1+1=20. $$

1. Розмахом $(R)$ ряду даних називається різниця між найбільшим та найменшим елементами ряду даних: $$ R=18-5=13. $$ Отже, 1 – Д.

2. Модою $(M_o)$ називається значення ряду даних, яке має найбільшу частоту, тобто зустрічається найчастіше. З таблиці видно, що найчастіше зустрічається у ряді даних елемент $12$, тому мода $M_o=12.$ Отже, 2 – Г.

3. Медіаною $(M_e)$ упорядкованого ряду даних, що має парну кількість елементів, називається середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині цього ряду. У нашому випадку медіана – це середнє арифметичне $10\text{-го}$ і $11\text{-го}$ елементів ряду даних: $$ M_e=\frac{10+12}{2}=11. $$ Отже, 3 – Б.

4. Середнім значенням ряду даних $\overline{x}$ називається середнє арифметичне всіх його елементів:

$$ \overline{x}=\frac{5\cdot 3+7\cdot 4+9\cdot 2+10\cdot 1+12\cdot 5+15\cdot 3+16\cdot 1+18\cdot 1}{20}=10{,}5. $$

Отже, 4 – А.

Відповідь: 1 – Д, 2 – Г, 3 – Б, 4 – A.

Вид завдання: Завдання на встановлення відповідності (логічні пари)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 528 з 2199

У ромбі $ABCD$ з вершини тупого кута $D$ до сторони $BC$ проведено перпендикуляр $DK.$ $BK=4$ см, $KC=6$ см.

1. Визначте довжину перпендикуляра $DK$ (у см).

2. Обчисліть площу ромба $ABCD$ (у см$^2$).

Впишіть відповіді:

1.			2.
	8			80

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Ромб та його властивості. Площа ромба. Теорема Піфагора.

Це завдання перевіряє вміння знаходити довжину висоти та площу ромба. Для розв’язання завдання потрібно знати означення ромба та його властивості, формулу його площі та вміти використовувати теорему Піфагора для знаходження невідомих елементів прямокутного трикутника.

Нехай $ABCD$ – заданий ромб, $DK$ – висота ромба (див. рисунок).

Оскільки точка $K$ лежить на стороні ромба, то її довжина дорівнює сумі довжин відрізків $BK$ та $KC{:}$

$$ BC = BK + KC = 4 + 6 = 10\ \text{см}. $$

1. У прямокутному трикутнику $DKC$ катет $KC = 6$ см, гіпотенуза $DC = 10$ см. За теоремою Піфагора визначаємо довжину перпендикуляра $DK{:}$

$$ DK = \sqrt{DC^2 - KC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8\ \text{см}. $$

2. Площу ромба можна обчислити за формулою $$ S = a \cdot h, $$ де $a$ – сторона ромба, $h$ – висота ромба. Обчислимо площу ромба $ABCD{:}$

$$ S_{ABCD} = BC \cdot DK = 10 \cdot 8 = 80\ \text{см}^2. $$

Відповідь: 1. $8.$
2. $80.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 529 з 2199

Якщо додатні числа $x$ i $y$ задовольняють умову $\dfrac xy=\dfrac 14$, то:

1. $\dfrac{x+y}{y}=$

2. $\log_2 x-\log_2 y=$

Впишіть відповіді:

1.			2.
	1.25			-2

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю, структуроване
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 530 з 2199

Визначте вартість (у грн) спожитої за місяць користувачем пільгової категорії електроенергії (див. фрагмент квитанції).

Пільга $(\%)$, ліміт $(\text{кВт}\cdot \text{год})$ $25\%$ при нормі $75\ \text{кВт}\cdot \text{год}$

Поточні показання, $\text{кВт}\cdot \text{год}$	Попередні показання, $\text{кВт}\cdot \text{год}$	Спожито, $\text{кВт}\cdot \text{год}$	Тариф, грн	Сума до сплати, грн
$6275$	$6160$	$115$	$0{,}28$	?

Урахуйте те, що тариф (вартість однієї $\text{кВт}\cdot \text{год}$) становить $0{,}28$ грн. Надана цьому користувачеві пільга полягає в тому, що за $75\ \text{кВт}\cdot \text{год}$ зі спожитих за місяць користувач сплачує на $25\ \%$ менше від їхньої вартості за тарифом.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Відношення та пропорції. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі з практичним змістом на відсоткові розрахунки.

