Задано функції \(f(x)=3-\frac x4\) та \(g(x)=\log_2 x.\)
Завдання (1–3) виконайте на одному рисунку.
1. Побудуйте графік функції \(f.\)
2. Побудуйте графік функції \(g.\)
3. Позначте точку перетину графіків функцій \(f\) і \(g\) та запишіть її координати.
4. Скориставшись рисунком, розв’яжіть нерівність \(f(x)\ge g(x).\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Функції.
Завдання перевіряє вміння будувати графіки лінійної та логарифмічної функцій, встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком.
1. \(f(x)=3-\frac x4\)
2. \(g(x)=\log_2x\)
3. Точка перетину графіків \(A(4; 2).\)
4. Розв'язок нерівності \(f(x)\ge g(x)\) знаходимо за рисунком.
Тобто знаходимо такі значення \(x\), при яких графік функції \(f(x)\) лежить вище графіка \(g(x).\) Це проміжок \(x\in (0; 4].\)
Відповідь: 3. \((4; 2).\) 4. \(x\in (0; 4].\)
Задано правильну трикутну призму \(ABCA_1B_1C_1\), основою якої є трикутник \(ABC.\) Висота призми дорівнює \(H\), діагональ бічної грані нахилена до площини основи під кутом \(\mathbf{\alpha}.\) Через висоту \(BK\) трикутника \(ABC\) та вершину \(C_1\) проведено площину \(\mathbf{\gamma}.\)
1. Побудуйте переріз призми \(ABCA_1B_1C_1\) площиною \(\mathbf{\gamma}.\)
2. Визначте вид перерізу й обґрунтуйте свій висновок.
3. Визначте площу перерізу.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Прямі та площини у просторі. Многогранники.
Завдання перевіряє вміння будувати перерізи призми, знання теореми про три перпендикуляри, кута між прямою та площиною, вміння розв’язувати стереометричні задачі.
1. \(ABCA_1B_1C_1\) – правильна трикутна призма, основа – \(\Delta ABC\) – рівносторонній \(BK\perp AC\) – висота \(\Delta ABC.\) \(CC_1=H\) – висота призми. Кутом між \(BC_1\) та \((ABC)\) є кут між прямою \(C_1B\) та її проекцією \(BC.\) Отже, \(\angle C_1BC=\mathbf{\alpha}.\)
\(KC_1\in (ACC_1)\), \(BC_1\in (BCC_1)\), звідси \(\Delta BKC_1\) – заданий переріз.
2. За умовою \(BK\perp AC\). Оскільки \(CC_1\perp (ABC)\), то за теоремою про три перпендикуляри \(C_1K\perp BK.\) Отже, \(\Delta C_1KB\) – прямокутний з \(\angle K=90^\circ.\)
3. \(\Delta BCC_1\ (\angle C=90^\circ)\), \(BC=H\operatorname{ctg}\ \mathbf{\alpha}.\)
Оскільки \(\Delta ABC\) - рівносторонній, то висота \(BK\) є медіаною.
Відповідь: \(\frac{\sqrt{3}H^2}{8}\sqrt{4+\operatorname{ctg}^2\mathbf{\alpha}}\cdot \operatorname{ctg}\ \mathbf{\alpha}.\)
Задано рівняння \(\frac{(x-\sqrt{x}-2)(a^2-16)}{2^x-a}=0\), де \(x\) – змінна,\(a\) – стала.
1. Розв'яжіть рівняння \(x-\sqrt{x}-2=0.\)
2. Розв'яжіть задане рівняння залежно від значень \(a.\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння, нерівності та їхні системи.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати раціональні, ірраціональні та показникові рівняння, аналізувати та досліджувати рівняння, розв’язувати рівняння з параметром.
