ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа і вирази.

Завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення числових виразів.

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки: $$ x+2(x-2)=x+2x-4=3x-4. $$

Відповідь: A.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні та показникові рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.

1. Розв'яжемо рівняння

2. Розв'яжемо рівняння \((5^{2x+1}-25^x-20)(\sqrt{ax-6}-\sqrt{a-2x})=0\text{:}\) \begin{gather*} \left[\begin{array}{l} 5^{2x+1}-25^x=20=0\ \ (1),\\ \sqrt{ax-6}-\sqrt{a-2x}=0\ \ (2). \end{array}\right. \\[7pt] \text{ОДЗ:} \left\{\begin{array}{l} ax-6\ge 0,\\ a-2x\ge 0. \end{array}\right. \end{gather*}

\((1)\ 5^{2x+1}-25^x-20=0\), \(x_1=0\mathord{,}5.\)

Перевіримо, при яких значеннях \(a\ \ x_1\) буде коренем рівняння (підставимо в ОДЗ): \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} a\cdot 0\mathord{,}5 -6 \ge 0,\\ a-2\cdot 0\mathord{,}5 \ge 0; \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} 0\mathord{,}5a\ge 6,\\ a\ge 1; \end{array}\right.\\[7pt] \left\{\begin{array}{l} a\ge 12,\\ a\ge 1. \end{array}\right. \end{gather*} якщо \(a\in [12; +\infty)\ x_1=0\mathord{,}5.\)

\((2)\ \sqrt{ax-6}-\sqrt{a-2x}=0\), \(\sqrt{ax-6}=\sqrt{a-2x}\),
\(ax-6=a-2x\), \(ax+2x=a+6\), \(x(a+2)=a+6\),
якщо \(a=-2\), \(x\cdot 0 = 4\) не має коренів,

якщо \(a\ne -2\), \(x_2=\frac{a+6}{a+2}.\)

Перевіримо, при яких значеннях \(a\ \ x_2\) буде коренем рівняння:

Розв'яжемо методом інтервалів:

\(x_2=\frac{a+6}{a+2}\) – корінь рівняння при \(a\in [-2\sqrt{3}-2)\cup [2\sqrt{3}; +\infty).\)

Запишемо загальну відповідь:

Відповідь: якщо \(a\in (-\infty; -2\sqrt{3})\cup [-2; 2\sqrt{3})\) рівняння не має коренів;

                   якщо \(a\in [-2\sqrt{3}; -2)\cup [2\sqrt{3}; 12)\ \ x=\frac{a+6}{a+2}\);
                   якщо \(a\in [12; +\infty)\ \ x_1=0\mathord{,}5;\ \ x-2=\frac{a+6}{a+2}.\)

ТЕМА: Геометрія Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.

Завдання перевіряє вміння будувати перерізи призми, знання теореми про три перпендикуляри, кута між прямою та площиною, вміння розв’язувати стереометричні задачі.

1. Нехай \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – прямокутний паралелепіпед.

\(ABCD\) – прямокутник, бічні ребра \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\) – висоти паралелепіпеда.

Через пряму \(AD\) та точку \(K\in B_1C_1\) можна провести площину \(\mathbf{\gamma}\) та тільки одну.

За властивістю паралельних площин \((ABC)\ ||\ (A_1B_1C_1)\), третя площина \(\mathbf{\gamma}\) перетинає дані площини по паралельних прямих.

\(AD\ ||\ B_1C_1\) точка \(K\in B_1C_1\rightarrow AB_1C_1D\) – даний переріз.

2. \(AB_1C_1D\) – паралелограм, оскільки \(AD\ ||\ B_1C_1\), \(AD=B_1C_1\), \(DC\perp AD\) (\(ABCD\) – прямокутник), \(CC_1 \perp (ABC).\) За теоремою про три перпендикуляри похила \(C_1D\perp AD.\)
Отже, \(AB_1C_1D\) – прямокутник.

3. \(BB_1\perp (ABC)\), \(B_1D\) – похила, \(BD\) – проєкція похилої на \((ABC).\) За означенням кута між прямою та площиною, \(\angle B_1DB=\angle(B_1D\), \((ABC))=\mathbf{\alpha}.\) \(CC_1D_1D\) – квадрат, \(CC_1=CD=18\), за теоремою Піфагора у \(\Delta CC_1D\ (\angle C=90^\circ)\ C_1D=18\sqrt{2}.\)

У \(\Delta B_1BD\ (\angle B=90^\circ)\ BB_1=18\), \(\angle D=\mathbf{\alpha}\), \(BD=BB_1\cdot \operatorname{ctg}\mathbf{\alpha}=18\operatorname{ctg}\mathbf{\alpha}.\)