За наданою квитанцією, всього користувачем спожито $115\ \text{кВт}\cdot \text{год}$, з них $75\ \text{кВт}\cdot \text{год}$ є пільговими. Обчислимо вартість $75\ \text{кВт}\cdot \text{год}$ за звичайним тарифом $0{,}28$ грн: $$ 75\cdot 0{,}28=21\ \text{грн}. $$ Оскільки за умовою на $75\ \text{кВт}\cdot \text{год}$ надається пільга, то він має сплатити $75\ \%$ від їхньої вартості.

Складаємо пропорцію: \begin{gather*} 21\ \text{грн}\ —\ 100\ \%,\\[7pt] x\ \text{грн}\ —\ 75\ \%. \end{gather*}

Тоді $$ x=\frac{21\cdot 75}{100}=15{,}75\ \text{грн}. $$

На залишок $$ 115-75=40\ \text{кВт}\cdot \text{год} $$ пільга не надається. Тому їх вартість складає $$ 40\cdot 0{,}28=11{,}2\ \text{грн}. $$

Обчислимо загальну вартість спожитої електроенергії: $$ 15{,}75+11{,}2=26{,}95\ \text{грн}. $$

Відповідь: $26{,}95.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 531 з 2199

Графік функції $y=\sqrt{2x^2+x+1}$ проходить через точку $(x_0; 4)$, де $x_0\gt 0.$
Обчисліть $x_0.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 532 з 2199

Обчисліть значення виразу $2\sin\alpha\cos\alpha$, якщо $\sin\alpha+\cos\alpha=1{,}2.$

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання тригонометричних формул: основної тригонометричної тотожності, формули синуса подвійного кута та вміння їх застосовувати для розв’язування задач.

1 спосіб. Піднесемо ліву і праву частини рівності $$ \sin\alpha +\cos\alpha=1{,}2 $$ до квадрата: \begin{gather*} (\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1{,}2^2,\\[7pt] \sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1{,}44. \end{gather*} За основною тригонометричною тотожністю $$ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, $$ тоді \begin{gather*} 2\sin\alpha\cos\alpha+1=1{,}44,\\[6pt] 2\sin\alpha\cos\alpha=1{,}44-1=0{,}44. \end{gather*}

2 спосіб. Із початкового рівняння виражаємо, наприклад, $\sin\alpha$ через $\cos\alpha{:}$ $$ \sin\alpha=1{,}2-\cos\alpha, $$ та підставляємо в основну тригонометричну тотожність: $$ (1{,}2-\cos\alpha)^2+\cos^2\alpha=1. $$ Після піднесення до квадрата та зведення подібних доданків отримаємо квадратне рівняння відносно $\cos\alpha{:}$ $$ 2\cos^2\alpha-2{,}4\cos\alpha+0{,}44=0. $$

Розв’язавши його, знаходимо $$ \cos\alpha=0{,}6\pm\sqrt{0{,}14}. $$ Звідки $$ \sin\alpha=0{,}6\mp\sqrt{0{,}14}. $$ Тоді

$$ 2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot(0{,}6\pm\sqrt{0{,}14})\cdot(0{,}6\mp\sqrt{0{,}14}) =2\cdot(0{,}36-0{,}14)=0{,}44. $$

Відповідь: $0{,}44.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 533 з 2199

Розв'яжіть нерівність $$ x^2+2^{\log_2(-2x)}-15\lt 0. $$ У відповіді запишіть суму всіх цілих розв'язків цієї нерівності.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Метод інтервалів. Основна логарифмічна тотожність.

Це завдання перевіряє вміння застосовувати основну логарифмічну тотожність для спрощення виразів, що містять логарифмічну функцію, та розв’язувати нерівності, що зводяться до раціональних.

Враховуючи, що аргументом логарифмічної функції може бути лише додатне число, запишемо ОДЗ цієї нерівності: $-2x\gt 0$, звідки $x\lt 0.$ Скористаємося основною тригонометричною тотожністю: $$ 2^{\log_2(-2x)}=-2x, $$ тоді нерівність набуває вигляду $$ x^2-2x-15\lt 0. $$ Розв’яжемо отриману нерівність методом інтервалів.

