ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.

Це завдання перевіряє знання властивостей правильної піраміди, кута між площинами, вміння розв’язувати прямокутні трикутники.

1. \(\Delta AOB\) побудуємо \(OK\perp AB.\)

За теоремою про три перпендикуляри похила \(SK\perp AB.\) Отже, \((SKO)\perp AB.\) \(\angle SKO=\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\gamma}\) – лінійний кут відповідного двогранного між площинами \((BSA)\) i \((ABC)\), \(AO\) – проекція \(SA\) на \((ABC)\), \(KO\) – прекція \(SK\) на \((ABC).\)

2. \(\Delta ABC (\angle B=90^\circ)\ AB=BC\), \(AC=24\cos\style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}.\)

За теоремою Піфагора

Відповідь: \(\mathrm{arctg}(\sqrt{2}\mathrm{tg}\ \style{font-style:normal;font-weight:bold;font-size:1.1em}{\beta}).\)

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.

Це завдання перевіряє вміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, доводити нерівності.

\((x-y)^2\ge 0\) при будь-яких значеннях \(x\) та \(y.\)

Виділили квадрат двочлена з виразу \((x^2+xy+y^2)\), отримали суму двох невід'ємних виразів, які одночасно не дорівнюють нулю.

Отже, вираз \(x^2+xy+y^2\gt 0\) при будь-яких значеннях \(x\) та \(y.\)

Якщо \((x-y)^2\ge 0\) та \(x^2+xy+y^2\gt 0\), то і їхній добуток \((x-y)^2(x^2+xy+y^2)\ge 0\), що й вимагалося довести.

ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння та нерівності.

Це завдання перевіряє вміння розв’язувати ірраціональні рівняння, показникові рівняння з параметром, раціональні нерівності.

1. Розв'яжемо рівняння: \begin{gather*} \sqrt{\frac{x+8}{x+3}-2}=0,\ \ \left\{\begin{array}{l} \frac{x+8}{x+3}-2=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right. \\[6pt] \left\{\begin{array}{l} \frac{x+8-2(x+3)}{x+3}=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} \frac{x+8-2x-6}{x+3}=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right. \\[6pt] \left\{\begin{array}{l} \frac{2-x}{x+3}=0,\\ x\ne -3, \end{array}\right.\ \ \left\{\begin{array}{l} x=2,\\ x\ne -3, \end{array}\right. \end{gather*} Отже, \(x=2.\)

2. Розв'яжемо в залежності від параметра \(a\)

Нерівність \(\frac{2-x}{x+3}\ge 0\) розв'яжемо методом інтервалів:
$$ \frac{-(x-2)}{x+3}\ge 0,\ \ \frac{x-2}{x+3}\le 0, $$

$$ \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} 5^x=a,\\ x=2, \end{array}\right. \\ x\in (-3; 2]. \end{array}\right. $$ \(x_1=2\) – розв'язок рівняння при будь-якому значенні \(a.\)

Рівняння \(5^x=-a\) має розв'язки при \(a\lt 0.\) \(x_2=\log_5(-a)\) буде коренем рівняння при \(-3\lt x_2\le 2.\)
\(-3\lt x_2\le 2.\)

\(x_1=x_2\), якщо \(5^2=-a\), \(a=-25.\)