ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Ознаки паралельності прямої та площини.

Це завдання перевіряє вміння встановлювати паралельність прямої та площини.

Пряма паралельна площині, якщо не має з нею спільних точок. Кожна з прямих \(BC\), \(BD\), i \(A_{1}B\) проходить через точку \(B\), пряма \(CB_{1}\) проходить через точку \(B_{1}\), що належать площині \((AA_{1}B_{1})\). Оскільки ці точки належать площині \((AA_{1}B_{1})\), то вказані прямі перетинають задану площину. Пряма \(C_{1}D\) лежить у площині \((C_{1}CD)\). Оскільки площина \((C_{1}CD)\) паралельна площині \((AA_{1}B_{1})\), то пряма \(C_{1}D\) паралельна площині \((AA_{1}B_{1})\).

Відповідь: В.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Показникові рівняння.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати показникові рівняння.

Представимо числа \(4\) і \(8\) як степені з основою \(2\): \begin{gather*} 4 = 2^{2},\\[7pt] 8 = 2^{3}. \end{gather*} Тоді \((2^{2})^{x} = 2^{3}\). За властивістю степенів \((2^{2})^{x} = 2^{2x}\), звідки \begin{gather*} 2^{2x} = 2^{3},\\[7pt] 2x = 3,\\[6pt] x = \frac{3}{2}. \end{gather*}

Відповідь: B.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Це завдання перевіряє знання означення косинуса гострого кута прямокутного трикутника.

Косинус гострого кута \(\alpha\) прямокутного трикутника дорівнює відношенню прилеглого до цього кута катета до гіпотенузи. Отже, $$ \cos \alpha = \frac{b}{c}. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Ймовірність випадкової події. Класичне означення ймовірності події.

Це завдання перевіряє вміння знаходити ймовірність події.

Імовірність того, що навмання вибраний білет буде виграшним, за класичним означенням ймовірності дорівнює відношенню кількості виграшних білетів \(x\) до загальної кількості білетів \(300.\) За умовою, $$ \frac{x}{300} = 0{,}2, $$ отже розв’язавши рівняння, отримаємо $$ x = 300 \cdot 0{,}2 = 60, $$ тому виграшних білетів \(60.\) Кількість всіх лотерейних білетів без виграшу дорівнює $$ 300 - 60 = 240. $$

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Тригонометричні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє знання основних формул тригонометрії, а саме співвідношень між тригонометричними функціями одного кута.

Скористаємося формулою $$ 1 + \mathrm{tg}^{2}\ \alpha = \frac{1}{\cos^{2} \alpha}. $$ Тоді $$ \frac{1}{1 + \mathrm{tg}^{2}\ \alpha} = \frac{1}{\frac{1}{\cos^{2}\alpha}} = \cos^{2}\alpha. $$

Можна також розв’язувати це завдання наступним чином:

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Графік функції. Перетворення графіків функцій.

Це завдання перевіряє вміння виконувати геометричні перетворення графіків функції.

Графік функції \(y=\sqrt{x-2}\) отримують зсувом графіка \(y=\sqrt{x}\) на \(2\) одиниці вправо уздовж осі абсцис.

Можна розв’язувати це завдання, використовуючи область визначення заданої функції: \(x-2 \ge 0\), звідки \(x \ge 2.\) Таке обмеження виконується лише для функції, графік якої зображено у варіанті Г.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Квадрат та його властивості.

Це завдання перевіряє знання властивостей квадрата, формули периметра квадрата.

Периметр квадрата \(P = 4a\), де \(a\) – довжина сторони квадрата. Нехай \(F\) – задана точка на діагоналі \(AC\), \(FE = 2\) см, \(FL = 6\) см (див. рисунок). Чотирикутник \(BLFE\) – прямокутник, тому \(BE = LF = 6\) см. У прямокутному трикутнику \(AEF\) \(\angle EAF = \angle EFA = 45^\circ\), тому \(AE = EF = 2\) см. Тоді \(AB = AE + BE = 2 + 6 = 8\) см. Периметр квадрата \(ABCD\) дорівнює \(8 \cdot 4 = 32\) см.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Означення розв’язку системи рівнянь з двома змінними та методи їх розв’язування.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати системи рівнянь методом підстановки.