Знайдемо нулі функції \begin{gather*} y=x^2-2x-15{:}\\[7pt] x_1=-3,\\[7pt] x_2=5. \end{gather*} Тоді нерівність можна записати у вигляді $$ (x+3)(x-5)\lt 0. $$ Визначимо знаки функції $$ y=x^2-2x-15 $$ на проміжках $(-\infty; -3)$, $(-3; 5)$ та $(5; +\infty)$ (див. діаграму), звідки $x\in(-3; 5).$

Зауважимо, що на діаграмі точки $x=-3$ та $x=5$ не зафарбовані з тих міркувань, що ці точки не є розв’язками строгої нерівності $$ x^2-2x-15\lt 0. $$ Ураховуючи ОДЗ початкової нерівності, тобто нерівність $x\lt 0$, отримаємо множину її розв’язків $(-3; 0).$ Ця множина містить два цілі розв’язки $x=-2$ та $x=-1.$ Тому сума всіх цілих розв’язків заданої нерівності дорівнює $$ -2-1=-3. $$

Відповідь: $-3.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 534 з 2199

Два кола, радіус кожного з яких дорівнює $2$ см, дотикаються з середини до кола радіусом $8$ см у точках $A$ i $B$ відповідно (див. рисунок). Визначте відстань (у см) між центрами цих рівних кіл, якщо $AB=10$ см. Уважайте, що всі кола лежать в одній площині.

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступне Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Завдання 535 з 2199

Усі вершини трапеції $ABCD$ належать графіку функції $y=36-x^2$, побудованому в прямокутній декартовій системі координат. Більша основа $AD$ лежить на осі $x.$ Яку найбільшу площу може мати трапеція $ABCD$?

Впишіть відповідь:

Перевірити Наступні запитання Читати пояснення

Пояснення доступні лише для зареєстрованих користувачів. Дивитись умови перегляду пояснень >>>.

Пояснення

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Похідна функції. Застосування похідної до розв’язку задач.

Це завдання перевіряє вміння використовувати похідну функції для знаходження її найбільшого значення.

Нехай $ABCD$ – задана трапеція, вершини якої належать графіку квадратичної функції $y=36-x^2$ (див. рисунок).

Оскільки в умові задачі зазначено, що всі вершини трапеції належать графіку функції, а основа $AD$ лежить на осі $x$, то точки $A$ і $D$ є точками перетину графіка з віссю $x.$ Для знаходження абсцис цих точок розв’яжемо рівняння $$ 36-x^2=0, $$ оскільки на вісі $x$ ордината $y$ дорівнює $0.$ Тоді $x_1=6$, $x_2=-6$ і $A(-6; 0)$, $D(6; 0).$

Нехай абсциса точки $C$ дорівнює $a$, тоді абсциса точки $B$ дорівнює $-a$, а ординати цих точок дорівнюють $36-a^2.$ При цьому $a\in (0; 6)$.

Визначимо залежність площі трапеції $ABCD$ від значення змінної $a.$ Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту: $$ S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h. $$

Довжина нижньої основи трапеції $$ AD=6+6=12, $$ довжина верхньої основи трапеції $$ BC=a+a=2a, $$ висота трапеції дорівнює ординаті точки $C$, тобто $$ h=36-a^2, $$ тоді площа трапеції $ABCD$ виражається формулою $$ S=\frac{12+2a}{2}\cdot(36-a^2), $$ або

$$ S(a)=216+36a-6a^2-a^3,\ a\in (0; 6). $$

Для знаходження найбільшого значення площі, знайдемо похідну

$$ S'(a)=36-12a-3a^2=3(12-4a-a^2)=3(2-a)(a+6). $$

Щоб визначити стаціонарні точки функції $S(a)$, прирівняємо її похідну до нуля: $$ 3(2-a)(a+6)=0. $$ Розв’язавши рівняння, знайдемо дві стаціонарні точки $a_1=-6$ і $a_2=2$, але досліджуватимемо лише точку $a=2$, оскільки $-6\notin (0; 6).$ З наведеної діаграми видно, що в точці $a=2$ функція

$$ S(a)=216+36a-6a^2-a^3 $$

досягає максимуму.

Отже, найбільшого значення площа трапеції досягає у випадку, коли $a=2.$ Обчислимо значення

$$ S(2)=216+36\cdot 2-6\cdot 4\cdot 8=256. $$

Відповідь: $256.$

Вид завдання: Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (1 вид)
Знайшли помилку? Пишіть на

Бал	\(5\)	\(7\)	\(9\)	\(10\)	\(12\)	\(15\)	\(16\)	\(18\)
Частота бала	\(3\)	\(4\)	\(2\)	\(1\)	\(5\)	\(3\)	\(1\)	\(1\)

Поточні показання, \(\text{кВт}\cdot \text{год}\)	Попередні показання, \(\text{кВт}\cdot \text{год}\)	Спожито, \(\text{кВт}\cdot \text{год}\)	Тариф, грн	Сума до сплати, грн
\(6275\)	\(6160\)	\(115\)	\(0{,}28\)	?