ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Трикутники та їхні елементи.

Завдання перевіряє розуміння означення та ключових властивостей медіани, середньої лінії трикутника й описаного навколо трикутника кола.

І. Точка, рівновіддалена від усіх вершин трикутника, – центр описаного навколо нього кола.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, і до того ж лише одне. Центр цього кола в точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Твердження правильне.

II. Медіана сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони, тому утворені трикутники мають рівні основи.

Оскільки вони мають спільну висоту, проведену до прямої, що містить ці основи, то за формулою \begin{gather*} S=\frac 12a\cdot h_a. \end{gather*} їхні площі рівні. Трикутники з однаковою площею рівновеликі. Твердження правильне.

III. Точка перетину медіан (центроїд) ділить кожну медіану у відношенні \(2:1\) (рахуємо від вершини трикутника). Це означає, що точка перетину медіан розташована на відстані \(\dfrac 13\) довжини медіани від основи трикутника.

Середня лінія трикутника, яка паралельна тій самій основі, за своєю властивістю проходить через середину медіани. Тобто вона розташована на відстані \(\dfrac 12\) довжини медіани від тієї ж основи.

Оскільки відстані до основи різні \(\dfrac 13\ne \dfrac 12\), середня лінія не проходить через точку перетину медіан. Вона проходить вище від центроїда (ближче до вершини, рахуючи від основи).

Твердження неправильне.

Відповідь: B.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції. Числові послідовності.

Завдання перевіряє знання формули суми \(n\)-перших членів арифметичної прогресії, формули \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії.

За формулою \(n\text{-го}\) члена арифметичної прогресії:

Відповідь: Д.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Координати та вектори у просторі.

Завдання перевіряє вміння виконувати дії з векторами.

Різниця векторів \(\vec a(x_1; y_1; z_1)\) i \(\vec b(x_2; y_2; z_2)\) – вектор \(\vec c=\vec b-\vec a\)

Щоб визначити координати різниці двох векторів, треба від координат першого вектора (зменшуваного) відняти відповідні координати другого вектора (від'ємника).

\begin{gather*} \vec a(3; 5; 7);\\[7pt] \vec b(2; -4; 8);\\[7pt] \vec c=\vec b-\vec a.\\[7pt] \vec c(2-3; -4-5; 8-7);\\[7pt] \vec c(-1; -9; 1). \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Раціональні вирази та їх перетворення.

Завдання перевіряє знання формул скороченого множення, уміння розкладати многочлен на множники й виконувати тотожні перетворення раціональних виразів.

Щоб спростити вираз, застосуймо формулу скороченого множення – різницю квадратів:

Відповідь: Г.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники.

Завдання перевіряє знання властивостей трапеції, її середньої лінії.

За умовою, відношення сторін \(AB:BC:CD:AD=2:3:4:7.\)

Нехай \(x\) – коефіцієнт пропорційності.

Периметр усієї трапеції \(ABCD\) дорівнює \(80\) см:

Отже, довжини сторін:

\begin{gather*} AB=2\cdot 5=10\ \text{см};\\[7pt] BC=3\cdot 5=15\ \text{см};\\[7pt] CD=4\cdot 5=20\ \text{см};\\[7pt] AD=7\cdot 5=35\ \text{см}. \end{gather*}

За умовою \(K\) і \(M\) – середини бічних сторін. Це означає, що відрізок \(KM\) – середня лінія трапеції \(ABCD.\)

Обчислімо периметр чотирикутника \(AKMD{:}\)

\begin{gather*} P_{AKMD}=AK+KM+MD+AD;\\[7pt] AK=AB:2=10:2=5\ \text{см};\\[7pt] MD=CD:2=20:2=10\ \text{см};\\[7pt] P_{AKMD}=5+25+10+35=75\ \text{см}. \end{gather*}

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні і раціональні рівняння та їх системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні та раціональні рівняння.