З першого рівняння маємо \(\sqrt{x} = 4.\) Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату, отримаємо \(x_{0} = 16.\) Підставивши це значення в друге рівняння, отримаємо $$ 16 - 2y = 26, $$ звідки \(y_{0} = -5.\) Тоді $$ x_{0} + y_{0} = 16 - 5 = 11. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники та їх елементи. Піраміда.

Це завдання перевіряє знання означення правильної чотирикутної піраміди, вміння знаходити діагональ квадрата та використовувати теорему Піфагора.

Нехай \(PABCD\) – правильна чотирикутна піраміда. Висота \(PO = 3\) см, сторона основи \(AD = 12\) см (див. рисунок). Аналізуючи умову стереометричних завдань такого типу, важливо правильно визначити положення основи висоти піраміди. Оскільки піраміда \(PABCD\) є правильною, то основа висоти піраміди – точка \(O\) – збігається з точкою перетину діагоналей квадрата \(ABCD.\)

Визначаємо діагональ квадрата за формулою \(d = a\sqrt{2}\), де \(a\) – сторона квадрата. Отже, \(BD = 12\sqrt{2}\) см, звідки \(OB = 6\sqrt{2}\) см. З прямокутного трикутника \(POB\) за теоремою Піфагора маємо

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Основні властивості функцій: парність, періодичність, монотонність.

Це завдання перевіряє знання основних властивостей функцій: парності, періодичності, монотонності.

Ця лінійна функція не є парною, оскільки умова \(y(-x) = y(x)\) не виконується:

Ця лінійна функція не є непарною, оскільки умова \(y(-x) = -y(x)\) теж не виконується:

Функція не є періодичною, оскільки періодичною серед лінійних функцій є лише функція \(y = a\), \(a = \mathrm{const}.\)

Якщо кутовий коефіцієнт \(k\) лінійної функції \(y = kx + b\) додатний, то ця функція зростає на проміжку \((-\infty; +\infty)\), а якщо від’ємний – то функція спадає. У нашому випадку \(k = 2 \gt 0.\)

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їх системи. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати рівняння з модулем.

Домножимо обидві частини рівняння \(\frac{|x|}{10} = 2\) на 10, отримаємо \(|x| = 20.\) Модуль числа – це відстань на координатній осі \(x\) від цього числа до початку координат, звідси \(x = \pm 20.\)

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла і поверхні обертання. Площа бічної поверхні циліндра.

Це завдання є завданням з практичним змістом. Воно перевіряє знання формули площі бічної поверхні циліндра.

Площу бічної поверхні циліндра, отриманого після згортання листа заліза, обчислюємо за формулою \(S_\text{бічн} = 2\pi Rh.\) У нашому випадку діаметр \(d = 2R = 20\) см, висота циліндра дорівнює довжині відрізка \(AB\), тому \(h = 50\) см. Підставивши ці значення у формулу, маємо

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Логарифмічні вирази та їх перетворення.

Це завдання перевіряє вміння оцінювати значення логарифмічного виразу.

Оцінимо значення заданого логарифмічного виразу: $$ 0 = \log_{5} 1 \lt \log_{5} 4 \lt \log_{5} 5 =1. $$ Отже, значення виразу \(\log_{5} 4\) належить проміжку \((0; 1).\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Геометричний зміст похідної.

Це завдання перевіряє знання геометричного змісту похідної.

Якщо пряма \(y = kx + b\) є дотичною, проведеною до графіка функції \(y = f(x)\) у точці з абсцисою \(x_{0} = 2\), то, згідно з геометричним змістом похідної, \(f'(x_{0}) = k.\) Оскільки \(f'(2) = -3\), то кутовий коефіцієнт \(k\) дотичної дорівнює \(-3.\) Визначимо кутові коефіцієнти всіх наданих дотичних. \begin{gather*} \text{А:}\ k = -\frac{3}{2},\\[6pt] \text{Б:}\ k = 3,\\[7pt] \text{В:}\ k = 2,\\[6pt] \text{Г:}\ k = \frac{3}{2},\\[6pt] \text{Д:}\ k = -3. \end{gather*} Серед наведених прямих лише варіант Д задовольняє цю умову.

Слід зауважити, що для розв’язання цього завдання не потрібно знаходити рівняння дотичної, проведеної до графіка функції.

Відповідь: Д.