У \(\Delta ABD\ (\angle A=90^\circ)\) за теоремою Піфагора \(BD^2=AB^2+AD^2\), \(AD=\sqrt{324\operatorname{ctg}^2\mathbf{\alpha}-324}=18\sqrt{\operatorname{ctg}^2\mathbf{\alpha}-1}.\)

\(S_{AB_1C_1D}=AD\cdot DC_1=18\sqrt{\operatorname{ctg}^2-1}\cdot 18\sqrt{2}=324\sqrt{2}\sqrt{\operatorname{ctg}\mathbf{\alpha}-1}.\)

Відповідь: \(324\sqrt{2}\sqrt{\operatorname{ctg}\mathbf{\alpha}-1}.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.

Завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійної та тригонометричної функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком, вміння розв’язувати тригонометричні рівняння.

3. Точка \(A\left(\frac{\mathbf{\pi}}{2};1\right)\) – спільна для обох графіків.

4. \(f(x)=g(x)\) на інтервалі \((-\infty; +\infty)\) $$\sin x=1,\ \ x=\frac{\mathbf{\pi}}{2}+2\mathbf{\pi}n,\ \ n\in Z.$$

Відповідь: 3. \(\left(\frac{\mathbf{\pi}}{2};1\right).\)
                   4. \(\frac{\mathbf{\pi}}{2}+2\mathbf{\pi}n,\ \ n\in Z.\)

ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Координати та вектори на площині.

Завдання перевіряє знання властивості рівних векторів, координат вектора; уміння складати рівняння кола, знаходити координати середини відрізка.

Коло задано рівнянням $$ x^2-4x+y^2+12y=9. $$

Запишемо в стандартному вигляді:

Точка \(O(2; -6)\) – центр кола, \(R=7.\)

Нехай точка \(A(x_\text{A}; y_\text{A})\), \(\overrightarrow{OA}(x_\text{A}-2; y_\text{A}+6)\), \(\overrightarrow{OA}(-1; 2).\)

Отже,

Точка \(O\) середина відрізка \(AC.\)

За формулами $$ x=\frac{x_1+x_2}{2},\ \ y=\frac{y_1+y_2}{2} $$ знаходимо координати точки \(C:\)

Відповідь: \(-24.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи теорії ймовірностей.

Завдання перевіряє вміння обчислювати ймовірність випадкової події, знання правила добутку для знаходження ймовірності.

Серед \(24\) студентів першої групи проживають у гуртожитку \(6\) студентів.

Отже, ймовірність того, що студент проживає у гуртожитку $$ P_1=\frac{6}{24}=\frac 14. $$

Серед \(28\) студентів другої групи у гуртожитку проживають \(14\) студентів.

Отже, $$ P_2=\frac{14}{28}=\frac 12. $$

За правилом добутку ймовірність того, що обидва студенти проживають у гуртожитку $$ P=P_1\cdot P_2=\frac 14\cdot \frac 12=\frac 18=0\mathord{,}125. $$

Відповідь: \(0\mathord{,}125.\)

ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Планіметрія. Многогранники. Трикутники. Чотирикутники.

Завдання перевіряє вміння розв’язувати задачі на обчислення об’єму піраміди, знання теореми Піфагора та властивості квадрата.

\(EABCD\) – піраміда, \(ABCD\) – квадрат, \(O=AB\cap BD\),

\(EO\) – висота, \(EO=12\) см. \(EK\perp AB\) – апофема.

У \(\Delta EOK\ (\angle O=90^\circ)\) за теоремою Піфагора

Відповідь: \(400.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Елементи математичної статистики. Вибіркові характеристики.

Завдання перевіряє вміння обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (середнє значення).

Середню температуру знаходимо як середнє арифметичне значень

Відповідь: \(15\mathord{,}5.\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.

Завдання перевіряє вміння застосовувати рівняння до розв’язування текстових задач.

Нехай власна швидкість човна \(x\) км/год.

Відстань проти течії човен подолав за час, вдвічі менший, ніж за течією. $$ \frac{48}{x+2\mathord{,}5}=\frac{18\cdot 2}{x-2\mathord{,}5}. $$ Поділимо обидві частини рівняння на \(12.\) \begin{gather*} \frac{4}{x+2\mathord{,}5}=\frac{3}{x-2\mathord{,}5}\\[6pt] 4(x-2\mathord{,}5)=3(x+2\mathord{,}5)\\[7pt] 4x-10=3x+7\mathord{,}5\\[7pt] x=17\mathord{,}5. \end{gather*}

Відповідь: \(17\mathord{,}5.\)