Праві частини обох рівнянь однакові й дорівнюють \(12.\) Прирівняймо їхні ліві частини:

Оскільки \(x\ne 0\), бо \(0\cdot (y+2)\) не може дорівнювати \(12\), поділімо обидві частини на \(x{:}\)

\begin{gather*} y+2=2y-1;\\[7pt] 2+1=2y-y;\\[7pt] 2y-y=2+1;\\[7pt] y=3. \end{gather*}

Підставмо значення \(y=3\) у перше рівняння:

\begin{gather*} x(3+2)=12;\\[7pt] x\cdot 5=12;\\[7pt] x=12:5;\\[7pt] x=2{,}4. \end{gather*}

Отже, \(x_0=2{,}4.\)

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази. Логарифмічні вирази.

Завдання перевіряє знання властивостей логарифмів, уміння виконувати тотожні перетворення логарифмічних виразів.

і за властивістю степенів

Отже, \(0{,}1=\dfrac{1}{10}=10^{-1}.\)

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння пов’язувати аналітичні властивості функції з її графіком на координатній площині.

За умовою завдання значення \(y\) завжди додатні, тож графік функції може перебувати лише там, де \(y\gt 0.\) Це верхня частина координатної площини (над віссю \(Ox\)).

Функція визначена на \(x\in (0; +\infty)\), тому графік обов'язково буде в тій зоні, де \(x\gt 0\) (це I чверть).

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.

За умовою принтер працює \(5\) хвилин, а швидкість друку зазначено в секундах. Тому спочатку виразімо хвилини в секундах:
\(1\) хв \(= 60\) с.
\(5\) хв \(=5\cdot 60=300\) с.

Принтер друкує сторінку за \(10\) секунд.

Щоб обчислити кількість сторінок, які він надрукує за \(300\) секунд, поділімо:

Отже, за \(5\) хвилин принтер надрукує \(30\) сторінок.

Відповідь: A.

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Чотирикутники. Трикутники.

Завдання перевіряє вміння застосовувати властивості ромба до розв'язування планіметричних задач, знання теореми Піфагора.

Діагоналі ромба перетинаються під кутом \(90^\circ\) і діляться навпіл. Отже, ромб розділено на чотири рівні прямокутні трикутники. Розгляньмо один із них – прямокутний трикутник \(\Delta AOB\), де:
\(AO=12\sqrt{5}:2=6\sqrt{5}\) (перший катет).
\(BO=6\sqrt{5}:2=3\sqrt{5}\) (другий катет)
\(AB\) – сторона ромба (гіпотенуза).

За теоремою Піфагора:

Відповідь: Б.

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Тіла обертання.

Це завдання перевіряє розуміння означення циліндра як тіла обертання.

Циліндр – тіло обертання, утворене внаслідок обертання прямокутника навколо прямої, що містить одну з його сторін. Цю пряму називають віссю обертання, а сторону, навколо якої відбувається рух, – висотою циліндра.

Оскільки прямокутник обертається навколо прямої \(a\), що містить його сторону, утворюється циліндр. Сторона довжиною \(8\) см паралельна осі обертання \(a\). Отже, висота циліндра, що утворився, дорівнює цій стороні: \(H=8\) см.

Отримане тіло – це циліндр, висота якого дорівнює \(8\) см.

Відповідь: Г.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази. Раціональні вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати множення одночленів і знання властивостей степеня.

Для розв'язання завдання скористаймося властивістю множення степенів з однаковими основами: основу залишимо без змін, а показники додамо. \begin{gather*} a^n\cdot a^m=a^{n+m}, \end{gather*} (де \(a\) – будь-яке число, \(n\) i \(m\) – натуральні числа).

Відповідь: Б.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Лінійні нерівності.

Завдання перевіряє знання властивостей нерівностей і вміння розв’язувати лінійні нерівності.

\begin{gather*} x\in [0{,}5; +\infty). \end{gather*}

Відповідь: Д.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння аналізувати статистичні дані, наведені у графічній і текстовій формах.

Продовжмо верхню межу стовпчика «Зелена зала» горизонтальною лінією (пунктирною) до вертикальної осі (шкали) кількості глядачів. Пунктир перетинає вертикальну вісь на позначці \(20.\)

Число \(20\) входить у проміжок \([15; 25)\), оскільки \(15\lt 20\lt 25.\)

Відповідь: Б.