1. Розв'яжемо заміною: \(x-\sqrt{x}-2=0,\) нехай \(\sqrt{x}=t\ge 0\) ОДЗ: \(x\ge 0.\) \(t^2-t-2=0.\)
За теоремою, оберненою до теореми Вієта $$ \left[\begin{array}{l} t_1=2,\\ t_2=-1\ \notin t\ge 0. \end{array}\right. $$ Отже, \(\sqrt{x}=2\), \(x=4.\)
2. Розв'яжемо рівняння залежно від значень параметра: \begin{gather*} \frac{(x-\sqrt{x}-2)(a^2-16)}{2^x-a}=0. \end{gather*} ОДЗ:\( \left\{\begin{array}{l} x\ge 0,\\ 2^x\ne a. \end{array}\right.\)
Дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю. \begin{gather*} \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x-\sqrt{x}-2=0,\ \ (1)\\ a^2-16=0,\ \ \ (2) \end{array}\right. \\ x\ge 0,\\ 2^x\ne a. \end{array}\right. \end{gather*}
(1) \(x-\sqrt{x}-2=0\), \(x=4.\)
Підставимо в ОДЗ: $$ \left\{\begin{array}{l} 4\ge 0,\\ 2^4\ne a\ \ a\ne 16. \end{array}\right. $$ якщо \(a\in (-\infty; 16)\cup (16; +\infty)\ x=4\) якщо \(a=16\) немає коренів.
(2) \(a=4\)
\(a=-4\)
Відповідь: 1. \(x=4\). 2. якщо \(a\in (-\infty; -4)\cup (-4; 4)\cup (4; 16)\cup (16; +\infty)\), \(x=4\); якщо \(a=-4\), \(x\in [0; +\infty)\); якщо \(a=4\), \(x\in [0; 2)\cup (2; +\infty)\); якщо \(a=16\), \(x\in \varnothing\) (рівняння не має коренів).
\(\left(\frac 13\right)^{-2}=\)
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Числа та вирази.
Завдання перевіряє знання означення степеня з цілим показником та його властивості.
Використаємо властивість \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\) $$ \left(\frac 13\right)^{-2}=3^2=9. $$
Відповідь: Д.
Прямі \(l\), \(m\) і \(n\) лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну мірукута \(\mathbf{\alpha}.\)
ТЕМА: Геометрія. Планіметрія. Елементарні геометричні фігури на площині та їхні властивості.
Завдання перевіряє знання властивостей суміжних та вертикальних кутів, теореми про суму кутів трикутника.
\(\angle BAC=180^\circ-120^\circ=60^\circ\) – суміжний до кута \(120^\circ.\)
\(\angle ACB=\mathbf{\alpha}\) – вертикальні кути.
Сума кутів \(\Delta ABC\) дорівнює \(180^\circ\), тому $$ \mathbf{\alpha}=180^\circ-(50^\circ+60^\circ)=70^\circ. $$
Відповідь: Г.
Копіювальна машина робить \(3\) копії за \(4\) секунди. Яку максимальну кількість копій можна одержати за \(1\) хвилину?
Завдання перевіряє вміння розв’язувати текстові задачі арифметичним способом.
\(1\) хвилина = \(60\) секунд.
За \(4\) секунди машина робить \(3\) копії.
Отже, \(60 : 4 \cdot 3 = 45\) копій.
Відповідь: A.
Яке з наведених чисел є коренем рівняння \(\frac{5x+8}{3}=1\)?
ТЕМА: Алгебра і початки аналізу. Рівняння.
Завдання перевіряє вміння розв’язувати лінійні рівняння.
Помножимо обидві частини рівняння на \(3.\)
\(5x+8=3\), \(5x=-5\), \(x=-1.\)
Сума довжин усіх ребер куба дорівнює \(72\) см. Визначте довжину одного ребра цього куба.
ТЕМА: Геометрія. Стереометрія. Многогранники.
Завдання перевіряє знання про многогранники та їхні елементи.
Довжина всіх ребер куба \(72\) см.
Усього в куба \(12\) ребер, тому довжина ребра дорівнює \(72 : 12 = 6\) см.
На рисунку зображено графік функції \(y=f(x)\), визначеної на проміжку \([-2; 4].\) Укажіть нуль цієї функції.
Завдання перевіряє вміння встановлювати властивості числових функцій, заданих графіком.
Нуль функції – значення \(x\), при якому \(y=0.\) На рисунку – це точка перетину графіка з віссю \(x.\) Отже, \(x=1.\)
Відповідь: B.
Розв'яжіть рівняння \(x^2-4x+3=0.\)
Завдання перевіряє вміння розв’язувати квадратні рівняння.
Розв'яжемо квадратне рівняння:
Відповідь: Б.
